浙江省绍兴市嵊州市2017-2018学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本

这是一份浙江省绍兴市嵊州市2017-2018学年八年级（上）期末数学试卷（解析版） - 副本，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，不折断且将它们收尾相连时，能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
2．如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　）
A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣＜﹣ C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣3＞b﹣3
3．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．是真命题的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（　　）

A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=6，AB=20，则△ABD的面积是（　　）

A．30 B．45 C．60 D．90
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．4
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=，AC=1，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在AB上，另一个顶点在BC边上，依次作出的等边三角形分别是第1个为△AA1B1，第2个为△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第2017个等边三角形的边长为（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，AB=AC，若∠A=100°，则∠C=　　．
12．在函数y=中，自变量x的取值范围是　　．
13．已知点A的坐标为（﹣3，2），则点A关于x轴的对称点A1的坐标是　　．
14．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　　．
15．将一次函数y=2x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位那么平移后所得图象的函数解析式为　　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的中垂线，分别交AB，AC于点D，E．已知AB=5，AC=4，则△BCE的周长是　　．

17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则BC的长度为　　．

18．平面直角坐标系中，若一次函数y=kx﹣5（其中k是比例系数）与线段y=0（1≤x≤5）有交点，则k的取值范围为　　．
19．当三角形中一个内角β是另一个内角α的时，我们称此三角形为”希望三角形“，其中角α称为”希望角“．如果一个”希望三角形“中有一个内角为54°，那么这个”希望三角形“的”希望角“度数为　　．
20．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点P是直线AC上一个动点，连结BP，过点B作BQ⊥BP，且使BP=BQ，连结AQ且与直线BC相交于点D．若AP=2，AC=5，则BD的长为　　．

　
三、解答题（共50分）
21．解不等式（组）
（1）2（2x﹣1）≤5x+1
（2），并求出该不等式组的整数解．
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1
（2）请画出将△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2．

23．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6），B（3，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当y＞0时，求x的取值范围．
24．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）若∠A=90°，AC=16，AB=8，求EC的长．

25．昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．
根据下面图象，回答下列问题：
（1）求线段AB所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？

26．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，点D是边BC上的一个动点（不运动至点B，C），点E在BC所在直线上，连结AD，AE，且∠DAE=45°
（1）若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，DF，EF
①求证：△ABD≌△ACF；
②若BD=1，DE=2，求CE的长；
（2）如图2，若BD=，AB=，求CE的长．（直接写出答案即可）

　
四、附加题（共20分）
27．已知：如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内
（1）求点A的坐标
（2）如图，将△OAB沿O到A的方向平移4个单位至△O′A′B′的位置，即AA′=4，求点B′的坐标
（3）如图，将△OAB沿O到A的方向平移n个单位至△O′A′B′的位置，若平移后的B′点横坐标为2017，求n的值．

28．已知：如图，一次函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边作Rt△ABC，且∠ABC=30°，∠BAC=90°，点C在第一象限
（1）求AB的长及点C的坐标；
（2）求点C作AB的平行线，与x轴、y轴分别相交于点D、E
①求直线DE的解析式；
②若点P是线段DE上的一个点，且△ABP是等腰三角形，求EP的长．

　

2017-2018学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，不折断且将它们收尾相连时，能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
　
2．如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　）
A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣＜﹣ C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣3＞b﹣3
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【解答】解：A、两边都加﹣2，不等号的方向不变，故A错误；
B、两边都除以﹣2，不等号的方向改变，故B正确；
C、两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C正确；
D、两边都减3，不等号的方向不变，故D正确；
故选：A．
　
3．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形，
故选D．
　
4．下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．是真命题的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】命题与定理．
【分析】根据同旁内角、直角、对顶角的性质，以及绝对值的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：∵同旁内角互补，两直线平行，
∴选项①正确；

∵若|a|=|b|，则a=b或a=﹣b，
∴选项②不正确；

∵直角都相等，
∴选项③正确；

∵相等的角不一定是对顶角，
∴选项④不正确，
是真命题的个数有2个：①、③．
故选：C．
　
5．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（　　）

A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．
故选C．
　
6．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【解答】解：，
解不等式2x﹣1≥5，得：x≥3，
解不等式8﹣4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：x≥3，
故选：C．
　
7．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；
C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；
D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．
故选B．
　
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=6，AB=20，则△ABD的面积是（　　）

A．30 B．45 C．60 D．90
【考点】角平分线的性质．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=6，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=6，
∴△ABD的面积=×AB×DE=60，
故选：C．

　
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．4
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=5，BC=3，
∴CE=3，
∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故选A

　
10．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=，AC=1，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在AB上，另一个顶点在BC边上，依次作出的等边三角形分别是第1个为△AA1B1，第2个为△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第2017个等边三角形的边长为（　　）

A． B． C． D．
【考点】勾股定理；等边三角形的性质．
【分析】根据题目已知条件可推出，AA1=OC=，B1A2=A1B1=，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，从而求解．
【解答】解：∵OB=，OC=1，
∴BC=2，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，
∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°．
在Rt△CAA1中，AA1=OC=，
同理得：B1A2=A1B1=，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于，
则第2017个等边三角形的边长为．
故选：B．
　
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，AB=AC，若∠A=100°，则∠C=　40°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】如图，依题意可知该三角形为等腰三角形∠A=100°，利用等腰三角形的性质得另外二角相等，结合三角形内角和易求∠C的值．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=100°，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．

　
12．在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥1　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
　
13．已知点A的坐标为（﹣3，2），则点A关于x轴的对称点A1的坐标是　（﹣3，﹣2）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A1的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
　
14．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形　．
【考点】命题与定理．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．
　
15．将一次函数y=2x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位那么平移后所得图象的函数解析式为　y=2x﹣2　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：将一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移5个单位，
那么平移后所得图象的函数解析式为：y=2x+3﹣5，
化简得，y=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．
　
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的中垂线，分别交AB，AC于点D，E．已知AB=5，AC=4，则△BCE的周长是　7　．

【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴BC==3，
∵DE是AB的中垂线，
∴EB=EA，
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+CE+EA=BC+AC=7，
故答案为：7．
　
17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则BC的长度为　2　．

【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【分析】由BE⊥AC，D为AB中点，DE=5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵D为AB中点，
∴AB=2DE=2×5=10，
∵AE=8，
∴BE==6．
∴BC===2，
故答案为：2．
　
18．平面直角坐标系中，若一次函数y=kx﹣5（其中k是比例系数）与线段y=0（1≤x≤5）有交点，则k的取值范围为　1≤k≤5　．
【考点】一次函数的性质．
【分析】由题意将点（1，0），点（5，0），找出两临界点的k值，即可得出答案．
【解答】解：将点（1，0）代入一次函数y=kx﹣5得k﹣5=0，解得k=5，
将点（5，0），代入一次函数y=kx﹣5得5k﹣5=0，解得k=1．
故k的取值范围为1≤k≤5．
故答案为：1≤k≤5．
　
19．当三角形中一个内角β是另一个内角α的时，我们称此三角形为”希望三角形“，其中角α称为”希望角“．如果一个”希望三角形“中有一个内角为54°，那么这个”希望三角形“的”希望角“度数为　54°或84°或108°　．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：①54°角是α，则希望角度数为54°；
②54°角是β，则α=β=54°，
所以，希望角α=108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°=180°，
所以，α+α+54°=180°，
解得α=84°，
综上所述，希望角度数为54°或84°或108°．
故答案为：54°或84°或108°．
　
20．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点P是直线AC上一个动点，连结BP，过点B作BQ⊥BP，且使BP=BQ，连结AQ且与直线BC相交于点D．若AP=2，AC=5，则BD的长为　4或6　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】①当点P在边AC上时，先判断出△ABP≌△A'BQ得出A'Q=AP=2，再判断出A'Q∥BC，利用三角形的中位线即可求出CD，即可；
②当点P在边CA的延长线上时，同①方法即可．
【解答】解：①当点P在边AC上时，如图1，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
延长AC至A'使A'C=AC，连接A'B，
∵∠ACB=90°，
∴AB=A'B=5，
∴∠BAC=∠BA'C=45°，∠ABC=∠A'BC=45°，
∴∠AB'A=90°，
∴∠ABP+∠A'BP=90°，
∵BQ⊥BP，
∴∠A'BQ+∠A'BP=90°，
∴∠ABP=∠A'BQ，
在△ABP和△A'BQ中，，
∴△ABP≌△A'BQ，
∴A'Q=AP=2，∠BA'Q=∠BQC=45°，
∴∠AA'Q=∠BA'C+∠BA'Q=90°=∠ACB，
∴BC∥A'Q，
∵AC=A'C，
∴CD=A'Q=1
，∵BC=AC=5，
∴BD=4，
②当点P在边CA的延长线时，如图2，

同①方法，得，CD=1，
∴BD=BC+CD=6，
即：BD的长为4或6，
故答案为：4或6．
　
三、解答题（共50分）
21．解不等式（组）
（1）2（2x﹣1）≤5x+1
（2），并求出该不等式组的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，先去括号，移项合并，系数化为1即可．
（2）分别解两个不等式，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案，最后求其整数解．
【解答】解：（1）4x﹣2≤5x+1，
﹣x≤3，
x≥﹣3，
（2），

∴，
∴，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为3，4．
　
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1
（2）请画出将△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2．

【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

　
23．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6），B（3，﹣2）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当y＞0时，求x的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）直接把点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入一次函数y=kx+b（k≠0），求出k、b的值即可；
（2）根据y＞0得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵由题可得：，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x+4；

（2）当y＞0时，得﹣2x+4＞0，得x＜2．．
　
24．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）若∠A=90°，AC=16，AB=8，求EC的长．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）关键AAS即可证明两个三角形全等．
（2）设AE=x，则EC=16﹣x，由△ABE≌△DCE，得BE=EC=16﹣x，在△ABE中，∠A=90°，根据AB2+AE2=BE2，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△ABE与△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE．

（2）设AE=x，则EC=16﹣x，
△ABE≌△DCE
∴BE=EC=16﹣x，
在△ABE中，∠A=90°
∴AB2+AE2=BE2，
∴82+x2=（16﹣x）2，
得x=6，
∴EC=10．
　
25．昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．
根据下面图象，回答下列问题：
（1）求线段AB所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？

【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）可设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，根据待定系数法列方程组求解即可；
（2）先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度，再根据时间=路程÷速度，列出算式计算即可求解．
【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，
依题意有，
解得．
故线段AB所表示的函数关系式为：y=﹣96x+192（0≤x≤2）；
（2）12+3﹣（7+6.6）
=15﹣13.6
=1.4（小时），
112÷1.4=80（千米/时），
÷80
=80÷80
=1（小时），
3+1=4（时）．
答：他下午4时到家．
　
26．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，点D是边BC上的一个动点（不运动至点B，C），点E在BC所在直线上，连结AD，AE，且∠DAE=45°
（1）若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，DF，EF
①求证：△ABD≌△ACF；
②若BD=1，DE=2，求CE的长；
（2）如图2，若BD=，AB=，求CE的长．（直接写出答案即可）

【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；轴对称的性质．
【分析】（1）①根据轴对称的性质，得到AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，再根据同角的余角相等，得到∠BAD=∠FAC，即可判定△ABD≌△ACF（SAS）；
②由①可得：△ABD≌△ACF，据此得出∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，进而得到∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，再根据DE=EF=2，运用勾股定理求得CE即可；
（2）分两种情况进行讨论：当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF；当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，BF，EF．分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得CE的长即可．
【解答】解：（1）①∵点D与点F关于直线AE的对称，
∴AE垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
即∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠FAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠FAC，
在△ABD与△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS）；

②由①可得：△ABD≌△ACF，
∴∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∵AE垂直平分DF，
∴DE=EF=2，
∴CE==；

（2）CE=3或．
理由：如图所示，当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF，
根据△ABD≌△ACF，可得BD=CF=，
在等腰直角三角形ABC中，AB=，
∴BC=2，
∴CD=，
∴DE=CE+=EF，
在Rt△CEF中，CE2+（）2=（CE+）2，
解得CE=3；

如图所示，当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，BF，EF，
根据△ABF≌△ACD，可得BF=CD=，
∴DE=CE﹣=EF，
又∵BE=BC﹣CE=2﹣CE，
∴在Rt△BEF中，（）2+（2﹣CE）2=（CE﹣）2，
解得CE=．



　
四、附加题（共20分）
27．已知：如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内
（1）求点A的坐标
（2）如图，将△OAB沿O到A的方向平移4个单位至△O′A′B′的位置，即AA′=4，求点B′的坐标
（3）如图，将△OAB沿O到A的方向平移n个单位至△O′A′B′的位置，若平移后的B′点横坐标为2017，求n的值．

【考点】坐标与图形变化﹣平移；等边三角形的性质．
【分析】（1）作AM⊥x轴于点M．根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=OA=1，AM=OM=，则A的坐标可求；
（2）根据平移的性质可知当AA′=4时，OO′=4，连结O′B，由OA=O′A=AB=2，得出∠O′BO=90°，再解直角△OO′B，得出OB=OO′=2，O′B=OB=2，进而求出点B′的坐标；
（3）过O′作x轴的垂线，垂足为P．解直角△OO′P，得出OP=OO′=n，根据平移后的B′点横坐标为2017，列出方程n+2=2017，求解即可．
【解答】解：（1）如图，作AM⊥x轴于点M．
∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=OA=1，AM=OM=，
∴A（1，）；

（2）当AA′=4时，OO′=4，连结O′B，如图，
∵OA=O′A=AB=2，
∴∠O′BO=90°，
∴OB=OO′=2，O′B=OB=2，
∴点B′的坐标为（2+2，2），即（4，2）；

（3）如图，将△OAB沿O到A的方向平移n个单位至△O′A′B′的位置，即AA′=n，
∴OO′=n．
如下图，过O′作x轴的垂线，垂足为P．

在△OO′P中，∵∠O′PO=90°，∠OO′P=30°，OO′=n，
∴OP=OO′=n，
∵平移后的B′点横坐标为2017，O′B′=2，
∴n+2=2017，
∴n=4030．


　
28．已知：如图，一次函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边作Rt△ABC，且∠ABC=30°，∠BAC=90°，点C在第一象限
（1）求AB的长及点C的坐标；
（2）求点C作AB的平行线，与x轴、y轴分别相交于点D、E
①求直线DE的解析式；
②若点P是线段DE上的一个点，且△ABP是等腰三角形，求EP的长．

【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）如图1中，作CH⊥OA于H．在Rt△ACH中求出CH，AH即可．
（2）①由DE∥AB，可以设直线DE的解析式为y=﹣x+b，把（2，1）的坐标代入得b=7，由此即可解决问题．
②分三种情形讨论ⅰ：当AP=AB时，如图2中．ⅱ：当BA=BP时，如图3中，作BT⊥EC于T．ⅲ：当PA=PB时，如图4中，作PH⊥AB于H．分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥OA于H．

∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（，0），B（0，3），
∴OA=，OB=3，
∴AB==2，
∴tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=2，
∴AC=2，
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°∠CAH=30°，AC=2，
∴CH=1，AH=，
∴OA=2，
∴C（2，1）．

（2）①∵DE∥AB，
∴设直线DE的解析式为y=﹣x+b，
把（2，1）的坐标代入得b=7，
∴直线DE的解析式为y=﹣x+7．

②应分三种情况：
ⅰ：当AP=AB时，如图2中，

由（1）可知AP=AB=2，AC=2，
在Rt△APC中，PC===2．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=2，
∴CD=，AD=，
在Rt△EOD中，∵∠OED=30°，OD=，
∴DE=2OD=，
∴EC=ED﹣CD=﹣=4，
∴EP=EC﹣PC=4﹣2

ⅱ：当BA=BP时，如图3中，作BT⊥EC于T，

∵BT=AC=2，ET=TC=2，
TP1=TP2==2，
∴EP1=2﹣2，EP2=2+2．

ⅲ：当PA=PB时，如图4中，作PH⊥AB于H．

∴BH=AH=PC=，
∴EP=EC﹣PC=4﹣=3．