苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试单元测试随堂练习题

第六章 幂函数、指数函数和对数函数 核心素养优选卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．偶函数关于点中心对称，且当时，，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6

2．函数的图象大致是（    ）

A．B．C．D．

3．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ）

A． B．

C． D．

4．若函数y＝ (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

5．若函数的最小值为，则实数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

6．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．若函数单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）附：

A．10% B．20% C．50% D．100%

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．给出下列命题，其中正确的是（    ）

A．函数的图象恒在x轴的上方

B．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是

C．与函数的图象关于直线对称的图象对应的函数解析式为（）

D．已知，，则

10．某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（    ）

A．函数的定义域为，且是偶函数

B．对于任意的，都有

C．对于任意的a，，都有

D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足

11．已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，当时，，则下列判断正确的是（    ）

A．的周期为4 B．的值域为

C．是偶函数 D．

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是______．

14．若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.

15．设区间的长度为，当函数的定义域为时，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的和为____________．

16．已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．已知关系式（其中，，常数）．若当时，取到最小值，求此时相应的的值．

18．已知函数是偶函数．

（1）求k的值．

（2）若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？

若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

19．已知，函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．

20．已知函数.

（1）若，求的值；

（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.

21．若在上单调递增，解不等式.

22．设，且)，其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的值；

（3）若在区间上的值域为，且，求的值.

参考答案

1．B

【解析】偶函数关于点对称，则，，

令，则，

故，

是周期为4的函数，

，，

又，

，

，

．

故选：B.

2．D

【解析】由指数函数的增长是“爆炸性增长”知,对于函数而言， 当x→∞

时，f(x)→+∞,故排除B, C;又 ，故函数先减后增，

排除A，

故选：D.

3．A

【解析】因为，

所以可得或，

所以的定义域为或，

因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，

所以的定义域为，

因为函数图象与函数图象关于直线对称，

所以与互为反函数，

故的值域即为的定义域.

故选：.

4．C

【解析】由题意可得a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]，

所以a>1，

y＝在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，

所以f(0)＝＝1，f(1)＝0，

所以a＝2，

所loga＋loga＝log2＋log2＝log28＝3.

故选C

5．D

【解析】当时，，单调递减，∴的最小值为，

当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，

即恒成立，

∴，∴a≥0，

故选：D．

6．D

【解析】由于函数在上是增函数，

则函数在区间上为增函数，

函数在区间上为增函数，且有，

所以，，解得.

故选：D.

7．B

【解析】当时，函数单调递增

所以，解得

当时，是单调递增函数，

所以，

当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，

所以，

解之得：，

综上所述：实数a的取值范围是

故选：B

8．B

【解析】当时，，当时，，

因为

所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，

故选：B.

9．AC

【解析】A.，∴，

∴函数的图象恒在x轴的上方，故正确；

B.若的值域为R，则可以取遍所有的正数，

∴，即或，故错误；

C.与（）互为反函数，它们的图象关于直线对称，故正确；

D.由换底公式，得，，

∴，即，

∴，即，故错误.

故选：AC

10．BC

【解析】A：由，解得，故的定义域为．

又，

∴为奇函数，故错误．

B：由，，故正确．

C：，

，

∴，故正确．

D：取，，则，，

∴，故错误．

故选：BC．

11．ACD

【解析】是奇函数，，又的图象关于直线对称，所以，所以，从而，

所以是周期函数，4是它的一个周期，

的图象是由的图象向左平移1个单位得到的，因此的图象关于轴对称，它是偶函数，

，

时，，，，时，，再由对称性，周期性可得的值域是，

综上ACD正确，B错误．

故选：ACD．

12．ABC

【解析】因为，所以，

所以，即，

因为，因为，，所以，所以，所以

即

当时，，所以，，此时，

当时，，所以，，此时，

当时，，此时，，此时，

所以函数的值域为.

故选：ABC

13．

【解析】由得，又．是对称轴．

所以的增区间是，又在区间内单调递增，

所以，解得．

故答案为：．

14．

【解析】令，且 ，，

因为函数在上是减函数且在上是减函数，

所以是增函数且恒成立，

即，解之得的取值范围是.

故答案为：.

15．

【解析】因为函数的定义域为，而函数在上是单调增函数；

所以函数的值域为，由已知函数的值域为，

所以，解得，所以函数的定义域为，

所以区间的长度的最大值和最小值均为，

所以区间的长度的最大值与最小值的和为.

故答案为：

16．8

【解析】当时，．

因为的值域为，则当时，．

当时，，

故在，上单调递增，

，即，

解得，即的最大值为8．

故答案为：8．

17．

【解析】由，得．

令，则，且有，即．

由知，当时，取到最小值．

又当时，取到最小值，所以，即，于是．

将，代入，得，即，所以．

18．

（1）

（2）存在，m的值为

19．

（1）或

（2）

20．（1）；（2）.

【解析】解：（1）当时，，舍去；

当时，，即，．

解得，

（2）当，时，，即，

即．

因为，所以．

由，所以．

故的取值范围是．

21．答案见解析

【解析】由已知得，得，解得，

又因为，所以，或或，

当或时，，

因为函数在上为增函数，由可得，

即，解得或；

当时，，故函数为上的增函数，

由可得，解得或.

综上所述，当或时，原不等式解集为或；

当时，原不等式的解集为或.

22．（1）；（2）；（3）.

【解析】(1)因为，且的图象经过点，

所以，所以，所以.

(2)因为，所以，

所以10，所以，所以.

(3)因为的图象与的图象关于直线对称，

所以，且为增函数，

所以在区间上的值域为，

因为，所以，所以，

所以.