(通用版)中考数学二轮复习《例谈“双勾模型图”的提炼及其应用》专题训练题（含答案）

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例谈“双勾模型图”的提炼及其应用    数学教学中，适时地对课本的定理进行适当的延伸与提炼，形成模型，再利用模型去分析和解决问题，能缩短思考时间，提高解题效率.下面举例说明.    1.题目    笔者在教学勾股定理内容时，为帮助学生形成新的模型图，给出下面这道题:    在中，于，求证: .    这是一道无图题，蕴含分类图，图有两种可能，如图1、图2.    题中有垂直且有线段的平方之间的关系，自然想到勾股定理.将图形看成两个直角三角形，利用勾股定理及两个直角三角形的公共边，便能得证.[来源:学科网]    即由，得    ，    所以.    这个模型图在初中数学中应用广泛，我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”.    2.双勾模型图的应用   例1  (2016年益阳中考题)如图3，在中，，求的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.    1.作于，设，用含的代数式表示.    2.根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出.[来源:Z|xx|k.Com]    3.利用勾股定理，求出的长，再计算三角形面积.    解析  由双勾模型图3，得    .    设，则,即,解得.,即        .评析  本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图1求出的长，然后利用勾股定理即可求出高的长.   例2  如图4，四边形中，.求证: .    解析  由双勾模型图1得:，.    将两式相减，得    ，    即.    评析本题把图形看成两个双勾模型图(1)，利用双勾模型图的结沦很容易解决，这也体现了利用模型图给解题带来的简便.    例3  如图5，在中，求证：.    解析  作于点，交的延长线于点，    则，.    由三，得    .    由双勾模型图1，得    ，    由双勾模型图2，得    .    两式相加，得[来源:Z&xx&k.Com][来源:Z_xx_k.Com]    ，    整理得，[来源:学§科§网]    ，[来源:Zxxk.Com]即[来源:学#科#网Z#X#X#K]    评析  题中出现了线段之间的平方关系，易联想到勾股定理，为此作高构造直角三角形，形成了双勾模型图，利用这个模型图即可完成证明.例4  如图6，正方形和正方形，、相交于点.若，求正方形和正方形的面积之和.[来源:Z&xx&k.Com]    解析  连结.[来源:学&科&网]    由正方形和正方形，得    ，    ，    ∴，    可得，    ∴.从而，    即.    由双勾模型图1及例2，易推得    ，由，得，∴.因此，正方形和正方形的面积之和为[来源:Zxxk.Com].    评析  题中“正方形的母子图”中有一个重要的结论:与既相等，又垂直.由垂直，联想到双勾模型图，便能顺利解答.当然，解本题时，若有例2的模型图在心中，就更易解答.