【2022版】专题03函数的单调性和最值的处理途径-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

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函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．
方法一 定义法
例1 已知函数（且）.
（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题
【答案】（1）增区间为，减区间为；证明见解析；（2）.
【解析】
（1）求得的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；
（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得的最小值，解不等式，可得所求范围.
【详解】
（1）由可得，则的定义域为，
，
当时，的增区间为，减区间为.
证明：设，的增区间为，减区间为，
当时，设，可得，，即，可得在递增；
设，可得，，
即，可得在递减.
（2）由，，可得，
所以，即为，解得，
即的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
例2 已知定义域为的函数.
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题
【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明在上的单调性；
（2）首先利用定义证明的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉，转化为关于的一元二次不等式恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）函数在上单调递减.
证明如下：任取，且，
，
因为，所以，，，
即，故函数在上单调递减.
（2）因为，
故为奇函数，
所以，
由（1）知，函数在上单调递减，
故，即对于任意恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，
所以，
即实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤
1.取值：任取，，规定，
2.作差：计算，
3.定号：确定的正负，
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.
【详解】
A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；
B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；
C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；
D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.
故选：AD
例3 定义在上的奇函数，对任意时，恒有.
（1）比较与大小；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）函数在上为单调递增函数，证明见解析；（3）.
【解析】
试题解析：（1）利用作差法，即可比较与大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定的范围，再分离参数求最值，即可求的取值范围.
试题解析：（1）第一步，由得出：
∵，，
∴，
第二步，由奇偶性得出结论：
∴∴.
（2）第一步，取值、作差：
任取且，
.
第二步，判断符号：
∵，，∴，
第三步，下结论：
∴函数在上为单调递增函数.
（3）.
考点：函数奇偶性与单调性的综合问题.
【变式演练2】已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；
（3）若定义域为，解不等式.
【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）
【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数在（-1，1）为单调函数，原不等式变形为f(2x-1)