2020-2021学年第7章 三角函数本章综合与测试单元测试当堂检测题

第七章 三角函数 核心素养优选卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有(    )

A．3对 B．5对 C．7对 D．14对

2．函数的部分图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

5．为了得到函数图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

6．设函数，，则下列结论错误的是（    ）

A．的值域为 B．是偶函数

C．不是周期函数 D．不是单调函数

7．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知点在函数的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．函数(，，)在一个周期内的图象如图所示，则(    )

A．该函数的解析式为

B．该函数图象的对称中心为，

C．该函数的增区间是，

D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

10．如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（    ）

A．转动后点距离地面

B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的

C．第和第点距离地面的高度相同

D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为

11．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是图象的对称轴

C．在上单调递增 D．的图象关于对称

12．已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在ω，使

B．存在ω，使

C．有且仅有一个，使

D．存在，使

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)

①图象C关于直线x＝对称；

②图象C关于点对称；

③函数f(x)在区间内是增函数；

④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．

14．设a，b，c是非零实数，关于x的方程在上有两个根，满足，则___________.

15．若函数的最大值为0，最小值为，则实数________．

16．若函数（），，且在区间有最小值，无最大值，则______.

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．函数（，）的部分图象如图所示．

（1）求的值及的增区间；

（2）若图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，求实数b的取值范围．

18．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数(，，，)的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F．

（1）求函数()的解析式；

（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．

19．在①函数为偶函数；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

已知函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，且______．

（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的增区间．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：

（1）求函数p(t)的周期；（2）求此人每分钟心跳的次数；（3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．

21．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：

（1）求函数p(t)的周期；（2）求此人每分钟心跳的次数；（3）画出函数p(t)的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数．

22．已知函数f（x）=2cos2，g（x）=2.

（1）求证：f=g（x）；

（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，π]的单调区间，并求使h（x）取到最小值时x的值.

参考答案

1．C

【解析】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称，

所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数，

即函数与的图象的交点个数，

作出函数与的图象，如图所示:

可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对.

故选:C．

2．C

【解析】定义域为，关于原点对称，

，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；

当时，令可得或，

所以时，两个相邻的零点为和，

当时，，，，

故排除选项A，

故选：C.

3．C

【解析】解：对任意，，，2，3，，，

都有，

要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，

考虑，，

按下图取值即可满足条件，

的最小值为8．

故选：．

4．B

【解析】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.

设题干中函数图象与轴交点的横坐标分别为，且，且.

对于B，令，即，作出和的函数图象，如图所示：

由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，符合题意；

对D，令，即，作出和的函数图象，如图所示：

由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，故D不符合题意.

故选：B.

5．C

【解析】，

故将其向左平移个长度单位可得

故选：C

6．C

【解析】解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．

因为，所以函数是偶函数，B正确．

因为，所以函数是周期函数，C不正确．

因为，不具有单调性，D正确．

故选：C．

7．D

【解析】最小正周期为，，解得：，；

图象向左平移个单位长度得：，

图象关于轴对称，，

解得：，则当时，.

故选：D.

8．B

【解析】由题意得: ,    得,所以ω.

又在区间内单调,所以,得,所以ω

所以ω=4或5或6.

当ω=4时, ,有解得.

当ω=5时, ,有无解.

当ω=6时, ,有无解.

综上: .

故选:B

9．ACD

【解析】由题图可知，，周期，

所以，则，

因为当时，，即，

所以，，即，，

又，故，

从而，故A正确；

令，，得，，故B错误；

令，，

得，，故C正确；

函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，

可得到，故D正确．

故选：ACD.

10．AC

【解析】解：摩天轮转一圈，

在内转过的角度为，

建立平面直角坐标系，如图，

设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，

以轴正半轴为始边，为终边的角为，

即点的纵坐标为，

又由题知，点起始位置在最高点处，

点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：

即

当时，，故A正确；

若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；

第点距安地面的高度为

第点距离地面的高度为

第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；

摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，

即，

即，，

得，

或，

解得或，

共，故D错误．

故选：AC．

11．ABD

【解析】解：对A，，

的定义域关于原点对称，

且，

故为奇函数，故A正确；

对B，令，

则，

当时，，故B正确；

对C，令，

解得：，

当时，在上单调递增，

故在上不单调，故C错误；

对D，令，

则，

故的对称中心为：，

当时，的一个对称中心为：，故D正确.

故选：ABD.

12．ABD

【解析】对于AB选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.

此时，故AB选项正确.

对于CD选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.

，由图可知在区间上有两个，使，C选项错误.

由图可知，存在，使，D选项正确.

故选：ABD

13．②③

【解析】因为f(x)＝3sin

对于①：由得：，

所以f(x)＝3sin的对称轴方程为：，

令，解得：，故①错误；

对于②：因为，

所以图象C关于点对称；故②正确；

对于③：令，

解得：，

所以f(x)的递增区间为，

当k=0时，是f(x)的一个递增区间，故③正确；

对于④：y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误.

故答案为：②③

14．

【解析】解：，则，，

关于x的方程在上有两个根，

则，

又，则，即，解得，

故答案为：.

15．

【解析】，令，

则，函数的对称轴为，

当，即时，

当，即时，且，此时无解；

，所以．

故答案为：2．

16．

【解析】由已知函数在区间的中点处最小值，既x=时，，也即，所以，因为，所以当时，；当时，，此时在区间上有最大值，故，

故答案为：

17．

（1）；

（2）

解：由图易知，则，，   

由题意结合图象知，又，故，       

则．       

令，

解得，

所以的增区间是．

（2）

解：（2）由题意知．       

令，即，即或，得或．       

所以在上函数的图象与x轴恰有两个交点，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，则b不小于第10个交点的横坐标，小于第11个交点的横坐标，

即b的取值范围为且，解得．

故实数b的取值范围为．

18．

（1），

（2）

19．

（1）（2）

20．（1）（min）；（2）80；（3）血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．

【解析】（1）函数的最小正周期为；

（2）次．所以此人每分钟心跳的次数为次．

（3），，

即收缩压为，舒张压为，

在血压计上的读数为，血压在正常值范围内．

21．（1）min；（2）80(次)；（3）作图见解析；（4）90mmHg．

【解析】[解]（1）由于ω＝160π，代入周期公式，可得 (min)，所以函数p(t)的周期为min．

（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．

（3）列表：

描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：

(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg．

22．（1）证明见解析；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，当x=时，函数h（x）取到最小值.

【解析】（1）因为，

，

，

所以.

（2）函数，

∵，如图，结合函数的图像，

∴函数h（x）在的单调递减区间为，单调递增区间为，

根据函数h（x）的单调性，可知当x=时，函数h（x）取到最小值.