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苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数指数函数和对数函数本章达标检测含解析
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这是一份苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数指数函数和对数函数本章达标检测含解析，共17页。
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,那么函数g(x)=1-logmx的定义域为( )
A.(-∞,2] B.(0,2]
C.0,12 D.12,+∞
2.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=log23,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
4.已知函数f(x)=(m2-m-5)xm2-6是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值 ( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
5.某专家对某地区新冠肺炎暴发趋势进行研究,发现从确诊第一名患者开始累计时间t(单位:天)与病情暴发系数f(t)之间满足函数关系f(t)=11+e-0.22(t-50),当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积暴发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3) ( )
A.38 B.40 C.45 D.47
6.若函数f(x)=max{3+log19x,log3x},其中max{a,b}=b,a≤b,a,a>b.当0
7.已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(0,1),且对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>1,则不等式f[ln(ex-1)]<1+ln(ex-1)的解集为 ( )
A.(ln2,+∞) B.(-∞,ln2)
C.(ln2,1) D.(0,ln2)
8.已知函数f(x)=m(x-4-x)+2,g(x)=ln2+x2-x,∃x1∈[0,1],∀x2∈[0,4]都有g(x1)
C.-12,1 D.14ln3-12,1-12ln3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=ln(x-2),x>2,ex-1,x≤2,则 ( )
A.f(e+2)=1 B.f(f(e+2))=1
C.f(3)=e D.f(f(3))=1e
10.对于函数f(x)=lgx定义域中的任意x1,x2(x1≠x2),下列结论正确的是 ( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.f(x1)-f(x2)x1-x2>0
D.fx1+x22
A.m+n=4 B.m2+n2≥8
C.mn≥4 D.1m+1n≥1
12.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,-13,若关于x的方程f(x)=m有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,且x1
C.x3+x4=10 D.x3x4∈[21,25]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知函数y=12mt-7(m为常数),当t=4时,y=64,若y≤12,则实数t的取值范围为 .
14.某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg,如果该地区人口平均每年增长1%,粮食总产量平均每年增长5%,那么x年后该地区人均年占有ykg粮食,则函数y关于x的解析式是 .
15.若函数f(x)=1-a2x2+x-54(x<1),logax(x≥1)在R上恒有f(x2)-f(x1)x2-x1>0(x1≠x2)成立,则实数a的取值范围是 .
16.已知定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2016,且当x>0时,f(x)>2016,若f(x)在区间[-2016,2016]上的最大值、最小值分别为M,N,则M+N= .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).
(1)求x<0时f(x)的解析式;
(2)在①f(x)在(1,4)上单调递增;②在区间(-1,1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中,求g(a)=12a的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)·x(2-k)(1+k),且f(2)
(2)是否存在正数m,使函数g(x)=1-f(x)+2mx在区间[0,1]上的最大值为5?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)2020年下半年受拉尼娜现象的影响,某市持续干旱,不仅使自来水供应严重不足,而且水质质量也明显下降.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水中含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少23,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log31-x1+x.
(1)求f(log22020)+g-12的值;
(2)试求函数g(x)的定义域,并判断该函数的单调性与奇偶性;(判断函数的单调性不必给出证明)
(3)若函数F(x)=f(2x)-3f(x),且∀x1∈[0,1],∀x2∈-12,12,都有F(x1)>g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知a∈R,函数f(x)=log21x+a.
(1)设a>0,若对任意t∈14,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求实数a的最小值;
(2)若关于x的方程fx2-log2[(a-2)x+3a-5]=0的解构成的集合中只有一个元素,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)若函数f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,f(x)+g(x)=ax(a>0且a≠1),f(1)=34.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若不等式g(2x)+2>mg(x)对任意实数x成立,求实数m的取值范围;
(3)h(x)=logm[a2x+a-2x-2mf(x)](m>0且m≠1),是否存在实数m使得h(x)在[1,log23]上的最大值为0?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.B 因为f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,所以其图象的对称轴为x=2-m2=0,解得m=2.所以g(x)=1-log2x.要使g(x)有意义,则x>0且log2x≤1,
即0
∴c>a>b.故选D.
3.C 因为幂函数f(x)=(a-1)xn的图象过点(2,8),
所以a-1=1,(a-1)2n=8,所以a=2,n=3,
所以f(x)=x3.
由于函数f(x)=x3在R上单调递增,
所以f(b-2)
∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,∴函数f(x)为增函数,
∴m2-6>0,∴m=3(m=-2舍去).∴f(x)=x3.∴f(x)为奇函数,∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b,∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.故选A.
5.B f(t)=11+e-0.22(t-50)=0.1,即1+e-0.22(t-50)=10,所以e-0.22(t-50)=9.
由于e1.1≈3,所以(e1.1)2=e2.2≈9,
所以e-0.22(t-50)≈e2.2,所以-0.22(t-50)≈2.2,解得t≈40.故选B.
6.D 由3+log19x=log3x,得3-12log3x=log3x,解得x=9.
∴f(x)=3+log19x,09.f(x)的图象如图所示.
由f(c)=f(d),得3+log19c=log3d,即3-12log3c=log3d,化简得log3c+log3d=3,即log3dc=3,解得dc=27.故选D.
7.D 因为对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>1,所以不妨设x1>x2,则f(x1)-x1>f(x2)-x2.令g(x)=f(x)-x,则g(x)在R上递增.因为f(0)=1,所以不等式f[ln(ex-1)]<1+ln(ex-1),即f[ln(ex-1)]-ln(ex-1)<1=f(0)-0,即g[ln(ex-1)]
当m=0时,f(x)=2>0恒成立;
当m>0时,f(x)在[0,4]上递增,∴f(x)min=f(0)=-2m+2,由-2m+2>0,解得m<1,∴0
9.ABD 因为f(x)=ln(x-2),x>2,ex-1,x≤2,
所以f(e+2)=ln(e+2-2)=1,故A正确;
f(f(e+2))=f(1)=e0=1,故B正确;
f(3)=ln(3-2)=0,故C不正确;
f(f(3))=f(0)=e-1=1e,故D正确.
故选ABD.
10.BC 对于选项A,f(x1+x2)=lg(x1+x2),f(x1)·f(x2)=lgx1·lgx2,故f(x1+x2)≠f(x1)·f(x2),故A错误;
对于选项B,f(x1·x2)=lg(x1x2)=lgx1+lgx2=f(x1)+f(x2),故B正确;
对于选项C,∵f(x)=lgx在定义域上单调递增,∴f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,故C正确;
对于选项D,易得x1,x2>0(x1≠x2),
∴fx1+x22=lgx1+x22>lgx1x2,又f(x1)+f(x2)2=lgx1+lgx22=lg(x1x2)2=lgx1x2,∴fx1+x22>f(x1)+f(x2)2,故D错误.故选BC.
11.ABD 令x-1=1,可得x=2,且f(2)=loga1+2=2,所以函数f(x)的图象过定点(2,2),所以s=t=2,所以m+n=4,故A正确;
由不等式m2+n2≥2mn,可得2(m2+n2)≥(m+n)2=16,即m2+n2≥8,当且仅当m=n=2时取等号,故B正确;
mn≤m+n22=4,当且仅当m=n=2时取等号,故C错误;
1m+1n=141m+1n(m+n)=142+mn+nm≥142+2mn·nm=1,当且仅当mn=nm,m+n=4,即m=n=2时取等号,故D正确.故选ABD.
12.BC 函数f(x)=|log2(x+1)|,-13
及y=m的图象如图所示.
当m=1时,|log2(x1+1)|=|log2(x2+1)|=1,即log2(x1+1)=-1,log2(x2+1)=1,解得x1=-12,x2=1,
此时x1x2=-12,故A错误;
易知|log2(x1+1)|=|log2(x2+1)|,
即-log2(x1+1)=log2(x2+1),亦即log21x1+1=log2(x2+1),亦即1x1+1=x2+1,所以(x2+1)(x1+1)=1,所以x1+x2=-x1x2,即x1+x2x1x2=-1,所以1x1+1x2=-1,故B正确;
结合图象知,0
13.答案 [32,+∞)
解析 将t=4,y=64代入y=12mt-7,可得64=124m-7,解得m=14,∴y=12t4-7.
由12t4-7≤12,得14t-7≥1,解得t≥32.
故实数t的取值范围是[32,+∞).
14.答案 y=420×1.051.01x,x∈N*
解析 设该地区现在人口数为m,粮食总产量为nkg,则nm=420.
x年后,该地区人口数为m·(1+1%)x=m·(1.01)x,粮食总产量为n·(1+5%)x=n·(1.05)xkg,
故x年后,该地区人均年占有粮食y=n·(1.05)xm·(1.01)x=420×1.051.01x,x∈N*.
15.答案 (1,2]
解析 易得函数f(x)在R上单调递增.
所以a>1,1-a2<0,-11-a≥1,1-a2-14≤loga1=0,
解得1
16.答案 4032
解析 因为对于任意的x1,x2∈[-2016,2016],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2016,所以令x1=x2=0,得f(0)=2016.设x10,f(x2-x1)>2016,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)-2016=f(x2-x1)-2016>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在[-2016,2016]上为单调递增函数,所以f(x)max=f(2016),f(x)min=f(-2016).因为f(2016)+f(-2016)=f(0)+2016=4032,
所以M+N=4032.
四、解答题
17.解析 (1)当x<0时,-x>0, (1分)
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=loga(3+ax). (3分)
所以当x<0时,f(x)=loga(3+ax). (5分)
(2)选条件①:由于f(x)在(1,4)上单调递增,所以a>1不合题意. (6分)
所以0
选条件②:当0
所以只需考虑x∈[0,1)时,f(x)≥x2恒成立即可. (7分)
由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[0,1)上单调递减,而y=x2在[0,1)上单调递增,所以y=f(x)-x2在[0,1)上单调递减. (8分)
所以a>1,f(1)-12≥0,即a>1,loga(3-a)≥1,解得1
18.解析 (1)∵f(x)是幂函数,∴k2+k-1=1,∴k=-2或k=1.(1分)
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)
(2)存在. (5分)
g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1.
易知g(x)的图象开口向下,对称轴为x=m(m>0). (7分)
①当0
②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上递增,
∴g(x)max=g(1)=2m=5,∴m=52,符合题意. (11分)
综上,m=52. (12分)
19.解析 (1)因为每经过一次过滤可使水的杂质含量减少23,所以每次过滤后所含的杂质是前一次的13, (2分)
所以y=a%×13x,x∈N*,
即y=a100×13x,x∈N*. (4分)
(2)设经过m次过滤才能使矿泉水达到要求,则a%×13m≤0.002a%,(6分)
所以13m≤21000,
所以lg13m≤lg21000,
即mlg13≤lg21000, (8分)
所以m≥3-lg2lg3≈3-0.3010.477≈5.7, (10分)
又m∈N*,所以m≥6.
所以至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求. (12分)
20.解析 (1)f(log22020)+g-12=2log22020+log33=2021. (2分)
(2)由1-x1+x>0得-1
g(x)=log31-x1+x=log3-1+21+x,令μ=-1+21+x,∵μ=-1+21+x在(-1,1)上单调递减,y=log3μ在(0,+∞)上单调递增,
∴函数g(x)在(-1,1)上为减函数. (5分)
∵g(x)的定义域关于原点对称,且g(-x)=log31+x1-x=-g(x),∴函数g(x)为奇函数. (7分)
(3)∵∀x1∈[0,1],∀x2∈-12,12,都有F(x1)>g(x2)+m恒成立,
∴F(x)min>g(x)max+m. (8分)
由(2)知g(x)在-12,12上为减函数,
∴g(x)max=g-12=1. (9分)
易知F(x)=f(2x)-3f(x)=22x-3·2x.
令t=2x,则y=t2-3t,当x∈[0,1]时,1≤t≤2,∴当t=32,即x=log232=log23-1时,F(x)min=-94. (10分)
∴-94>1+m,解得m<-134.
∴实数m的取值范围为-∞,-134. (12分)
21.解析 (1)因为y=1x在x∈[t,t+1]上为减函数,所以1x+a∈1t+1+a,1t+a.
因为y=log2x在1t+1+a,1t+a上为增函数,所以f(x)∈log21t+1+a,log21t+a. (2分)
所以log21t+a-log21t+1+a=log21t+a1t+1+a=log2(1+at)(t+1)[1+a(t+1)]t≤2在t∈14,1上恒成立,即(1+at)(t+1)[1+a(t+1)]t≤4在t∈14,1上恒成立,即3at2+3(a+1)t-1≥0在t∈14,1上恒成立.
所以y=3at2+3(a+1)t-1在t∈14,1上的最小值大于或等于0. (4分)
因为y=3at2+3(a+1)t-1在t∈14,1上为增函数,所以ymin=3a142+3(a+1)×14-1=15a6-14,所以15a16-14≥0,解得a≥415,所以a的最小值为415. (6分)
(2)方程f12x-log2[(a-2)x+3a-5]=0,即log22x+a-log2[(a-2)x+3a-5]=0,即(a-2)x2+(2a-5)x-2=0,且2x+a>0. (8分)
当a-2=0,即a=2时,x=-2,符合题意;
当a-2≠0,即a≠2时,x1=-2,x2=1a-2,
当-2=1a-2时,a=32,符合题意;
当-2≠1a-2,即a≠32且a≠2时,需满足-1+a>0,3a-4≤0或-1+a≤0,3a-4>0,解得1
22.解析 (1)由已知得f(-x)+g(-x)=a-x.因为f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,所以-f(x)+g(x)=a-x,f(x)+g(x)=ax,
所以f(x)=12(ax-a-x),g(x)=12(ax+a-x). (2分)
由f(1)=12(a-a-1)=34,解得a=2.
所以f(x)=12(2x-2-x),g(x)=12(2x+2-x). (4分)
(2)令n=2x+2-x,n≥1,则22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=n2-2.
所以g(2x)=12(n2-2),g(x)=12n.
所以g(2x)+2>mg(x)对任意实数x成立,即12(n2-2)+2>12mn在n≥1上恒成立,
即m
(3)不存在.令t=2x-2-x,则22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=t2+2.所以22x+2-2x-2mf(x)=t2-mt+2.所以h(x)=logm[a2x+a-2x-2mf(x)]=logm(t2-mt+2).
令u=t2-mt+2,则y=logmu.
易知t=2x-2-x为增函数,所以当x∈[1,log23]时,tmin=21-2-1=32,tmax=2log23-2-log23=3-13=83,所以t∈32,83.
因为h(x)在[1,log23]上有意义,
所以对任意t∈32,83,u=t2-mt+2>0恒成立,
所以m
所以m∈(0,1)∪1,176. (10分)
二次函数u=t2-mt+2的图象开口向上,对称轴为直线t=m2.
因为m∈(0,1)∪1,176,所以m2∈0,12∪12,1712,
图象的对称轴始终在区间32,83的左侧,
所以u=t2-mt+2在区间32,83上单调递增,所以当t=32时,umin=-32m+174;
当t=83时,umax=-83m+829.
假设存在满足条件的实数m.
若m∈(0,1),则y=logmu为减函数,h(x)max=0⇔umin=1,即-32m+174=1,
解得m=136∉(0,1),舍去;
若m∈1,176,则y=logmu为增函数,h(x)max=0⇔umax=1,即-83m+829=1,
解得m=7324∉1,176,舍去.
综上,不存在满足条件的实数m. (12分)
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,那么函数g(x)=1-logmx的定义域为( )
A.(-∞,2] B.(0,2]
C.0,12 D.12,+∞
2.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=log23,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
4.已知函数f(x)=(m2-m-5)xm2-6是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值 ( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
5.某专家对某地区新冠肺炎暴发趋势进行研究,发现从确诊第一名患者开始累计时间t(单位:天)与病情暴发系数f(t)之间满足函数关系f(t)=11+e-0.22(t-50),当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积暴发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3) ( )
A.38 B.40 C.45 D.47
6.若函数f(x)=max{3+log19x,log3x},其中max{a,b}=b,a≤b,a,a>b.当0
7.已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(0,1),且对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>1,则不等式f[ln(ex-1)]<1+ln(ex-1)的解集为 ( )
A.(ln2,+∞) B.(-∞,ln2)
C.(ln2,1) D.(0,ln2)
8.已知函数f(x)=m(x-4-x)+2,g(x)=ln2+x2-x,∃x1∈[0,1],∀x2∈[0,4]都有g(x1)
C.-12,1 D.14ln3-12,1-12ln3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=ln(x-2),x>2,ex-1,x≤2,则 ( )
A.f(e+2)=1 B.f(f(e+2))=1
C.f(3)=e D.f(f(3))=1e
10.对于函数f(x)=lgx定义域中的任意x1,x2(x1≠x2),下列结论正确的是 ( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.f(x1)-f(x2)x1-x2>0
D.fx1+x22
A.m+n=4 B.m2+n2≥8
C.mn≥4 D.1m+1n≥1
12.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,-1
C.x3+x4=10 D.x3x4∈[21,25]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知函数y=12mt-7(m为常数),当t=4时,y=64,若y≤12,则实数t的取值范围为 .
14.某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg,如果该地区人口平均每年增长1%,粮食总产量平均每年增长5%,那么x年后该地区人均年占有ykg粮食,则函数y关于x的解析式是 .
15.若函数f(x)=1-a2x2+x-54(x<1),logax(x≥1)在R上恒有f(x2)-f(x1)x2-x1>0(x1≠x2)成立,则实数a的取值范围是 .
16.已知定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2016,且当x>0时,f(x)>2016,若f(x)在区间[-2016,2016]上的最大值、最小值分别为M,N,则M+N= .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).
(1)求x<0时f(x)的解析式;
(2)在①f(x)在(1,4)上单调递增;②在区间(-1,1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中,求g(a)=12a的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)·x(2-k)(1+k),且f(2)
(2)是否存在正数m,使函数g(x)=1-f(x)+2mx在区间[0,1]上的最大值为5?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)2020年下半年受拉尼娜现象的影响,某市持续干旱,不仅使自来水供应严重不足,而且水质质量也明显下降.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水中含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少23,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log31-x1+x.
(1)求f(log22020)+g-12的值;
(2)试求函数g(x)的定义域,并判断该函数的单调性与奇偶性;(判断函数的单调性不必给出证明)
(3)若函数F(x)=f(2x)-3f(x),且∀x1∈[0,1],∀x2∈-12,12,都有F(x1)>g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知a∈R,函数f(x)=log21x+a.
(1)设a>0,若对任意t∈14,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求实数a的最小值;
(2)若关于x的方程fx2-log2[(a-2)x+3a-5]=0的解构成的集合中只有一个元素,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)若函数f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,f(x)+g(x)=ax(a>0且a≠1),f(1)=34.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若不等式g(2x)+2>mg(x)对任意实数x成立,求实数m的取值范围;
(3)h(x)=logm[a2x+a-2x-2mf(x)](m>0且m≠1),是否存在实数m使得h(x)在[1,log23]上的最大值为0?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.B 因为f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,所以其图象的对称轴为x=2-m2=0,解得m=2.所以g(x)=1-log2x.要使g(x)有意义,则x>0且log2x≤1,
即0
∴c>a>b.故选D.
3.C 因为幂函数f(x)=(a-1)xn的图象过点(2,8),
所以a-1=1,(a-1)2n=8,所以a=2,n=3,
所以f(x)=x3.
由于函数f(x)=x3在R上单调递增,
所以f(b-2)
∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,∴函数f(x)为增函数,
∴m2-6>0,∴m=3(m=-2舍去).∴f(x)=x3.∴f(x)为奇函数,∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b,∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.故选A.
5.B f(t)=11+e-0.22(t-50)=0.1,即1+e-0.22(t-50)=10,所以e-0.22(t-50)=9.
由于e1.1≈3,所以(e1.1)2=e2.2≈9,
所以e-0.22(t-50)≈e2.2,所以-0.22(t-50)≈2.2,解得t≈40.故选B.
6.D 由3+log19x=log3x,得3-12log3x=log3x,解得x=9.
∴f(x)=3+log19x,0
由f(c)=f(d),得3+log19c=log3d,即3-12log3c=log3d,化简得log3c+log3d=3,即log3dc=3,解得dc=27.故选D.
7.D 因为对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>1,所以不妨设x1>x2,则f(x1)-x1>f(x2)-x2.令g(x)=f(x)-x,则g(x)在R上递增.因为f(0)=1,所以不等式f[ln(ex-1)]<1+ln(ex-1),即f[ln(ex-1)]-ln(ex-1)<1=f(0)-0,即g[ln(ex-1)]
当m=0时,f(x)=2>0恒成立;
当m>0时,f(x)在[0,4]上递增,∴f(x)min=f(0)=-2m+2,由-2m+2>0,解得m<1,∴0
9.ABD 因为f(x)=ln(x-2),x>2,ex-1,x≤2,
所以f(e+2)=ln(e+2-2)=1,故A正确;
f(f(e+2))=f(1)=e0=1,故B正确;
f(3)=ln(3-2)=0,故C不正确;
f(f(3))=f(0)=e-1=1e,故D正确.
故选ABD.
10.BC 对于选项A,f(x1+x2)=lg(x1+x2),f(x1)·f(x2)=lgx1·lgx2,故f(x1+x2)≠f(x1)·f(x2),故A错误;
对于选项B,f(x1·x2)=lg(x1x2)=lgx1+lgx2=f(x1)+f(x2),故B正确;
对于选项C,∵f(x)=lgx在定义域上单调递增,∴f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,故C正确;
对于选项D,易得x1,x2>0(x1≠x2),
∴fx1+x22=lgx1+x22>lgx1x2,又f(x1)+f(x2)2=lgx1+lgx22=lg(x1x2)2=lgx1x2,∴fx1+x22>f(x1)+f(x2)2,故D错误.故选BC.
11.ABD 令x-1=1,可得x=2,且f(2)=loga1+2=2,所以函数f(x)的图象过定点(2,2),所以s=t=2,所以m+n=4,故A正确;
由不等式m2+n2≥2mn,可得2(m2+n2)≥(m+n)2=16,即m2+n2≥8,当且仅当m=n=2时取等号,故B正确;
mn≤m+n22=4,当且仅当m=n=2时取等号,故C错误;
1m+1n=141m+1n(m+n)=142+mn+nm≥142+2mn·nm=1,当且仅当mn=nm,m+n=4,即m=n=2时取等号,故D正确.故选ABD.
12.BC 函数f(x)=|log2(x+1)|,-1
及y=m的图象如图所示.
当m=1时,|log2(x1+1)|=|log2(x2+1)|=1,即log2(x1+1)=-1,log2(x2+1)=1,解得x1=-12,x2=1,
此时x1x2=-12,故A错误;
易知|log2(x1+1)|=|log2(x2+1)|,
即-log2(x1+1)=log2(x2+1),亦即log21x1+1=log2(x2+1),亦即1x1+1=x2+1,所以(x2+1)(x1+1)=1,所以x1+x2=-x1x2,即x1+x2x1x2=-1,所以1x1+1x2=-1,故B正确;
结合图象知,0
13.答案 [32,+∞)
解析 将t=4,y=64代入y=12mt-7,可得64=124m-7,解得m=14,∴y=12t4-7.
由12t4-7≤12,得14t-7≥1,解得t≥32.
故实数t的取值范围是[32,+∞).
14.答案 y=420×1.051.01x,x∈N*
解析 设该地区现在人口数为m,粮食总产量为nkg,则nm=420.
x年后,该地区人口数为m·(1+1%)x=m·(1.01)x,粮食总产量为n·(1+5%)x=n·(1.05)xkg,
故x年后,该地区人均年占有粮食y=n·(1.05)xm·(1.01)x=420×1.051.01x,x∈N*.
15.答案 (1,2]
解析 易得函数f(x)在R上单调递增.
所以a>1,1-a2<0,-11-a≥1,1-a2-14≤loga1=0,
解得1
16.答案 4032
解析 因为对于任意的x1,x2∈[-2016,2016],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2016,所以令x1=x2=0,得f(0)=2016.设x1
所以M+N=4032.
四、解答题
17.解析 (1)当x<0时,-x>0, (1分)
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=loga(3+ax). (3分)
所以当x<0时,f(x)=loga(3+ax). (5分)
(2)选条件①:由于f(x)在(1,4)上单调递增,所以a>1不合题意. (6分)
所以0
选条件②:当0
所以只需考虑x∈[0,1)时,f(x)≥x2恒成立即可. (7分)
由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[0,1)上单调递减,而y=x2在[0,1)上单调递增,所以y=f(x)-x2在[0,1)上单调递减. (8分)
所以a>1,f(1)-12≥0,即a>1,loga(3-a)≥1,解得1
18.解析 (1)∵f(x)是幂函数,∴k2+k-1=1,∴k=-2或k=1.(1分)
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)
(2)存在. (5分)
g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1.
易知g(x)的图象开口向下,对称轴为x=m(m>0). (7分)
①当0
②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上递增,
∴g(x)max=g(1)=2m=5,∴m=52,符合题意. (11分)
综上,m=52. (12分)
19.解析 (1)因为每经过一次过滤可使水的杂质含量减少23,所以每次过滤后所含的杂质是前一次的13, (2分)
所以y=a%×13x,x∈N*,
即y=a100×13x,x∈N*. (4分)
(2)设经过m次过滤才能使矿泉水达到要求,则a%×13m≤0.002a%,(6分)
所以13m≤21000,
所以lg13m≤lg21000,
即mlg13≤lg21000, (8分)
所以m≥3-lg2lg3≈3-0.3010.477≈5.7, (10分)
又m∈N*,所以m≥6.
所以至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求. (12分)
20.解析 (1)f(log22020)+g-12=2log22020+log33=2021. (2分)
(2)由1-x1+x>0得-1
g(x)=log31-x1+x=log3-1+21+x,令μ=-1+21+x,∵μ=-1+21+x在(-1,1)上单调递减,y=log3μ在(0,+∞)上单调递增,
∴函数g(x)在(-1,1)上为减函数. (5分)
∵g(x)的定义域关于原点对称,且g(-x)=log31+x1-x=-g(x),∴函数g(x)为奇函数. (7分)
(3)∵∀x1∈[0,1],∀x2∈-12,12,都有F(x1)>g(x2)+m恒成立,
∴F(x)min>g(x)max+m. (8分)
由(2)知g(x)在-12,12上为减函数,
∴g(x)max=g-12=1. (9分)
易知F(x)=f(2x)-3f(x)=22x-3·2x.
令t=2x,则y=t2-3t,当x∈[0,1]时,1≤t≤2,∴当t=32,即x=log232=log23-1时,F(x)min=-94. (10分)
∴-94>1+m,解得m<-134.
∴实数m的取值范围为-∞,-134. (12分)
21.解析 (1)因为y=1x在x∈[t,t+1]上为减函数,所以1x+a∈1t+1+a,1t+a.
因为y=log2x在1t+1+a,1t+a上为增函数,所以f(x)∈log21t+1+a,log21t+a. (2分)
所以log21t+a-log21t+1+a=log21t+a1t+1+a=log2(1+at)(t+1)[1+a(t+1)]t≤2在t∈14,1上恒成立,即(1+at)(t+1)[1+a(t+1)]t≤4在t∈14,1上恒成立,即3at2+3(a+1)t-1≥0在t∈14,1上恒成立.
所以y=3at2+3(a+1)t-1在t∈14,1上的最小值大于或等于0. (4分)
因为y=3at2+3(a+1)t-1在t∈14,1上为增函数,所以ymin=3a142+3(a+1)×14-1=15a6-14,所以15a16-14≥0,解得a≥415,所以a的最小值为415. (6分)
(2)方程f12x-log2[(a-2)x+3a-5]=0,即log22x+a-log2[(a-2)x+3a-5]=0,即(a-2)x2+(2a-5)x-2=0,且2x+a>0. (8分)
当a-2=0,即a=2时,x=-2,符合题意;
当a-2≠0,即a≠2时,x1=-2,x2=1a-2,
当-2=1a-2时,a=32,符合题意;
当-2≠1a-2,即a≠32且a≠2时,需满足-1+a>0,3a-4≤0或-1+a≤0,3a-4>0,解得1
22.解析 (1)由已知得f(-x)+g(-x)=a-x.因为f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,所以-f(x)+g(x)=a-x,f(x)+g(x)=ax,
所以f(x)=12(ax-a-x),g(x)=12(ax+a-x). (2分)
由f(1)=12(a-a-1)=34,解得a=2.
所以f(x)=12(2x-2-x),g(x)=12(2x+2-x). (4分)
(2)令n=2x+2-x,n≥1,则22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=n2-2.
所以g(2x)=12(n2-2),g(x)=12n.
所以g(2x)+2>mg(x)对任意实数x成立,即12(n2-2)+2>12mn在n≥1上恒成立,
即m
(3)不存在.令t=2x-2-x,则22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=t2+2.所以22x+2-2x-2mf(x)=t2-mt+2.所以h(x)=logm[a2x+a-2x-2mf(x)]=logm(t2-mt+2).
令u=t2-mt+2,则y=logmu.
易知t=2x-2-x为增函数,所以当x∈[1,log23]时,tmin=21-2-1=32,tmax=2log23-2-log23=3-13=83,所以t∈32,83.
因为h(x)在[1,log23]上有意义,
所以对任意t∈32,83,u=t2-mt+2>0恒成立,
所以m
所以m∈(0,1)∪1,176. (10分)
二次函数u=t2-mt+2的图象开口向上,对称轴为直线t=m2.
因为m∈(0,1)∪1,176,所以m2∈0,12∪12,1712,
图象的对称轴始终在区间32,83的左侧,
所以u=t2-mt+2在区间32,83上单调递增,所以当t=32时,umin=-32m+174;
当t=83时,umax=-83m+829.
假设存在满足条件的实数m.
若m∈(0,1),则y=logmu为减函数,h(x)max=0⇔umin=1,即-32m+174=1,
解得m=136∉(0,1),舍去;
若m∈1,176,则y=logmu为增函数,h(x)max=0⇔umax=1,即-83m+829=1,
解得m=7324∉1,176,舍去.
综上,不存在满足条件的实数m. (12分)
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