(通用版)中考数学二轮复习《图形相似》专题训练题（含答案）

这是一份(通用版)中考数学二轮复习《图形相似》专题训练题（含答案），共39页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
《图形相似》提升训练.
一．选择题（共14小题）
1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（　　）
①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）

A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（　　）

A． B． C． D．
4．已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．
正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
9．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6


12．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（　　）
①EG=DF；
②∠AEH+∠ADH=180°；
③△EHF≌△DHC；
④若=，则S△EDH=13S△CFH．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则=．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为　 　cm．

16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）．

17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=　 　．

18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是　 　．（填序号即可）
①△BEF∽△CHE
②AG=1
③EH=
④S△BEF=3S△AGH

19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2018的坐标为　 　

三．解答题
20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE=AB•AD．
















21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．
（1）求证：CD=CF；
（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；
（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．


22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．
（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（　　）

（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．
（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是　 　（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．




23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．
（1）求证： =；
（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．





24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若PA=3，PC=4，则PB=　 　．
（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）[来源:学,科,网]
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．






25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．


26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　 　；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．
（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．
①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．

　
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（　　）
①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【解答】解：①由折叠可得，AD=AF，DG=FG，
在△ADG和△AFG中，
，
∴△ADG≌△AFG（SSS），
∴∠ADG=∠AFG，故①正确；
②∵GF∥DC，
∴∠EGF=∠DEG，
由翻折的性质可知：GD=GF，DE=EF，∠DGE=∠EGF，
∴∠DGE=∠DEG，
∴GD=DE，
∴DG=GF=DE=EF，
∴四边形DEFG为菱形，故②正确；
③如图所示，连接DF交AE于O，

∵四边形DEFG为菱形，
∴GE⊥DF，OG=OE=GE，
∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，
∴△DOE∽△ADE，
∴=，即DE2=EO•AE，
∵EO=GE，DE=DG，
∴DG2=AE•EG，故③正确；
④由折叠可得，AF=AD=5，
∴Rt△ABF中，BF==3，
∴CF=5﹣3=2，
设CE=x，则DE=EF=4﹣x，
∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
∴x2+22=（4﹣x）2，
解得x=，
∴CE=，故④错误；
故选：B．
　
2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）

A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1[来源:Z。xx。k.Com]
【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△BEG中，∠BED=45°，则GE=GB．
在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1，
在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，
设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，
∴△CDF∽△BDG，
∴==，
∴==，
∴DG=，BG=，
∵GE=GB，
∴y+=，
∴2y2+x（﹣x）=﹣x，
在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，
∴1+x2=4y2，
∴+x（﹣x）=﹣x，
整理得：x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，
解得x=1+﹣或1+﹣（舍弃），
∴BD=﹣x=﹣1．
故选：D．

　
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，

∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
，
∴△DAE≌△HAE（SAS），
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
∵BC===8，
设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，
∴6﹣x+8﹣x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴=，即=，
解得：DF=，
则EF=DF﹣DE=﹣2=．
故选：C．
　
4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC[来源:学|科|网]
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠ACD=∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，
∴△ADE∽△ACD
∴共4对
故选：D．
　
5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∴△CDB∽△FDO，
∴=，
∵D、E为OB的三等分点，
∴==2，
∴=2，
∴BC=2OF，
∴OA=2OF，
∴F是OA的中点；
所以①结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H，
由C（3，4）知：OH=4，CH=3，
∴OC=5，
∴AB=OC=5，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴OA≠AB，
∴∠AOB≠∠EBG，
∴△OFD∽△BEG不成立，
所以②结论不正确；
③由①知：F为OA的中点，
同理得；G是AB的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG=OB，FG∥OB，
∵OB=3DE，
∴FG=DE，
∴=，
过C作CQ⊥AB于Q，如图3．
S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，
∴4×8=5CQ，
∴CQ=，
S△OCF=OF•OH=×4×4=8，
S△CGB=BG•CQ=××=8，
S△AFG=×4×2=4，
∴S△CFG=S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，
∵DE∥FG，
∴△CDE∽△CFG，
∴=（）2=，
∴=，
∴S四边形DEGF=S△CFG=；
所以③结论正确；
④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，
∴OB==，
∴OD=，
所以④结论不正确；
本题结论正确的有：①③．
故选：C．



　
6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF=OC，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠OFC=∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD=90°，
∴∠GFM+∠AMD=90°，
∴∠FGM=90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠PCM，
∴∠PCM=∠H，
∵∠CPM=∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴=，
∴PC2=PM•PH，
根据对称性可知：PA=PC，
∴PA2=PM•PH．
④正错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC=2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．

　
7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；

根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；

∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；

∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故④正确；

∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2﹣x，
∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故选：D．

　
8．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【解答】解：连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3
∴AH=（3﹣）ME，
∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH=K，
∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10
故选：D．

　
9．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，
∴GF⊥AD，
由折叠可得，AH=AD=2AG，∠AHE=∠D=90°，
∴∠AHG=30°，∠EHM=90°﹣30°=60°，
∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH，
∴△EHM中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，
∴△MEH为等边三角形，故①正确；
∵∠EHM=60°，HE=HF，
∴∠HEF=30°，
∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE⊥EF，故②正确；
∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°，
∴△PHE∽△HAE，故③正确；
设AD=2=AH，则AG=1，
∴Rt△AGH中，GH=AG=，
Rt△AEH中，EH===HF，
∴GF==AB，
∴==，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④，
故选：D．

　
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理得 AB=5，
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，
∴==，即 ==
∴PQ=x，QB=x
S△APQ=PQ×AQ=+x=
∴当x=时，△APQ的面积最大，最大值是．
故选：C．

　
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
∴S△AOD：S△BOC=1：4．
故选：B．
　
12．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；
（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．
故选：C．
　
13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（　　）
①EG=DF；
②∠AEH+∠ADH=180°；
③△EHF≌△DHC；
④若=，则S△EDH=13S△CFH．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，
故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，
故②正确；
③由②知：△EHF≌△DHC，
故③正确；
④∵=，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM=x，则CF=2x，
∴DF=2FC=4x，
∴DM=5x，DH=x，CD=6x，
则S△CFH=×HM×CF=•x•2x=x2，S△EDH=×DH2=×=13x2，
∴则S△EDH=13S△CFH，故④正确；
其中结论正确的有：①②③④，4个；
故选：D．

　
14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则=．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故②正确；
③∵△EHF≌△DHC（已证），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；
④∵=，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
如图，过H点作HM⊥CD于M，[来源:学&科&网]
设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，
则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故选：D．

　
二．填空题（共5小题）
15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为　（15﹣5）　cm．

【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=AB=×10=5﹣5，
∴PB=AB﹣PA=10﹣（5﹣5）=（15﹣5）cm．
故答案为（15﹣5）．
　
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是　①②③　（写出所有正确结论的序号）．

【解答】解：∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，故①正确；
∵∠DCF=90°﹣60°=30°，
∴tan∠DCF==，
∵△DFP∽△BPH，
∴==，
∵BP=CP=CD，
∴==，故②正确；
∵PC=DC，∠DCP=30°，
∴∠CDP=75°，
又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，
∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，
∴△DPH∽△CPD，
∴，即PD2=PH•CP，
又∵CP=CD，
∴PD2=PH•CD，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，
∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD
=×4×2+×2×4﹣×4×4
=4+4﹣8
=4﹣4，
∴=，故④错误；
故答案为：①②③．

　
17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=　7　．

【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∵△ADE的面积为4，
∴S△ABC=16，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，
∴=，
又EG=CG，
∴△DEG≌△FCG（AAS），
∴DE=CF，
∴BF=3DE，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，
∴==，
∵AD=BD，
∴S△BDE=S△ADE=4，
∵AE=CE=2EG，
∴S△DEG=S△ADE=×4=2，
∵=，
∴S△ODE=S△BDE=×4=1，
∴S△OEG=S△DEG﹣S△ODE=×4=1，
∵S四边形DBCE=S△ABC﹣S△ADE=3×4=12，
∴S四边形OBCG=S四边形DBCE﹣S△BDE﹣S△OEG=7．
故答案为：7．

　
18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是　①②③　．（填序号即可）
①△BEF∽△CHE
②AG=1
③EH=
④S△BEF=3S△AGH

【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，
∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，
∴△BEF∽△CHE，故①正确；
∴=，
又∵BC=6，E为BC中点，BF=2，
∴，即CH=4.5，
又∵AC=BC=6，
∴AH=1.5，
∵AG∥CE，
∴△AGH∽△CEH，
∴，
∴AG=CE=1，故②正确；
如图，过F作FP⊥BC于P，则∠BFP=30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴BP=BF=1，PE=3﹣1=2，PF=，
∴Rt△EFP中，EF==，
又∵，
∴EH=EF=，故③正确；
∵AG=CE，BF=CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，
∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，
∴9S△AGH=S△BEF，
∴S△BEF=4S△AGH，故④错误；
故答案为：①②③．

　
19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2018的坐标为　（0，32017）　

【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，
∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，
∴A1（0，1）．
∵1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，
∴OA2===3，
∴A2（0，3）．
同理可得A3（0，9）…
∴A2018（0，32017）．
故答案为：（0，32017）．
　
三．解答题（共7小题）
20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE=AB•AD．

【解答】证明：（1）∵AD2=DE•DF，
∴，
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴∠F=∠DAE，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，
即∠BDF=∠CDA，
∴△BFD∽△CAD；
（2）∵△BFD∽△CAD，
∴，
∵，
∴，
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴，
∴BF•DE=AB•AD．
　
21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．
（1）求证：CD=CF；
（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；
（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．

【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
在△ADC和△ABC中

∴△ADC≌△ABC，
∴CD=CB，
∵CE⊥AB，EF=EB，
∴CF=CB，
∴CD=CF；

（2）解：∵△ADC≌△ABC，
∴∠ADC=∠B，
∵CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∴∠ADC=∠CFB，
∴∠ADC+∠AFC=180°，
∵四边形AFCD的内角和等于360°，
∴∠DCF+∠DAF=180°，
∵CD=CF，
∴∠CDG=∠CFD，
∵∠DCF+∠CDF+∠CFD=180°，
∴∠DAF=∠CDF+∠CFD=2∠CDG，
∵∠DAB=2∠DAC，
∴∠CDG=∠DAC，
∵∠DCG=∠ACD，
∴△DGC∽△ADC；

（3）解：∵△DGC∽△ADC，
∴∠DGC=∠ADC， =，
∵∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，
∴∠HAG=∠DGC， =，
∴∠HAG=∠AHG， =，
∴HG=AG，
∵∠GDC=∠DAC=∠FAG，∠DGC=∠AGF，
∴△DGC∞△AGF，
∴==，
∴=．
　
22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．
（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（　　）

（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．
（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是　113　（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．

【解答】解：（1）∵点C是AB的中点，
∴OC=AB，
∴点C的运动轨迹是以O为圆心， AB长为半径的圆弧，经过的路程的圆周．
故选甲．

（2）过D作DH⊥OP于H，设DH=a，在Rt△OHD中，
∵∠AOD=90°﹣600=300，
∴OD=2a，OH=a，
∵DH⊥OA，OQ⊥OA，
∴DH∥QO，
∴=，
当AD=时，BD=，
∴=，
∴AH=a，
在Rt△AHD中，
∵AH2+DH2=AD2，
∴a2+a2=，
解得a=，OD=，
当AD=1时，BD=1，
∴=，
∴AH=a，
在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，
∴3a2+a2=1，
解得a=，OD=1，
当AD=时，BD=，
∴=，
∴AH=2a，
在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，
∴12a2+a2=，
解得a=，OD=．
（3）由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时，斜边为≈113cm，
所以这根木棒最长可以是113cm．
故答案为113cm．

　
23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．
（1）求证： =；
（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．

【解答】（1）证明：∵，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，
∴△BCE∽△DCP，
∴=；
（2）AC∥BD，
理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，
∴∠PCE=∠BCD，
∵=，
∴△PCE∽△DCB，
∴∠CBD=∠CEP=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD．
　
24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若PA=3，PC=4，则PB=　2　．
（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．

【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
②解：∵△ABP∽△BCP，
∴=，
∴PB2=PA•PC=12，
∴PB=2；
故答案为：2；
（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CF，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，
∴P点为△ABC的费马点．

　
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（﹣2，4），B（2，8），C（6，6）．

　
26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　DF=AE　；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．
（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．
①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
BF=BE，
∴BD﹣BF=AB﹣BE，
即DF=AE，
故答案为：DF=AE；

②DF=AE．理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵=， =，
∴=，
∴△ABE∽△DBF，
∴==，
即AE与DF的数量关系是：DF=AE；

（2）①AE与DF的数量关系是：DF=AE；
理由：在图3中，作FM⊥AD，垂足为M．

∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°，
∴四边形AEFM是矩形，
∴FM=AE，
∵AD=BC=mAB，
∴Rt△ABD中，BD==AB，
∵MF∥AB，
∴△DMF∽△ABD，
∴==，
∴DF=MF=AE；

②AE′和DF′的数量关系：DF'=AE'．
如图3，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=mAB，
∴BD==AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴=，
∴==，
如图4，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴==，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴==，
即DF′=AE′．