人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试随堂练习题

第四章 指数函数与对数函数 综合培优提升卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．设函数，则满足的x的取值范围是

A． B． C． D．

2．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

3．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

4．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是 (　　)

A．该二次函数的零点都小于k

B．该二次函数的零点都大于k

C．该二次函数的两个零点之间差一定大于2

D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内

5．已知函数，则的取值范围是

A． B． C． D．

6．设定义在区间上的函数是奇函数，则的取值范围是

A． B．

C． D．

7．已知函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为

A．0 B．1 C．2 D．﹣1

8．设函数，则满足的的取值范围是

A． B．

C． D．

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，f（x）是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．直线为函数图象的一条对称轴

C．函数f(x)在区间[-2，7]上存在2个零点

D．若在区间[－4，0]上的根为，，则

10．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则（    ）

A． B．实数a的取值范围为

C．的取值范围为 D．的解集为

11．已知函数，若方程有四个不同的实数解且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．为定值

C． D．的最小值为

12．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．

14．若函数不存在零点，则的取值范围是______．

15．计算 ________.

16．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．已知函数为奇函数，为偶函数．

（1）求的值．

（2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围．

18．已知指数函数满足，定义域为的函数，且图像过点.

（1）求函数、的解析式；

（2）求证：是单调增函数；

（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

19．设函数定义在上，当时，，且对任意、，有，当时．

（1）证明：；

（2）求的值并判断的单调性．

20．已知函数（其中均为常数，）的图象经过点与点

（1）求的值；

（2）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.

21．已知指数函数，函数与的图像关于对称，.

(1)若，，证明：为上的增函数；

(2)若，，判断的零点个数（直接给出结论，不必说明理由或证明）；

(3)若时，恒成立，求的取值范围.

22．2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为： (其中k≠0)．当燃料重量为吨(e为自然对数的底数，)时，该火箭的最大速度为5km／s．

 (1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式 .

 (2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道?

参考答案

1．D将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.

2．C

【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

3．A

【解析】由题意可得：

解得

故选

4．D

【解析】

由题意二次函数 满足 与 异号， 与 异号
∴函数在 与（ 内各有一个零点
即二次函数的二个零点都在区间 内
故选D

5．C

【解析】依题意可得，为偶函数，且在是增函数，

∴，∴，，∴.选C.

6．A

【解析】试题分析：定义在区间上的函数是奇函数，；∴；，；，

，令，可得，，的取值范围是；故选A.

7．B

【解析】设g（x）=ex+ae﹣x，因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数．

又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，

即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．

因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数

所以（e﹣x+aex）=ex+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣ex）=0对任意的x都成立

所以a=1，所以n=1，

所以m+2n=1

故选B．

8．C

【解析】令，则，当时，，由的导数为

，当时，在递增，即有，则方程无解；当时，成立，由，即，解得且；或解得，即为，综上所述实数的取值范围是，故选C.

9．AB

【解析】在R上的偶函数满足，

令，则，即，A正确；

因，则有，即，

于是得直线是函数图象的一条对称轴，B正确；

因，则当时，，而，

则函数f(x)在区间[-2，7]上至少存在3个零点，C不正确；

由于函数f(x)的图象关于直线对称，则，即，D不正确.

故选：AB

10．ACD

【解析】由题意方程有三个实数根，，，

则函数的图像与直线有三个交点,且横坐标分别为，，.

作出函数的图像和直线如图所示：

由图可知，，所以，故A正确；

由于，所以，故B错误；

由，得，所以，所以，故C正确；

当时，由，即，得，

当时，由，即，得，

故的解集为，故D正确．

故选：ACD．

11．AB

【解析】画出函数的图象，

方程有四个不同的实数解，和有4个不同的交点，则观察图象可得，故A正确，

则，即，则，即，，又和关于对称，，为定值，故B正确；

，且，在单调递减，在单调递增，，即，故C错误；

在单调递增，，故D错误.

故选：AB.

12．ACD

【解析】对于A，，，，正确；

对于B，，，，错误；

对于C，在定义域中单调递增，，正确；

对于D，，又，则，正确；

故选：ACD

13．

【解析】由题设，令，而为增函数，

∴要使在上是增函数，即在上为增函数，

∴或，可得或，

∴的取值范围是.

故答案为：

14．

【解析】解：因为函数不存在零点，

即方程没有实数根，

即函数与没有交点，

由，，将两边同时平方可得，

且

，

即函数的值域为，所以

故答案为：

15．

【解析】，，

，，

，，

原式．

故答案为．

16．

【解析】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.

因为点在函数的图像上，所以，.

因为点在函数的图像上，所以.

又因为，，

所以点的坐标为.

故答案为

17．（1）；（2）

【解析】解：（1）因为定义域为，且为奇函数，所以，解得，所以，则，所以为奇函数，故满足条件；

又为偶函数，所以，即，即，即，所以，解得，所以

（2）由（1），所以，

又因为在区间上是增函数，所以当时，，所以由题意，

得，

因此，实数的取值范围是：

18．（1），；（2）见解析；（3）

【解析】（1）设，由得，解得，故.所以，将代入得，解得，故.

（2）由（1）知，其定义域为，任取，，由于，所以，即，所以是上的单调递增函数.

（3）由（2）知是上的单调递增函数，所以由得，所以，当时，取得最小值为，所以.

19．（1）证明见解析；（2），在上是增函数．

【解析】（1），，

，

所以，当时取等号，

即；

（2）令，得，解得或，

若，当时，有，与已知矛盾，．

设，则，由已知得，

，

所以，函数在上是增函数．

20．（1）；（2）

【解析】（1）由已知得，

消去得，即，又，，

解得.

（2）由（1）知函数的解析式为. .

当时，函数单调递增，其值域为；

令，当时，，

于是 .

设函数，则函数的值域为，

根据条件知，于是，解得.

所以实数的取值范围为.

21．(1)见证明；(2)见解析；(3)

【解析】（1）F（x）=

任取，

为R上的增函数；

（2）3个交点（理由略）

（3）函数与的图像关于对称，所以与互为反函数，

当时，不恒成立；

当时，解得，，即

由图像可知，

所以，的取值范围是．

22．(1) (2) 应装载516吨

【解析】(1)依题意，把代入函数关系，解得k=10，所以所求的函数关系式为

(2)设应装载x吨燃料方能满足题意， 此时，代入函数关系式，得，解得吨，故应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．