苏教版 (2019)必修 第一册第4章 指数与对数本章综合与测试单元测试测试题

第四章 指数与对数 核心素养优选卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知，那么用表示是( )

A． B． C． D．

2．若，则（    ）

A．2 B．2或0 C．0 D．或0

3．若正实数，满足，则取最小值时，（    ）

A．5 B．3 C．2 D．1

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

5．已知,,,则的最小值是（    ）.

A．3 B． C． D．9

6．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：）

A． B．

C． D．

7．设，，则约等于（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．下列运算错误的是（    ）

A．

B．

C．

D．

10．已知，均为正实数，若，，则（    ）

A． B． C． D．2

11．设a，b，c都是正数，且，那么（    ）

A． B． C． D．

12．下列各选项中，值为1的是（    ）

A．log26·log62 B．log62＋log64

C． D．

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，则______．

14．若，则________.

15．设，满足，则的最小值为__________.

16．计算 ________.

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．设，，均为正数，且.

（1）试求，，之间的关系.

（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.

（3）比较，，的大小.

18．已知函数，且，求实数a的值．

19．计算：（1）

（2）.

20．

21．求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）.

22．（1）已知，求的值；

（2）已知，求的值.

参考答案

1．B

【解析】

,所以答案选.

2．C

【解析】

依题意，，，，或，，，，，（舍去），，．

故选C

3．B

【解析】

∵，

∴，且，，

∴，

∴，

当且仅当，即时取等号.

故选：B.

4．C

【解析】

，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

5．A

【解析】

,,,

所以,即,

则,

当且仅当且即,时取等号,

则的最小值是3.

故选：A

6．B

【解析】

解：2170．

令2170＝k，则lg2170＝lgk，

∴170lg2＝lgk，

又lg2≈0.3，∴51＝lgk，

即k＝1051，

∴与最接近的数为1051．

故选B．

7．C

【解析】

由题知，，对同取对数，得，，，即，即；

故选C

8．A

【解析】

两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

9．ABC

【解析】

对于A， ，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确．

故选ABC．

10．AD

【解析】

令，则，

所以，即，

解得或，即或，所以或，

因为，代入得或，

所以，或，，

所以或.

故选：AD.

11．AD

【解析】

由于，，都是正数，故可设，

，，，则，，.

，，即，去分母整理得，.

故选AD.

12．AC

【解析】

对于A选项，根据可知，A选项符合题意.

对于B选项，原式，B选项不符合题意.

对于C选项，原式，C选项符合题意.

对于D选项，由于，D选项不符合题意.

故选：AC

13．

【解析】

由，可得，

所以，代入中，可得：，解得或2.

所以或.

当时，；

当时，；

综上：.

故答案为4.

14．0

【解析】

由，根据指数式与对数式的运算，可得，即，

则，所以.

故答案为：0.

15．

【解析】

，令，

则

，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为:.

16．

【解析】

，，

，，

，，

原式．

故答案为．

17．（1）；（2）3；（3）.

【解析】

设，由，，均为正数知.

故取以为底的对数，可得.

∴，，.

（1），

∴，，之间的关系为.

（2）.

由，得，从而.

而，.

由知，

∴.

从而所求正整数为3.

（3）∵

.

而，，，，∴.

又∵，

而，，，，∴.

故有.

18．或

【解析】

，，

两端取以为底的对数，得，

，解得或，

或.

19．（1）110（2）－7

【解析】

解：（1）原式

.

（2）原式=

=7.

20．或

【解析】

解：

令，化为解得或

所以或

解得或

21．（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）原式；

（2）原式.

当时，原式；

当时，原式.

因此，原式；

（3）原式

22．（1）；（2）.

【解析】

（1）原式；

（2）原式

.