2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（上）期中数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学八年级（上）期中数学试卷

1.     下列交通警告标识中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是(    )

A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11

3.     已知，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     下列各题是真命题的是(    )

A. 两个等边三角形一定全等 B. 形状相同的两个三角形全等
C. 全等三角形的面积一定相等 D. 面积相等的两个三角形全等

5.     若AM、AN分别是的高线和中线，AG是的角平分线，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.     某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共有(    )

A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种

7.     已知点A的坐标为，下列说法正确的是(    )

A. 若点A在y轴上，则 B. 若点A在一三象限角平分线上，则
C. 若点A到x轴的距离是3，则 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为

8.     在中，，点P在边AB上．，(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

9.     如图，在中，，CD为的角平分线，在AC边上取点E，使，且若，，则(    )
   
    

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接则下列结论正确的是(    )
    ①；
    ②；
    ③；
    ④；
    ⑤

A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ②③④⑤

11. 点位于平面直角坐标系中第______象限．
12. “等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______ .
13. 如图，中，，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且若，则等于______

14. 在等腰三角形ABC中，，若，则______.
15. 已知，写一个符合条件的用含a的代数式表示：______.
16. 如图，在中，，，将第一次沿折痕CE折叠，使得点A能落在BC上，铺平后，将沿折痕GF折叠，使点B与点A重合，FG分别交BC边，AB边于点F，点G，CD是斜边上的高线，则______.
17. 以下是圆圆解不等式组的解答过程：
    解：由①，得，
    所以
    由②，得，
    所以，
    所以
    所以原不等式组的解是
    圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18. 已知点
    若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4，试求出a的值：
    若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
19. 在一次课外兴趣活动中，有一半学生学数学．四分之一学生学音乐，七分之一学生学英语，还有部分人在操场上踢球，若参加这次课外兴趣活动共有学生m人．
    请用含m的代数式表示在操场上踢球的人数．
    若还剩下不到6名学生在操场上踢球，试问参加这次课外兴趣活动共有学生多少人？
20. 如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且
    求证：；
    试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．

21. 已知，如图，四边形ABCD，，
    用直尺和圆规，在线段AB上找一点E，使得，连接EC，不写作法，保留作图痕迹；
    在的图形中，若，且，，求AD的长．

22. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
    如图1，中，，，求证：CD是的一条特异线．
    如图2，是一个等腰锐角三角形，，且它是特异三角形，请求出的度数．

23. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，动点D在直线点A与点B重合除外上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形ECD，且，连接
    
    判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由；
    如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长；
    在第小题的条件下，当点D在线段AB的延长线或反向延长线上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】C 

【解析】解：A、，不能够组成三角形，故本选项错误；
B、，不能够组成三角形，故本选项错误；
C、，能够组成三角形，故本选项正确；
D、，不能够组成三角形，故本选项错误．
故选
根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
 

3.【答案】A 

【解析】解：，
，
，原变形正确，故本选项符合题意；
B.，
，原变形错误，故本选项不符合题意；
C.，
，原变形错误，故本选项不符合题意；
D.，
，必须规定，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：
根据不等式的性质解答．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】C 

【解析】解：两个等边三角形一定相似，但不一定全等，如一个等边三角形三边为2，2，2，另一个等边三角形是3，3，3，故选项A中的命题是假命题；
形状相同的两个三角形相似，但不一定全等，如一个边长为2的等边三角形和一个边长为3的等边三角形，故选项B中的命题是假命题；
全等三角形的面积一定相等，故选项C中的命题是真命题；
面积相等的两个三角形不一定全等，如同底边，等高的两个三角形，故选项D中的命题是假命题；
故选：
根据各个选项中的说法可以判断是否为真命题，从而可以解答本题．
本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个选项中的命题的真假．
 

5.【答案】D 

【解析】解：线段AM，AN分别是的BC边上的高线和中线，AG是的角平分线，
根据垂线段最短可知：，，
故选：
根据垂线段最短解答即可．
本题考查了三角形的角平分线、高线和中线，根据垂线段最短判断高线小于等于中线和角平分线是解题的关键．
 

6.【答案】C 

【解析】解：设买软件x片，磁盘y盒，x取正整数，
得：，
不相同的选购方式有，，，，，，共6种方案．
故选：
本题先由题意找出不等关系列出不等式组为得：，解出即可．
解决本题的关键是根据总价钱得到相应的关系式，易错点是得到整数解的个数．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】
依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．
本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为
【解答】
解：若点A在y轴上，则，解得，故本选项错误；
B.若点A在一三象限角平分线上，则，解得，故本选项正确；
C.若点A到x轴的距离是3，则，解得或0，故本选项错误；
D.若点A在第四象限，则，且，解得，故a的值不可以为；
故选：  

8.【答案】D 

【解析】解：在中，，，，
，
若，则CP是的平分线，
，
，故A选项错误；
若时，
，
，
，
，故选项B，C错误，选项D正确，
故选：
由勾股定理可求解AB的长，再逐项根据CP的位置计算可求解．
本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，确定CP是解题的关键．
 

9.【答案】A 

【解析】解：如图，在AC上截取，

，，，
≌
，


，


故选：
在AC上截取，根据全等三角形的性质可得，可得，根据三角形的内角和可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

10.【答案】B 

【解析】解：①在等腰中，，BE平分，
，
，
又是等腰的中线，
，
，
，
，
又，
，
，
故①正确；
②，D是BC的中点，
，
，
，
，
，
故②正确；
③如图，延长BA，CE交于点H，

则，
，
，
又，
，
又，
在与中，
，
≌，
，
又平分，且，
是等腰三角形，
，
，
，
故③正确；
④由③知，，
，
又是等腰三角形，
，
，
故④错误；
⑤如图，连接GC，

垂直平分BC，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故⑤正确，
故选：
①根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，则，故①正确；
②根据直角三角形斜边上中线的性质得，再利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，故②正确；
③延长BA，CE交于点H，利用ASA证明≌，得，可说明③正确；
④由③知，，则，可知④错误；
⑤连接GC，说明是等腰直角三角形，则，可知⑤正确．
本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
 

11.【答案】四 

【解析】解：已知点，则点P位于平面直角坐标系中的第四象限，
故答案为：四．
根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了坐标确定位置，点的坐标，熟记各象限内点的坐标规律是解题关键．
 

12.【答案】三个内角都等于的三角形是等边三角形 

【解析】解：命题“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是“三个内角都等于的三角形是等边三角形”．
故答案为：三个内角都等于的三角形是等边三角形．
逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．
本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大．
 

13.【答案】60 

【解析】解：由直角三角形性质知，
为AB之中点，
，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
，，
，
又，
，
，
在中，
，

故答案为，60
由直角三角形的性质知，中线，所以，，由三角形内角和即可求得．
本题考查了直角三角形的性质，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
是底角，
①当时，，此时，不符合题意；
②当时，条件成立；
综上，
故答案为：
先根据等腰三角形的性质和条件：，确定即可．
本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
答案不唯一
故答案为：答案不唯一
根据题目可知：符合条件的x必须介于1和a之间，即可得出答案．
本题考查列代数式，该题限定了x 必须介于1和a之间，所以在列代数式时，一定要仔细．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接AF，如图，
，CD是斜边上的高线，
，，
，
，
，
由折叠可知，CE是的角平分线，FG是边AB的垂直平分线，
，即，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
即
故答案为：
连接AF，如图，先证明，再利用CE是的角平分线得到，接着根据线段垂直平分线的性质得到，则，于是可判断为等腰直角三角形，所以
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

17.【答案】解：以上解答过程有错误，
正确解答如下：
由①，得：，
，
由②，得：，
，
所以原不等式组的解集为 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：由点位于第四象限，
，
解得，
点P到x轴的距离是4，
得，
或，
解得不合题意，舍去或6；
点位于第三象限，
，
解得：因为点P的横、纵坐标都是整数，所以或4，
当时，点，
当时，点
综上所述，点P的坐标为或 

【解析】根据第四象限的点的纵坐标为负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可．
根据不等式组解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程或不等式组解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：参加这次课外兴趣活动的学生共有m人，根据“有一半学生学数学，学生学音乐，学生学英语，
在操场上踢足球人数为：人，
答：在操场上踢球的人数为人；
依题意得，
解得，
则
能被2、4、7整除且为正数，

答：参加这次课外兴趣活动的学生共有28人． 

【解析】参加这次课外兴趣活动的学生共有m人，根据“有一半学生学数学，学生学音乐，学生学英语，在操场上踢足球人数为：，计算整理即可；
依题意得，解得，则又因为m能被2、4、7整除且为正数，得出
本题考查了列代数式以及代数式求值，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．
 

20.【答案】证明：，BE平分，
，，，
，
，
，
；
解：，理由如下：
在和中，
，
≌，
，
 

【解析】由等腰三角形的性质可得，，，由余角的性质可得结论；
由“AAS”可证≌，可得，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，

是直角三角形，，，
，
在和中，
，
，
 

【解析】利用作线段垂直平分线的方法，即可确定点
先利用勾股定理求出BE的长，再利用≌即可求出AD的长．
本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线及勾股定理，解题的关键是熟记作线段垂直平分线的方法．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
，
，
是斜边上的中线，
，
和是等腰三角形，
是的一条特异线；
当是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形：
如图1，，，
，，
设，
则，
解得，
，
如图2，，，，
，，，
，
设，
则，
解得

故的度数是或 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论；
当是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形，如图1，如图2，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，正确地理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
理由如下：，都是等腰直角三角形，
，，，，
，且，，
≌
，，
，
；
，，
，
，，
，
；
如图3，若点D在AB的延长线上，

，都是等腰直角三角形，
，，，，
，且，，
≌
，，且，
，
，，
，
，，
，
；
如图4，若点D在BA的延长线上，

，都是等腰直角三角形，
，，，，
，且，，
≌
，，且，
，
，，
，
，，
，
； 

【解析】由“SAS”可证≌，可得，，可得；
由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；
分两种情况讨论，由“SAS”可证≌，可得，，可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键．