苏教版高中数学必修第一册第6章章末综合提升课件+学案+测评含答案

类型1　函数的图象与性质

函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．

【例1】　(1)若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝________.

(2)若函数f(x)＝log2在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________．

[思路点拨]　分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解．

(1)－　(2)　[(1)因为x<1，所以0<2x<2.

要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0,2)，

由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，

所以4a＋2＋1＝0，

所以a＝－.

(2)原问题等价于a·4x＋2x＋1>0，对任意x∈(－∞，1]恒成立．

因为4x>0，所以a>－在(－∞，1]上恒成立．

令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．

由y＝－x与y＝－x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.

因为a>－在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.

故所求a的取值范围为.]

1．识别函数的图象从以下几个方面入手

(1)单调性：函数图象的变化趋势；

(2)奇偶性：函数图象的对称性；

(3)特殊点对应的函数值．

2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.

[跟进训练]

1．已知f(x)＝log2 (x＋1)＋log2 (1－x)．

(1)求f(x)的定义域，并求f 的值；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)判断f(x)的单调性．

[解]　(1)由题知，解得－1<x<1，

∴f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，

f ＝log2＋log2

＝log2＝log2＝－1.

(2)f(－x)＝log2(－x＋1)＋log2(1＋x)＝f(x)，

又f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．

故f(x)为偶函数．

(3)f(x)＝log2 (x＋1)(1－x)＝log2 (1－x2)，

设u(x)＝1－x2，则u(x)是开口向下的二次函数，

在(－1,0)上，u(x)单调递增，在(0,1)上，u(x)单调递减，又y＝log2 u是增函数，

∴f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减．

类型2　比较大小

1．比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．

2．当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

3．比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”“大于等于0，小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．

【例2】　比较下列各组数的大小：

(1)0.65.1,5.10.6，log0.65.1；

(2)log712，log812；

(3)a＝0.2，b＝0.3，c＝3，d＝5.

[思路点拨]　(1)采用“媒介法”引入0,1，把三个数与0,1相比较得结论；

(2)真数相同，底数不同，可用图象法或换底法比较大小；

(3)利用幂函数的性质求解．

[解]　(1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1，log0.65.1<0，所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1.

(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象：

由底数变化对图象位置的影响知：log712>log812.

法二：＝＝＝log78>1.

∵log812>0，

∴log712>log812.

(3)因为0<<1，所以y＝x在[0，＋∞)上为增函数，所以0.2<0.3，即a<b.

同理3<5，即c<d.

又因为0.3<1,3>1，

所以b<c，故有a<b<c<d.

1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．

2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．

[跟进训练]

2．比较大小：

(1) 3，0.2,2；

(2)log3 2，log2 3，log2 5.

[解]　(1)3<0，0.2∈(0,1)，2>1，故3<0.2<2.

(2)∵log3 2<log3 3＝1＝log2 2<log2 3<log2 5，故log3 2<log2 3<log2 5.

类型3　分类讨论思想

本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．

【例3】　已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f ＝0，求不等式f(loga x)>0(a>0，且a≠1)的解集．

[思路点拨]　根据偶函数的性质，将f(loga x)>0转化为loga x与和－的大小关系，然后分类讨论求解不等式．

[解]　∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又f ＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f ＝0.

故若f(loga x)>0，则有loga x>或loga x<－.

①当a>1时，由loga x>或loga x<－，得x>或0<x<.

②当0<a<1时，由loga x>或loga x<－，得0<x<或x>.

综上可知，当a>1时，f(loga x)>0的解集为∪(，＋∞)；当0<a<1时，f(loga x)>0的解集为(0，)∪.

将例题中“偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答？

[解]　∵f(x)是奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，

∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且f ＝0.

∴f >0可转化为loga x>或

－<loga x<0.

　①当a>1时，上述两不等式的解为x>和<x<1，

∴原不等式的解集为.

②当0<a<1时，上述两不等式的解为0<x<和1<x<，

∴原不等式的解集为.

综上，当a>1时，不等式的解集为

；

当0<a<1时，不等式的解集为

.

1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．

2．对于指数函数、对数函数含参数的问题，要根据底中参数的取值进行分类讨论．

[跟进训练]

3．若loga<1(a>0，a≠1)，求实数a的取值范围．

[解]　loga <1，即loga <loga a.

当a>1时，函数y＝loga x在(0，＋∞)上是单调增函数，

由loga <loga a，得a>，故a>1.

当0<a<1时，函数y＝loga x在(0，＋∞)上是单调减函数，由loga <loga a，得a<，故0<a<.

综上，实数a的取值范围为.

1．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)

A．是偶函数，且在单调递增

B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增

D．是奇函数，且在单调递减

D　[由得函数f(x)的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C.当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B.当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函数f(x)单调递减，故选D.]

2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)＞0　　　　 B．ln(y－x＋1)＜0

C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0

A　[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－x<2y－y.设f(x)＝2x－x，则f(x)<f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，则由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A.]

3．(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则

(　　)

A．a<b<c B．b<a<c

C．b<c<a D．c<a<b

A　[因为＝log88，b＝log85，(8)5＝84＞55，所以8＞5，所以＝log88＞log85＝b，即b＜.因为＝log1313，c＝log138，(13)5＝134＜85，所以13＜8，所以＝log1313＜log138＝c，即c＞.又2 187＝37＜55＝3 125，所以lg 37＜lg 55，所以7lg 3＜5lg 5，所以＜，所以a＝＜＜，而85＜57，所以5lg 8＜7lg 5，所以＞，所以b＝＞，所以c＞b＞a.]