浙江省杭州市下城区2017-2018学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本

这是一份浙江省杭州市下城区2017-2018学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
2．下列语句中，是命题的是（ ）
A．∠α和∠β相等吗？B．两个锐角的和大于直角
C．作∠A的平分线MND．在线段AB上任取一点
3．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD=CDB．AB=ACC．∠B=∠CD．∠BDA=∠CDA
4．下列说法中错误的是（ ）
A．等腰三角形至少有两个角相等
B．等腰三角形的底角一定是锐角
C．等腰三角形顶角的外角是底角的2倍
D．等腰三角形中有一个角是45°，那它一定是等腰直角三角形
5．两个代数式x﹣1与x﹣3的值的符号相同，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜1C．1＜x＜3D．x＜1或x＞3
6．如图，已知等腰△ABO的底边BO在x轴上，且BO=8，AB=AO=5，点A的坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）
7．已知（﹣1.2，y1），（﹣0.5，y2），（2.9，y3）是直线y=﹣5x+a（a为常数）上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
8．若m＜n，下列不等式组无解的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知A，B两地相距120千米，甲乙两人沿同一条公路匀速行驶，甲骑自行车以20千米/时从A地前往B地，同时乙骑摩托车从B地前往A地，设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），若s与t的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．经过2小时两人相遇
B．若乙行驶的路程是甲的2倍，则t=3
C．当乙到达终点时，甲离终点还有60千米
D．若两人相距90千米，则t=0.5或t=4.5
10．在△ABC中，AB=AC，两底角的平分线交于点M，两腰上的中线交于点N，两腰上的高线所在直线交于点H，在线段AB，AC上分别有P，Q两点，且BQ=CP，线段BQ与CP交于点G，下面四条直线：①直线AM，②直线AH，③直线AH，④直线AG，其中必过BC中点的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④

二、填空题
11．写出一个解为x＞﹣1的一元一次不等式 ．
12．命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是 ．
13．一辆汽车加满油后，油箱中有汽油70L，汽车行驶时正常的耗油量为0.1L/km，则油箱中剩余的汽油量Q（L）关于加满后已驶里程d（ km）的函数表达式是 ，自变量d的取值范围 ．
14．下列说法：①点（0，﹣3）在x轴上；②若点A到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为（4，3）；③若点A（6，a），B（b，﹣3）位于第四象限，则ab＜0，正确的有 ．（填序号）
15．在等腰△ABC中，D为线段BC上一点，AD⊥BC，若AB=5，AD=3，CD= ．
16．Rt△ABC中，BC为较长的直角边，它是较短直角边长的两倍，把△ABC放入直角坐标系，若点B，点C的坐标分别为（1，2），（3，4），则点A的坐标为 ．

三、解答题
17．解不等式组，并把解在数轴上表示出来．
18．如图，已知D是△ABC内一点．
（1）求作△ADE，使得D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC；
（2）在（1）的条件下，若AB=AC，连BD，EC，求证：BD=EC．
19．高空的气温与距地面的高度有关，某地地面气温为24℃，且已知离地面距离每升高1 km，气温下降6℃．
（1）写出该地空中气温T（℃）与高度h（km）之间的函数表达式；
（2）求距地面3 km处的气温T；
（3）求气温为﹣6℃处距地面的高度h．
20．如图，一次函数y=x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？
（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值．
21．如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F为AD的中点，连结EF．
（1）找出图中所有的等腰三角形，并证明其中的一个；
（2）若AE=8，DE=6，求EF的长．
22．如图，直线l1：y=2x+3与y轴交于点B，直线l2交y轴于点A（0，﹣1），且直线l1与直线l2交于点P（﹣1，t）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）过动点D（a，0）作x轴的垂线与直线l1，l2分别交于M，N两点，且MN≤2．
①求a的取值范围；
②若S△APM=，求MN的长度．
23．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B'处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C'处，CD与BE交于点F．
（1）求AC'的长度；
（2）求证：E为B'C的中点；
（3）比较四边形EC'DF与△BCF面积的大小，并说明理由．

2017-2018学年浙江省杭州市下城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题
1．已知△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，判断结论即可．
【解答】解：由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故选：A．

2．下列语句中，是命题的是（ ）
A．∠α和∠β相等吗？B．两个锐角的和大于直角
C．作∠A的平分线MND．在线段AB上任取一点
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据命题的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A、语句为疑问句，不是命题，所以A选项错误；
B、两个锐角的和大于直角是命题，所以B选项正确；
C、作∠A的平分线MN为描述性语言，不是命题，所以C选项错误；
D、在线段AB上任取一点，为描述性语言，不是命题，所以D选项错误．
故选B．

3．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD=CDB．AB=ACC．∠B=∠CD．∠BDA=∠CDA
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】分析已知条件知道，在△ABD与△ACD中，有一对对应角相等，一公共边，所以结合全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD，故本选项正确；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）故本选项错误；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）故本选项错误；
故选：B．

4．下列说法中错误的是（ ）
A．等腰三角形至少有两个角相等
B．等腰三角形的底角一定是锐角
C．等腰三角形顶角的外角是底角的2倍
D．等腰三角形中有一个角是45°，那它一定是等腰直角三角形
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、等腰三角形至少有两个角相等，故本选项正确；
B、等腰三角形的底角一定是锐角，故本选项正确；
C、等腰三角形顶角的外角是底角的2倍，故本选项正确；
D、等腰三角形中有一个角是45°，那它一定是等腰直角三角形或锐角三角形，故本选项错误．
故选D．

5．两个代数式x﹣1与x﹣3的值的符号相同，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜1C．1＜x＜3D．x＜1或x＞3
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据两代数式的值符号相同可得或，分别求解可得．
【解答】解：根据题意可得或，
解得：x＞3或x＜1，
故选：D．

6．如图，已知等腰△ABO的底边BO在x轴上，且BO=8，AB=AO=5，点A的坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）
【考点】KH：等腰三角形的性质；D5：坐标与图形性质．
【分析】过A作AC⊥OB于C，若求顶点A的坐标则求出AC和OC的长即可．
【解答】解：过A作AC⊥OB于C，
∵AB=AO，
∴OC=OB=4，
AC==3，
∴A（﹣4，3），
故选C．

7．已知（﹣1.2，y1），（﹣0.5，y2），（2.9，y3）是直线y=﹣5x+a（a为常数）上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=﹣5x+a（a为常数）中，k=﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵2.9＞﹣0.5＞﹣1.2，
∴y1＞y2＞y3．
故选B．

8．若m＜n，下列不等式组无解的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】C3：不等式的解集．
【分析】根据已知条件m＜n，先求出每个不等式组的解集判断即可．
【解答】解：∵m＜n，
∴2m＜2n，
∴不等式组的解集为2m＜x＜2n；
不等式组的解集为x＜m﹣n；
不等式组的解集为x＞n﹣1，
∵m＜n，
∴m﹣2n＜﹣n，
∴不等式组无解，
故选D．

9．已知A，B两地相距120千米，甲乙两人沿同一条公路匀速行驶，甲骑自行车以20千米/时从A地前往B地，同时乙骑摩托车从B地前往A地，设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），若s与t的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．经过2小时两人相遇
B．若乙行驶的路程是甲的2倍，则t=3
C．当乙到达终点时，甲离终点还有60千米
D．若两人相距90千米，则t=0.5或t=4.5
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】由图象得到经过2小时两人相遇，A选项正确，若乙行驶的路程是甲的2倍，则甲行驶40千米，乙行驶80千米，得到t=2，B选项错误，由于乙的速度是=40千米\时，乙到达终点时所需时间为=3（小时），3小时甲行驶3×20=60（千米），离终点还有120﹣60=60（千米），故C选项正确，当0＜t≤2时，得到t=0.5，当3＜t≤6时，得到t=4.5，于是得到若两人相距90千米，则t=0.5或t=4.5，故D正确．
【解答】解：由图象知：经过2小时两人相遇，A选项正确，
∵若乙行驶的路程是甲的2倍，则甲行驶40千米，乙行驶80千米，
∴20t=40，
∴t=2，B选项错误，
乙的速度是=40千米\时，乙到达终点时所需时间为=3（小时），3小时甲行驶3×20=60（千米），离终点还有120﹣60=60（千米），故C选项正确，
当0＜t≤2时，S=﹣60t+120，当S=90时，即﹣60t+120=90，解得：t=0.5，
当3＜t≤6时，S=20t，当S=90时，即20t=90，解得：t=4.5，
∴若两人相距90千米，则t=0.5或t=4.5，故D正确．
故选B．

10．在△ABC中，AB=AC，两底角的平分线交于点M，两腰上的中线交于点N，两腰上的高线所在直线交于点H，在线段AB，AC上分别有P，Q两点，且BQ=CP，线段BQ与CP交于点G，下面四条直线：①直线AM，②直线AH，③直线AH，④直线AG，其中必过BC中点的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】由等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵如图，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠ABC，
同理，
∠2=ACB，
∴∠1=∠2，
∴BM=CM，
∴直线AM是BC的垂直平分线，
∴直线AM必过BC中点，
同理直线AN，AH，AG，必过BC中点，
故选D．

二、填空题
11．写出一个解为x＞﹣1的一元一次不等式 x+1＞0（答案不唯一） ．
【考点】C3：不等式的解集．
【分析】根据一元一次不等式的求解逆用，把﹣1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．
【解答】解：移项，得x+1＞0．
故答案为：x+1＞0（答案不唯一）．

12．命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是 若a2=b2，则a=b ．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．故只需将命题“若a=b，则a2=b2”的题设和结论互换，变成新的命题即可．
【解答】解：命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是若a2=b2，则a=b．

13．一辆汽车加满油后，油箱中有汽油70L，汽车行驶时正常的耗油量为0.1L/km，则油箱中剩余的汽油量Q（L）关于加满后已驶里程d（ km）的函数表达式是 Q=70﹣0.1d ，自变量d的取值范围 0≤d≤700 ．
【考点】E3：函数关系式；E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据余油量=原有油量﹣用油量，可得出Q（L）与d（km）之间的函数关系式，再根据里程数=总共油量÷单位耗油量可求自变量d的取值范围．
【解答】解：原有油量=70L，用油量=0.1d，
由题意得：油箱中剩余的汽油两Q（L）关于加满后已驶里程d（ km）的函数表达式是Q=70﹣0.1d，
自变量d的取值范围为：0≤d≤700．
故答案为：Q=70﹣0.1d，0≤d≤700．

14．下列说法：①点（0，﹣3）在x轴上；②若点A到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为（4，3）；③若点A（6，a），B（b，﹣3）位于第四象限，则ab＜0，正确的有 ③ ．（填序号）
【考点】D1：点的坐标．
【分析】①根据x轴上点的坐标特征判断；②根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值写出点A的坐标；③根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求出a、b的正负，再根据有理数的乘法判断．
【解答】解：①点（0，﹣3）在x轴上，错误，应该在y轴上；
②若点A到x轴和y轴的距离分别为3，4，则|x|=4，|y|=3，
所以，点A的坐标为（4，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）；
③若点A（6，a），B（b，﹣3）位于第四象限，则a＜0，b＞0，
所以，ab＜0，正确；
综上所述，说法正确的是③．
故答案为：③．

15．在等腰△ABC中，D为线段BC上一点，AD⊥BC，若AB=5，AD=3，CD= 4或1 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】分三种情况：①当AB=AC=5时，如图1，②当AB=BC=5时，如图2，③当AC=BC时，如图3，分别根据勾股定理和等腰三角形的性质求CD的长即可．
【解答】解：分三种情况：
①当AB=AC=5时，如图1，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，BD=DC，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC==4，
②当AB=BC=5时，如图2，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
同理得：BD=4，
∴DC=5﹣4=1，
③当AC=BC时，如图3，
同理得：BD=4，
设CD=x，则AC=x+4，
由勾股定理得：（x+4）2=x2+32，
8x=﹣7，
x=﹣（不符合题意，舍），
综上所述，DC的长为4或1；
故答案为：4或1．

16．Rt△ABC中，BC为较长的直角边，它是较短直角边长的两倍，把△ABC放入直角坐标系，若点B，点C的坐标分别为（1，2），（3，4），则点A的坐标为 A1（2，5），A2（4，3），A3（0，3），A4（2，1） ．
【考点】KQ：勾股定理；D5：坐标与图形性质．
【分析】由点B，点C的坐标分别为（1，2），（3，4），利用两点间的距离公式求出BC==2．设点A的坐标为（x，y），分两种情况进行讨论：①如果∠ACB=90°，那么AC=，AB=，依此列出方程组；②如果∠ABC=90°，那么AB=，AC=，依此列出方程组，解方程组即可求出点A的坐标．
【解答】解：∵点B，点C的坐标分别为（1，2），（3，4），
∴BC==2．
∵Rt△ABC中，BC为较长的直角边，它是较短直角边长的两倍，
∴较短直角边长是，斜边长是=．
设点A的坐标为（x，y），BC为直角边时，分两种情况：
①如果∠ACB=90°，那么AC=，AB=，
则，解得，或，
∴A1（2，5），A2（4，3）；
②如果∠ABC=90°，那么AB=，AC=，
则，解得，或，
∴A3（0，3），A4（2，1）；
即点A的坐标为A1（2，5），A2（4，3），A3（0，3），A4（2，1）．
故答案为A1（2，5），A2（4，3），A3（0，3），A4（2，1）．

三、解答题
17．解不等式组，并把解在数轴上表示出来．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x≤，
∴原不等式组的解集为﹣3≤x，
不等式组的解集在数轴上表示如下：．

18．如图，已知D是△ABC内一点．
（1）求作△ADE，使得D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC；
（2）在（1）的条件下，若AB=AC，连BD，EC，求证：BD=EC．
【考点】N3：作图—复杂作图；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC，即可作出△ADE；
（2）根据∠DAE=∠BAC，得出∠BAD=∠CAE，再判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得到BD=EC．
【解答】解：（1）如图所示，△ADE即为所求；
（2）如图所示，连BD，EC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=EC．

19．高空的气温与距地面的高度有关，某地地面气温为24℃，且已知离地面距离每升高1 km，气温下降6℃．
（1）写出该地空中气温T（℃）与高度h（km）之间的函数表达式；
（2）求距地面3 km处的气温T；
（3）求气温为﹣6℃处距地面的高度h．
【考点】E3：函数关系式．
【分析】（1）直接利用空中气温T=地面温度﹣6×上升高度，进而得出答案；
（2）利用h=3，进而代入函数关系式求出答案；
（3）利用T=﹣6，进而代入函数关系式求出答案．
【解答】解：（1）∵离地面距离每升高1 km，气温下降6℃，
∴该地空中气温T（℃）与高度h（km）之间的函数表达式为：T=24﹣6h；
（2）当h=3时，T=24﹣6×3=6（℃）；
（3）当T=﹣6℃时，﹣6=24﹣6h，
解得：h=5，
答：距地面的高度h为5km．

20．如图，一次函数y=x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？
（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）求出A、B点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）根据S四边形APOB=S△AOP+S△AOB即可得出四边形APOB的面积，再由△APB的面积是4可得出m的值．
【解答】解：（1）不变．
∵一次函数y=x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OB=2．
∵P（﹣1，m），
∴S△OPB=OB×1=×2×1=1；
（2）∵A（﹣2，0），P（﹣1，m），
∴S四边形APOB=S△AOP+S△AOB=OA•（﹣m）+OA×2
=﹣×2m+×2×2
=2﹣m．
∵S四边形APOB=S△APB+S△OPB=4+1=5，
∴2﹣m=5，解得m=﹣3．

21．如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F为AD的中点，连结EF．
（1）找出图中所有的等腰三角形，并证明其中的一个；
（2）若AE=8，DE=6，求EF的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KI：等腰三角形的判定．
【分析】（1）图中△ADC，△AFE，△DFE都，△ADB是等腰三角形．根据等腰三角形的判定方法一一证明即可．
（2）求出AB的长，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：（1）图中△ADC，△AFE，△DFE都，△ADB是等腰三角形．
理由：∵CD∥AB，
∴∠C=∠BAC，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠C=∠DAC，
∴△DAC是等腰三角形，
∵DB平分∠ADC，
∴DB⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AF=FD，
∴EF=AF=FD，
∴△AEF，△DFE都是等腰三角形．
∵∠AED=∠AEB=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，∠EAB+∠B=90°，
∵∠DAE=∠EAB，
∴∠ADE=∠B，
∴△ADB是等腰三角形．
（2）∵AD=AB，AE⊥BD，
∴DE=EB=6，
在Rt△AEB中，AB===10，
∵DF=FA，DE=EB，
∴EF=AB=5．

22．如图，直线l1：y=2x+3与y轴交于点B，直线l2交y轴于点A（0，﹣1），且直线l1与直线l2交于点P（﹣1，t）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）过动点D（a，0）作x轴的垂线与直线l1，l2分别交于M，N两点，且MN≤2．
①求a的取值范围；
②若S△APM=，求MN的长度．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）可先求得P点坐标，再由A、P两点的坐标，利用待定系数法可求得直线l2的函数表达式；
（2）①用a可分别表示出M、N的坐标，则可表示出MN的长，由条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；②可先求得△APB的面积，由条件可知点M应在y轴左侧，当点M在线段PB上时，则可知S△ABM=S△APB，则可求得M点到y轴的距离；当点M在线段BP的延长线上时则可知S△APM=S△APB，可求得M到y轴的距离；再利用①中MN的长可求得答案．
【解答】解：
（1）∵点P（﹣1，t）在直线直线l1上，
∴t=2×（﹣1）+3=1，即P（﹣1，1），
设直线l2解析式为y=kx+b，
把A、P的坐标代入可得，解得，
∴直线l2的函数表达式为y=﹣x﹣1；
（2）①∵MN∥y轴，
∴M、N的横坐标为a，
设M、N的纵坐标分别为ym和yn，
∴ym=2a+3，yn=﹣a﹣1，
当MN在点P左侧时，此时a＜﹣1，
则有MN=yn﹣ym=﹣a﹣1﹣（2a+3）=﹣3a﹣4，
∵MN≤2，
∴﹣3a﹣4≤2，解得a≥﹣2，
∴此时﹣2≤a＜﹣1；
当MN在点P的右侧时，此时a＞﹣1，
则有MN=ym﹣yn=2a+3﹣（﹣a﹣1）=3a+4，
∵MN≤2，
∴3a+4≤2，解得a≤﹣，
∴此时﹣1＜a＜﹣；
综上可知当﹣2≤a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣时，MN≤2；
②由题意可知B（0，3），且A（0，﹣1），
∴AB=4，
∵P（﹣1，1），
∴S△APB=×4×1=2，
由题意可知点M只能在y轴的右侧，
当点M在线段AP上时，过点M作MC⊥y轴于点C，如图1
∵S△APM=，
∴S△ABM=S△APB=，
∴AB•MC=，即2MC=，解得MC=，
∴点M的横坐标为﹣，即a=﹣，
∴MN=3a+4=﹣2+4=2；
当点M在线段BP的延长线上时，过点M作MD⊥y轴于点D，如图2，
∵S△APM=，
∴S△ABM=2S△APB=4，
∴AB•MC=4，即2MC=4，解得MC=2，
∴点M的横坐标为﹣2，
∴MN=﹣3a﹣4=6﹣4=2，
综上可知MN的长度为2．

23．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B'处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C'处，CD与BE交于点F．
（1）求AC'的长度；
（2）求证：E为B'C的中点；
（3）比较四边形EC'DF与△BCF面积的大小，并说明理由．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KQ：勾股定理．
【分析】（1）根据折叠求BC′=BC=3，再利用勾股定理求AB=5，可得结果；
（2）证明△AEC′∽△ABC，列比例式可求EC′=，由折叠的性质得，CE=EC′=，则E为B'C的中点；
（3）由图形可得：S△BDC=S△BFC+S△BDF，S△EC′B=S四边形EC′DF+S△BDF，只要比较△BDC和△EC′B的面积即可，作高线DG，根据三角函数求DG的长，分别求出两三角形的面积作比较即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
由折叠的性质得，BC′=BC=3，
∴AC′=5﹣3=2；
（2）由折叠的性质得，∠AC′E=′ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEC′∽△ABC，
∴=，即=，
∴EC′=，
由折叠的性质得，CB′=BC=3，CE=EC′=
∴CE=CB′，
∴E为B'C的中点；
（3）结论：S四边形EC′DF＜S△BCF，
理由是：如图，过D作DG⊥BC于G，
由折叠得：∠DCB=∠ACD=45°，
∴DG=CG，
设DG=x，则CG=x，BG=3﹣x，
tan∠ABC=，
∴，
x=，
∴DG=，
∴S△BDC=BC•DG=×=，
∵S△EC′B=S△ECB=BC•EC=×=，
∵，
∴S△BDC＞S△EC′B，
∵S△BDC=S△BFC+S△BDF，
S△EC′B=S四边形EC′DF+S△BDF，
∴S四边形EC′DF＜S△BCF．