【2022版】专题12利用导数解决函数的单调性-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

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专题12 导数与函数的单调性问题

【高考地位】
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.
类型一 求无参函数的单调区间
万能模板
内 容
使用场景
知函数的解析式判断函数的单调性
解题模板
第一步 计算函数的定义域；
第二步 求出函数的导函数；
第三步 若，则为增函数；若，则为减函数.
例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
【解析】（1）当时，，
第一步，计算函数的定义域：.
第二步，求出函数的导函数：

第三步，令，则在上为减函数，且
所以，当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
故递增区间为；递减区间为
【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
【答案】；（区间两端开闭都可以）
【分析】
利用三角恒等变换得，再利用换元法设，利用导数和复合函数的单调性解不等式，即可得到答案；
【详解】
令，
设，则，
，
，，
，
，
在区间单调递增.
故答案为：.
【点睛】
本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则.
【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.
【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）
【答案】
【分析】
首先根据题意得到是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】
因为，，
所以，所以是偶函数.
因为
当时，，所以在上单调递增.
又因为是偶函数，所以在上单调递减.
所以，即，
所以，即，解得或.
故答案为：.
【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得函数单调性与奇偶性，再结合指数函数与对数函数的性质，得出，得到，进而得到，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，即，
所以函数是上的奇函数，
又由，所以函数为上的单调递减函数，
又因为，且，即，
所以，可得，
又由函数是上的奇函数，可得，
所以，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性，以及指数函数与对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的基本性质，结合指数函数与对数函数的性质求得自变量的大小关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数分析出函数在上单调递增，在上单调递减，并推导出函数的图象关于直线对称，进而可判断出各选项的正误.
【详解】
构造函数，则，
当时，.
当时，则，；
当时，则，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
又，所以，
即，故函数的图象关于直线对称．
对于A选项，，即，与的大小关系不确定，A选项错误；
对于B选项，，即，即，B选项正确；
对于C、D选项，，即，C、D选项错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查利用构造函数法判断函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查推理能力，属于难题.


类型二 判定含参数的函数的单调性
万能模板
内 容
使用场景
函数的解析式中含有参数
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；
第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.
例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
【解析】（1）第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数：
，
记.
第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0：
当时，因为，所以，所以函数在上单调递增；
当时，因为，所以，函数在上单调递增；
当时，由，解得，
第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：
所以函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增.
【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
【解析】（1）因为，
所以，
当时，，即函数在单调递增；
当时，令，即，解得；
令，即，解得，
综上所述：当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递增，在单调递减.
【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数.
（I）讨论的单调性；
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
【解析】（1）函数的定义域为，.
令，.
①当时，即当时，对任意的，，则，
此时，函数在上单调递增；
②当时，即当时，
方程有两个不等的实根，设为、，且，
令，解得，.
解不等式，可得；
解不等式，可得或.
此时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数，其中k∈R.
（1）当时，求函数的单调区间；
【解析】（1） ，
当时 ，令得，令 得，故 的单调递增区间为 的单调递减区间为
当时，令 得，或 ，
当时 ，当时 或；当 时； 的单调递增区间为 ；减区间为 .
当时 ，当时 ；当时 ；的单调递增区间为 ；
【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题
【答案】A
【分析】
利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
因为的定义域为，，
由，得，解得，所以的递增区间为．
由于在区间上单调递增，则，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是．
故选：A.
【点睛】
方法点睛：利用函数在区间上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：
（1）区间为函数单调递增区间的子集；
（2）对任意的，恒成立.
同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.
类型三 由函数单调性求参数取值范围
万能模板
内 容
使用场景
由函数单调性求参数取值范围
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题；
第三步 得出结论.
例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若在上是减函数，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第一步：计算函数的定义域并求出函数的导函数：
因为，故可得，
第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题：
因为在区间是减函数，故在区间上恒成立.
因为，故上式可整理化简为在区间上恒成立，
因为在区间上的最小值为，
第三步 得出结论：故只需-1.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.
【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．4 B．16 C．20 D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数在上单调递增得：在上恒成立，转化成，结合线性规划知识求解即可
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以
=在上恒成立．又，
所以在上恒成立．
记，
则，
整理得：，
把横坐标看作轴，纵坐标看作轴，作出不等式组表示的区域如下图，

令，则，
抛物线恰好过图中点，由线性规划知识可得：
当抛物线过点时，最小，此时取得最小值．
所以
故选B
【点睛】
本题主要考查了单调性与导数的关系，还考查了恒成立问题及线性规划求最值，考查计算能力及转化能力，属于中档题．
【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的定义域为，，根据题意可得到，，从而可得答案．
【详解】
解：函数，定义域，
，
当时，，在上是增函数，不符合题意，
当 时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
函数在内不是单调函数，
，
，
故选：D ．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到是关键，也是难点所在，属于中档题．
【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数的单调递减区间是，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的单调区间，得到导函数的零点，结合根与系数关系，求得的值.
【详解】
依题意，由于函数的单调递减区间是，
所以，是的两个零点，所以，
所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】f(x)在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于>0在(1,+∞)上有解.因此结合的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论.
【详解】f(x)2ax在(1,+∞)上存在单调递增区间,
只需>0在(1,+∞)上有解即可.
由已知得,该函数开口向下,对称轴为,
故在(1,+∞)上递减,
所以=2a>0,解得a>0.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【解析】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b 综上，,
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
【解析】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
3．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；
（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，
设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.
先证：，
若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，故成立，即成立.
综上所述，.
【点睛】
方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.
4.【2017山东文，10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A . B. C. D.
【答案】A
【解析】由A,令,,则在R上单调递增,具有M性质,故选A.
【考点】导数的应用
【名师点睛】
1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
5.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
【答案】

【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）．
【思路导引】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图像的走向，从而求得结果．
【解析】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
∴的减区间为，增区间为．
（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解．
令，则有，
令，解得，令，解得或，
∴函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，∴当有两个解时，有，∴满足条件的的取值范围是：．
【专家解读】本题的特点是灵活运用导数研究函数的性质，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是结合函数的图像研究问题．
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增;（2）．【思路导引】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)首先讨论的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围．
【解析】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减；
当时，单调递增．
(2)由得，，其中，
①．当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②．当时，分离参数a得，，
记，，
令，则，，
故单调递增，，故函数单调递增，，
由可得：恒成立，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，．综上可得，实数a的取值范围是．
【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性、极值（最值），考查数形结合、分类讨论思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数．
【考向总结】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
(4)考查数形结合思想的应用．
8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间．
【思路导引】（1）不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性．
【解析】（1）函数的定义域为：，
，
设，则有，
当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，函数有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需．
（2）且，因此，
设，则有，
当时，，∴，单调递减，因此有，即
，∴单调递减；
当时，，∴，单调递增，因此有，即，∴单调递减，∴函数在区间和上单调递减，没有递增区间．
【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数单调性，考查不等式恒成立的参数取值范围问题，考查转化与化归思想，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用参数分离法解决不等式恒成立的参数取值范围问题．
9.（2018年新课标I卷文）已知函数fx=aex−lnx−1．
（1）设x=2是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间；
（2）证明：当a≥1e时，fx≥0．
【答案】(1) a=12e2；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=12e2，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥1e时，f（x）≥exe−lnx−1，之后构造新函数g（x）=exe−lnx−1，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.
详解：（1）f（x）的定义域为(0，+∞)，f ′（x）=aex–1x．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=12e2．
从而f（x）=12e2ex−lnx−1，f ′（x）=12e2ex−1x．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥1e时，f（x）≥exe−lnx−1．
设g（x）=exe−lnx−1，则g'(x)=exe−1x．
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当a≥1e时，f(x)≥0．
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.
10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数f(x)=1x−x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：fx1−fx2x1−x2 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；
(2)根据f(x)存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定a>2，令f'(x)=0，得到两个极值点x1,x2是方程x2−ax+1=0的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
详解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=−1x2−1+ax=−x2−ax+1x2.
（i）若a≤2，则f'(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f'(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减.
（ii）若a>2，令f'(x)=0得，x=a−a2−42或x=a+a2−42.
当x∈(0,a−a2−42)∪(a+a2−42,+∞)时，f'(x)<0；
当x∈(a−a2−42,a+a2−42)时，f'(x)>0.所以f(x)在(0,a−a2−42),(a+a2−42,+∞)单调递减，在(a−a2−42,a+a2−42)单调递增.
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2−ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x11.由于
f(x1)−f(x2)x1−x2=−1x1x2−1+alnx1−lnx2x1−x2=−2+alnx1−lnx2x1−x2=−2+a−2lnx21x2−x2，
所以f(x1)−f(x2)x1−x2 设函数g(x)=1x−x+2lnx，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减，又g(1)=0，从而当x∈(1,+∞)时，g(x)<0.
所以1x2−x2+2lnx2<0，即f(x1)−f(x2)x1−x2 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
【反馈练习】
1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到，令，用导数法研究函数的单调性得到，令，用导数法研究函数的单调性得到即可.
【详解】
因为,所以，
令，所以，
所以在上递增，
所以，即，
令，所以，
所以在上递减，
所以，即，
综上：
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用导数与函数的单调性比较大小，还考查了构造求解问题的能力，属于中档题.
2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】
由函数，
且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0恒成立，
∵设，
∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1，
令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，
令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足或或，
解得或或，
综上，可得实数a的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.
3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得对恒成立，设，，则在上恒成立，再解不等式即得解.
【详解】
依题意，，
所以对恒成立.
设，，则在上恒成立，
由二次函数图象得即，
解得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，考查二次函数和余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数，若对任意两个不等的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将恒成立，变形为恒成立，可构造函数，有单调递增，则恒成立，从而求得的取值范围.
【详解】
对任意两个不等的实数，都有恒成立，
则恒成立，即令，则单调递增，
则恒成立，则恒成立，得，则.
故选：B
【点睛】
本题考查了构造函数的思想，函数单调性与导函数的关系的应用，属于中档题.
5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数 在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：．当时，的最大值为
，令，解得，所以a的取值范围是．
6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数，令，解得或，依题意可得位于内，得到不等式组，解得的取值范围；
【详解】
解：因为，所以
令，解得或
要使函数，对在内总不是单调函数，
所以解得即
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.
【答案】
【解析】
【分析】
因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解．
【详解】
因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-，
由f'（x）=0，得x=1/2．
当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0
据题意，k-1＜1/2＜k+1，又k-1≥0，
解得1≤k＜3/2.
8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题
【答案】
【分析】
先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.
【详解】
由知，,
时，是增函数，，
又，∴在上恒成立，
而，．
故答案为：．
【点睛】
思路点睛：
已知函数单调性求参数取值范围通常有以下思路：函数在区间I上递增，则恒成立；函数在区间I上递减，则恒成立.
9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________
【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题
【答案】
【分析】
先对求导判断其单调性，不妨设，可对原不等式去绝对值得
，等价于，构造函数，可得在单调递增，，分离得，由即可求解.
【详解】
,
当时，，所以，
所以在单调递减，
不妨设，则，，
所以等价于，
即，
设，则，
所以在单调递增，
对于恒成立，
所以，可得对于恒成立，
设，只需，
，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，转化为或，求的最值即可.
10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数的单调递增区间；
（2）已知函数在上单调递增，求实数的范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求导，再解不等式即得解；
（2）等价于在上恒成立，求二次函数的最大值即得解.
【详解】
（1）由题得，
令，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由题得在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，二次函数取最大值0，
所以.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的单调性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）若，为两个不等的正数，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求导化简证明导函数大于等于0即可.
(2)利用作差法,化简可得,再构造函数,根据(1)中所得的单调性证明即可.
【详解】
（1），
∴在上单调递增.
（2）不妨设，
.
令，设，
由（1）知在上单调递增，，，∴，
又，∴.
【点睛】
本题主要考查了求导分析函数单调性,以及构造函数与作差法分析大小关系的方法.难点在于第（2）问中根据的形式,将整理变形,以便使用(1)的结论证明.属于中档题.
12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数，的导数为.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，方程有两个不同的零点，求证.
【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递增；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求导得，再分和讨论即可得的单调性；
（2）令函数，则，结合（1）得在上单调递增，，进而得在上单调递减，在上单调递增，再结合，，得，，故.
【详解】
解：（1），
.
若，
令解得，即在单调递增；
令解得时，即在上单调递减.
若，易得当时，，即在单调递增.
故当时，在上单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递增.
（2）令，则.
由（1）知在上单调递增.
又，所以在上，，单调递减；在上，，单调递增.
又，
，
，
所以，，故.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性（含参）和零点，考查运算求解能力，是中档题.
13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出函数的定义域，再求其导数，讨论导数的正负即可得解.
（2）令，因为，先假设在上递增，则其导数， 求出；当时，取，所以在区间上，单调递减，，不符合题意，舍去．
【详解】
解：（1）的定义域为，

当，即时，在区间上恒成立，
∴在区间上单调递减；
当，即时，
当，得时，
令，得，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）令，
成立的一个充分条件是，
即，
设，
，
当时，，所以
故最大值为，
所以，
当时，取，
在区间上，且，
所以且，
所以，
所以，
所以在区间上，单调递减，，不符合题意，舍去．
综上：．
【点睛】
本题考查求含参变数的函数的单调性以及不等式恒成立求参数的取值范围，不等式恒成立求参数的取值范围需综合利用函数的性质以及结合特殊值求解，属于难题.
14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，，其中.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）当时，，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求导，然后分，和三种情况讨论函数在区间上的单调性即可；（2）由（1）知当时，先确定的单调性，求出当时，的最小值，把问题转化为在时恒成立，求导，然后分，两种情况讨论函数的单调性，求最值，即可得出结论.
【详解】
（1），
当时，，
故在内单调递减；
当时，，
故在内单调递增；
当时，令，
得，
当时，，
故在内单调递减；
当时，，
故在内单调递增；
综上：当时，在内单调递减；
当时，在内单调递增；
当时， 在内单调递减；
在内单调递增；
（2）由（1）知当时，
在内单调递减，在内单调递增，
当时，，
故问题转化为在时成立.
，
当时，，故在内单调递增.
若，则，不符合题意.
当时，令，
可知在内单调递减.
又，
故存在唯一，使得，
若，则；
若，则；
故在内单调递增，在内单调递减.
若，则，不符合题意；
若，则，符合题意，此时.
综上，.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求最值问题.考查了分类讨论思想，转化构造函数的思想.属于较难题.
15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；
（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于函数，再运用的关系将不等式转化为证，构造函数，分析函数的单调性，得出最值，不等式可得证.
【详解】
（1）解：函数的定义域为，，则.
①当时，对，所以函数在上单调递增；
②当时，，所以对，所以函数在上单调递增；
③当时，令，得或，所以函数在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减.
（2）证明：由（1）知且，所以.
又由
.
又因为.
所以要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
令，则，所以函数在上单调递增，
所以对.所以.
所以若存在两个极值点，则.
【点睛】
本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.
16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数，函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为．若，求的取值范围．
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导后得；分别在和两种情况下，根据的符号可确定的单调性；
（2）由极值点定义可构造方程求得，得到和；根据导数的几何意义可求得在处的切线方程，进而求得；由可求得的关系，同时确定的取值范围；将化为，令，，利用导数可求得的单调性，进而求得的值域即为的范围.
【详解】
（1）.
，，.
①当，即时，，在上单调递减；
②当，即时，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）是的极值点，，即，
解得：或（舍），此时，.
方程为：，
令，得：；同理可得：.
，，整理得：，，
又，则，解得：，
.
令，则，
设，，
在上单调递增，又，，，
即的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、极值点的定义、导数的几何意义、利用导数求解参数的取值范围等问题；关键是能够通过构造函数的方式将所求式子的范围转化为函数值域的求解问题.
17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：函数有唯一的零点.
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出的定义域，求导，再构造函数，利用二次函数的判别式进行分类讨论，即可得解；
（2）利用函数的单调性及零点存在性定理，即可得解.
【详解】
（1）的定义域为，
，
，
令，，
①当，即时，
，故，所以在单调递增.
②当，即当时，
有两个实根，，
注意到，且对称轴，
故，
所以当或时，，，所以在上单调递增；
当时，，，所以在上单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）当时，由（1）知，在单调递增，
注意到，，
所以有唯一的零点.
当时，由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减.
由于，注意到，
于是我们只要证明即可.
因为，，所以，
又因为，所以，
所以，
记，
则，
所以单调递增，所以，所以，
综上所述，函数只有一个零点.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查学生的转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.
18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数满足，，．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）当且时，求证：．
【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知中，可得，进而可得，，进而得到函数的解析式；
（2）由（1）得：，即，，对a进行分类讨论，可得不同情况下函数的单调区间；
（3）令，，然后利用导数研究各自单调性，结合单调性分类去掉和的绝对值，再构造差函数，利用导数证明大小.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
所以，
所以；
（2）∵，
∴，
∴，
①当时，恒成立，函数在R上单调递增；
②当时，由得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）令，，当且时，
由得在上单调递减，
所以当时，，当时，，
而，，
所以在上单调递增，，
则在上单调递增，，
①当时，，
，所以在上单调递减，
，，
②当时，，
，，
所以，所以递减，，，
综上， ．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分析和转化能力，属于难题.
19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】
试题分析：（1）先求导数，再根据a讨论导函数零点，根据导函数零点情况讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数单调性，（2）先分离，再利用导数研究函数单调性，最后根据图像确定存在两个不同零点的条件，解对应不等式得实数的取值范围.
试题解析：（1）∵
①若时，，此时函数在上单调递增；
②若时，又得：
时，此时函数在上单调递减；
当时，此时函数在上单调递增；
（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，
即函数图像与函数图像有两个不同的交点，
因为，令得：
所以当时，，函数在上单调递减
当时，，函数在上单调递增；
则，而，且，
要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，
所以的取值范围为.
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在3个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调性见详解；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求得，对参数进行分类讨论，利用导数即可求得不同情况下函数的单调性；
（2）求得，要满足题意，只需有2个不为2的零点即可，分离参数，利用导数即可求得参数范围.
【详解】
（1）因为，故可得，
当时，令，解得，又单调递增，恒成立，
令，解得；令，解得，
故在单调递减，在单调递增.
当时，令，解得，
当时，，
令，解得；令，解得，
故在单调递增，在单调递减；
当时，，
此时恒成立，即在上单调递增；
当时，，
令，解得；令，解得，
故在单调递减，在单调递增.
综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）根据题意可得，
显然是的一个零点，
故要满足题意，只需存在不是2的两个零点即可.
又不是的零点，
故令，可解得，
令，则，
令，解得；令，解得，
故在单调递增；在单调递减.
又当时，，，
且当时，；时，；时，，
故要满足题意，只需，且
解得且.
综上所述，.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数单调性的求解，以及利用导数由函数零点个数求参数范围，涉及分离参数，属综合中档题.
21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：函数在区间有且仅有一个零点．
【答案】（Ⅰ）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为、，减区间为；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得化简得到，根据函数的定义域为，分，讨论求解。
（Ⅱ）由，令，结合（Ⅰ），当时，函数的增区间为，而，，当且时，，由函数的零点存在定理得证．
【详解】
（Ⅰ）

，
，
由函数的定义域为，
①当时，令，得，
可得函数的增区间为，减区间为
②当时，令可得和
令，有，
可得函数在定义域单调递增，有，
可得当时，可得，
故函数的增区间为、，减区间为．
（Ⅱ）由，
令，
又由（Ⅰ）知，当时，
，
，
，
，
当且时，，，
有，
，
可得，
则当时，函数在区间有且仅有一个零点．
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的零点，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
22．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求证：对任意的，只有一个零点.
【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）代入的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；
（2）令，则有，令，利用导数得出的单调性，从而得出结论．
【详解】
解：（1）时，，
则，
令，解得：或，
令，解得：，
故在和，递增，在，递减；
（2）证明： 令，则有，
令，
则，
故在上递增，
又，所以仅有1个根，
即只有1个零点.
23．已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.
【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）当时，利用导数证明函数的导数恒大于0，即可得到答案；
（2）利用参变分离将问题转化为方程有两个不相等的实根，讨论和，即可得到答案；
【详解】
（1）当时，的定义域为，，
令，则，
当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
为的极小值点，且，
在单调递增.
（2）问题转化为方程有两个不相等的实根，
当，即时，不成立；
当且时，，
令，则与的图象有两个交点，
，
或；，
在单调递减，在单调递增，
又当，，
且在的最小值为，
当时，直线与的图象有两个交点，
实数的取值范围.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的零点、函数的极值点，考查分类讨论思想和转化与化归思想，考查运算求解能力.
24．已知函数.
（1）求的单调性；
（2）设函数，讨论的零点个数.
【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三）
【答案】（1）答案见解析；（2）在上只有一个零点.
【分析】
（1）由函数解析式得，由即可判断、时的符号，进而确定的区间单调性.
（2）由题设有，讨论、、，利用二阶导确定的极值点，进而判断的符号，即可知的区间单调性，根据端点值、极值点符号及单调性确定零点的个数.
【详解】
（1），而，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；
（2）由题设知：，则，
1、当时，，单调递减；
2、当时，由，则，单调递增，
∵，，则存在使，有，
∴上，单调递减；上，单调递增；
3、当时，令，则恒成立，即单调递减，即单调递减，
∵，，存在使，有，
∴上，单调递增，上，单调递减；而，，
∴存在使，有，
∴上，单调递增；上，单调递减；
综上知：，单调递减，此时，则此区间不存在零点；
，单调递增；，单调递减；
∵，即，又，
∴在上必存在唯一零点，上不存在零点，
故在只存在一个零点.
【点睛】
关键点点睛：第二问，利用二阶导研究的单调性，并找到的零点即的极值点，进而判断的区间符号，即可知的单调性，结合其各单调区间上端点值的符号确定在上零点的个数.
25．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．
【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】
（1）先求解出，然后根据与的大小关系进行分类讨论，由此确定出的单调性；
（2）根据已知条件可将问题转化为“函数在区间内的零点个数”，先分析的奇偶性，然后对的范围进行分类讨论：、，时根据单调性和可直接判断零点个数，时，需要对与的大小关系进行分类讨论，结合奇偶性确定出的零点个数，由此可分析出的零点个数情况.
【详解】
解：（1）由已知可得函数的定义域为，，
当时，，故，在上单调递增；
当时，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．
（2）由（1）可知当时，
所以所以
所以时，函数的零点个数即为函数在区间内的零点个数．
，任取，
因，所以是偶函数．
因为．
当时，在上恒成立，所以时，．
所以在上单调递增．
又因为，所以在上没有零点．
又因为是偶函数，所以在上没有零点．
当时，令，得．
由可知存在唯一使得．
所以当时，单调递增；
当时，，单调递减．
因为，．
所以当，即时，在上没有零点．
由是偶函数，可知在上没有零点．
所以当，即时，在上有个零点．
由是偶函数，可知在上有个零点．
综上，当时，有个零点；当时，没有零点．
即当时，有个零点；当时，没有零点．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于分类讨论思想的运用，求出后发现与余弦函数联系在一起，由此可对与的大小关系作分类讨论，在后续判断极值的正负时也需要对进行分讨论，通过对极值正负的讨论结合函数单调性可分析零点个数.
26．已知（）
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为.
【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求解出，然后对进行分类讨论：、，分析每一种情况下的取值正负，由此分析出的单调性；
（2）将不等式变形为，构造函数并分析出其最大值，由此得到，再将化简为关于的式子并通过构造函数利用导数求解出最小值为完成证明.
【详解】
（1）因为，
当时，，所以在上单调递增，
当时，若时，，单调递增；
若时，，单调递减，
综上：时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，
设，所以，
当时，，所以在上单调递增，此时显然不恒成立；
当时，若时，，单调递增；若时，，单调递减，
所以，
所以，
又因为，
令，，所以，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
所以的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用分离参数的方法将表示关于的式子，然后在求解的最小值时，可以通过统一变量为利用构造函数的方法求解出其最小值从而完成证明.
27．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的最大值.
【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求出，结合的取值范围，讨论在上的正负号即可得出在上的单调性.
（2）利用参变分离可得在恒成立,利用导函数求出在上的最小值即为答案.
【详解】
（1）
当时，恒成立在上单调递增；
当时，在单调递增；在单调递减
当时，在单调递增
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在 单调递增，
在单调递减
（2）在恒成立，可得恒成立；
设，则
令，则
令，则，因为，所以
在上单调递增，


令，则
易知在单调递减；在单调递增；
，可得所以在上单调递增，又因为
所以在上，在上
所以在上单调递减；在上单调递增
所以在上，，所以
所以的最大值为.
【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的单调性与恒成立问题.一般恒成立问题常常先利用参变分离后再转换成最值问题来解决.
28．已知函数．
（1）若，证明：在单调递增；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，判断导函数的符号，即可得证；
（2）求出导函数，再对参数分类讨论，说明其单调性与最值，即可求出参数的取值范围；
【详解】
（1），
∵，，∴，恒成立．
∴在单调递增．
（2）．
当，恒成立，∴在单调递增，
，时，，则函数在定义域内有且只有一个零点舍去．
时，，在单调递增，，成立．
时，
设，恒成立，∴在单调递增，
，，，，
∴在有且仅有一个零点，
设为，满足，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
若恒成立，故，
，，
综上：．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
29．已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．
【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求得，根据题意转化为当时，不等式恒成立，设，利用导数求得的单调性与最大值，即可求解.
（2）由，求得，设在处切线相互垂直，所以，整理得，根据和三角函数的性质，得到，求得，得到函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
因为为上的增函数，
可得当时，恒成立，即恒成立，
设，可得，
所以为减函数，可得，所以，
即实数a的取值范围是．
（2）因为，可得．
设在处切线相互垂直，所以，即，
可得．
则，
即
又因为，所以，
所以，或，，
当时，，可得；
当时，，可得，
综上可得：．
所以，可得．
函数在区间上关于对称，在区间上单调递增，在区间单调递减，
所以对，，使得，
即，
因为是区间的单调减函数，
所以当在区间的最小值是．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
30．已知函数.
（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）求出导函数，由在上恒成立，再用分离参数法转化为求函数的最值，得出结论；
（2）求出导函数，确定函数的单调性得最小值，讨论的正负，得零点个数，特别是时，注意利用零点存在定理确定零点的存在（需证明）．
【详解】
解：（1）因为在上单调递减，
等价于在恒成立
变形得恒成立
而
（当且仅当，即时，等号成立）.
所以
（2），令，解得
当变化时，，的取值及变化如下表










极小值

所以
（ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
（ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
（ⅲ）当时，，
①因为，所以在增区间内有唯一零点；
②，
设，则，
因为，所以，即在上单调递增，
所以，即，所以在减区间内有唯一的零点.所以当时，在定义域内有两个零点
综上所述：当时，在定义域内无零点；
当时，在定义域内有唯一的零点；
当时，在定义域内有两个零点.
【点睛】
关键点点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，用导数研究零点零点个数．掌握零点存在定理是解题关键．解题方法是由导数确定函数的单调性，得最小值，讨论最小值的正负，结合零点存在定理可得零点个数．
31．已知函数．
（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点．
【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，在R上是减函数，则恒成立,求出其导数得出最大值即可.
(2) 设，则，可得，，
，所以，使，从而得出函数的单调区间，使得问题得证.
【详解】
解：（1）由，得，
在R上是减函数，则恒成立.
设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
于是．
由题意，所以，故m的取值范围是．
（2）设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
若，则，则在定义域内单调递减，所以不满足条件，故
所以
又∵，，

设，则
所以在上单调递减，所以当时，
所以
∴，使
∴，即，单调递减
，即，单调递增．
，即，单调递减，
∵，
∴
又∵，
设，则，所以
由，得，，得
所以在上单调递减，在上单调递增，
则
所以在上单调递增，则
即，成立
所以
∴由零点存在定理，得在和各有一个零点，
又，结合函数的单调性可知有三个零点．
【点睛】
关键点睛：本题考查由函数单调性求参数和证明函数的零点个数，解答本题的关键是在R上是减函数，则恒成立，根据条件得出，，
，所以，使，属于难题.
32．已知函数．
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．
【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，根据条件即在上恒成立，设，求出其导数，得出单调性，求出最小值，可得答案.
（2）由，所以，是的两个零点．因为，由（1）知，函数在上为增函数，，无零点．所以即证函数在上有且仅有1个零点，分和分别讨论即可证明.
【详解】
（1）因为，
由函数在上为增函数，则在上恒成立.
令，，
当时，，所以恒成立.
所以在为增函数．所以
所以．
（2）由，则
所以，是的两个零点．
因为，由（1）知，函数在上为增函数，，无零点．
所以下面证函数在上有且仅有1个零点．
①当时，∵，∴，∴．无零点．
②当时，∵，设，
∴在上递增，
又∵，，
∴存在唯一零点，使得．
当时，，在上递减；
当时，，在上递增．
所以，函数在上有且仅有1个零点．
故函数在上有且仅有1个零点．
综上：当时，函数有且仅有3个零点．
【点睛】
关键点睛：本题考查由函数单调性求参数范围和利用导数讨论函数零点个数问题，解答本题的关键是将问题转化为在上恒成立，以及由，所以，是的两个零点．因为，由（1）知，函数在上为增函数，，无零点．所以即证函数在上有且仅有1个零点，属于难题.