广东省 广州市天河区2021-2022学年八年级上学期数学期中试卷（word版 含答案）

这是一份广东省 广州市天河区2021-2022学年八年级上学期数学期中试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了下列图形中，轴对称图形的个数是，七边形共有几条对角线，在平面直角坐标系中，P点坐标为等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知线段a＝6cm，b＝8cm，则下列线段中，能与a、b组成三角形的是（ ）
A．2cmB．12cmC．14cmD．16cm
3．七边形共有几条对角线（ ）
A．6B．7C．10D．14
4．在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）
5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D
6．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
7．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（ ）
A．40°B．22°C．30°D．52°
8．等腰三角形有一个外角是110°，则其顶角度数是（ ）
A．70°B．70°或40°C．40°D．110°或40°
9．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50°B．100°C．120°D．130°
10．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D．点P是BA延长线上一点，O点是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP．其中正确结论的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（本大题共6小题，共18分）
11．如图，△ABC≌△DEF，FA＝1.1，AC＝3.3，则AD＝ ．
12．在△ABC中，∠C＝60°，∠A﹣∠B＝20°，则∠B的度数为 ．
13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是 ．
14．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ，这个多边形对角线有 条．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝ ．
16．如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为 ．
三．解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）过点B作直线BC垂直于直线l，垂足为C．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
19．如图，△ADF≌△CBE，点E、B、D、F在同一条直线上．
（1）线段AD与BC之间的数量关系是 ，其数学根据是 ．
（2）判断AD与BC之间的位置关系，并说明理由．
20．如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．
21．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上．
（1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标 ；
（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是 ；
（3）求△ABC的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．
23．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
24．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β，当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．
25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．
2021学年上期中测试题 八年级数学科
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形；
第二个图形是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形；
综上共有3个轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知线段a＝6cm，b＝8cm，则下列线段中，能与a、b组成三角形的是（ ）
A．2cmB．12cmC．14cmD．16cm
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．
【解答】解：设三角形的第三边为m．
由题意：8﹣6＜m＜6+8，
即2＜m＜14，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．七边形共有几条对角线（ ）
A．6B．7C．10D．14
【分析】根据多边形对角线公式，可得答案．
【解答】解：七边形的对角线的条数是：＝＝14，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵P点坐标为（3，﹣2），
∴点P关于x轴的对称点的坐标为（3，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
7．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（ ）
A．40°B．22°C．30°D．52°
【分析】利用四边形的内角和定理求出∠B+∠C，再利用三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠1＝70°，∠2＝132°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣70°﹣132°＝158°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣158°＝22°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出∠B+∠C的度数．
8．等腰三角形有一个外角是110°，则其顶角度数是（ ）
A．70°B．70°或40°C．40°D．110°或40°
【分析】题目给出了一个外角等于110°，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．
【解答】解：①当110°角为顶角的外角时，顶角为180°﹣110°＝70°；
②当110°为底角的外角时，底角为180°﹣110°＝70°，
顶角为180°﹣70°×2＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
9．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50°B．100°C．120°D．130°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D．点P是BA延长线上一点，O点是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP．其中正确结论的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AC＝AE+CE＝AO+AP．
【解答】解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；
∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°，
∴∠PAC＝∠DAC，
∴AC平分∠PAD，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ABC≌△DEF，FA＝1.1，AC＝3.3，则AD＝ 2.2 ．
【分析】直接利用全等三角形的对应边相等得到AC＝DF，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AD＝FC，
∵FA＝1.1，AC＝3.3，
∴AD＝FC＝AC﹣FA＝3.3﹣1.1＝2.2，
故答案为：2.2．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题的关键．
12．在△ABC中，∠C＝60°，∠A﹣∠B＝20°，则∠B的度数为 50° ．
【分析】利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
【解答】解：∵∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠A﹣∠B＝20°，
∴∠A＝70°，∠B＝50°，
故答案为50°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握方程的思想方法．
13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是 120° ．
【分析】根据三角形的外角性质得出∠ABD＝∠A+∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝70°，
∴∠ABD＝∠A+∠C＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ，这个多边形对角线有 20 条．
【分析】任意多边形的外角和均为360°，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可；根据多边形的对角线公式求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意得：180°×（n﹣2）＝360°×3，
解得：n＝8；
这个多边形对角线有：＝20（条），
故答案为：8；20．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，以及多边形的对角线，关键是熟练掌握计算公式．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝ 36° ．
【分析】首先设∠A＝x°，利用等腰三角形的性质与三角形的外角的性质，即可用x表示出∠ABC与∠C的度数，又由三角形内角和定理，即可求得x的值，继而求得答案．
【解答】解：设∠A＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°，
故本题答案为：36°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解决问题的关键．
16．如图，OA，OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁从点M出发，爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为 10cm ．
【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：设CD与OA 的交点为E，与OB的交点于F，
∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，
∴ME＝CE，MF＝DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CD＝10cm，
故答案为10cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质﹣最短路径问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是转化为直角三角形利用勾股定理解答．
三．解答题（共10小题）
17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由AD为角平分线求出∠DAC的度数，最后利用外角性质求出所求角度数即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°，
则∠ADB＝∠DAC+∠C＝80°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键．
18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）过点B作直线BC垂直于直线l，垂足为C．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；
（2）根据线段垂直平分线的判定，即为所求．
【解答】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线及轴对称的运用，需用仔细分析题意结合图形才能解决问题．
19．如图，△ADF≌△CBE，点E、B、D、F在同一条直线上．
（1）线段AD与BC之间的数量关系是 AD＝BC ，其数学根据是 全等三角形的对应边相等 ．
（2）判断AD与BC之间的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）利用全等三角形的性质即可判断；
（2）结论：AD＝BC．只要证明∠ADB＝∠CBD即可；
【解答】解：（1）∵△ADF≌△CBE，
∴AD＝BC（全等三角形的对应边相等），
故答案为AD＝BC，全等三角形的对应边相等；
（2）结论：AD∥BC．
理由：∵△ADF≌△CBE，
∴∠ADF＝CBE，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查全等三角形的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．
【分析】求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
21．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上．
（1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标 （2，3） ；
（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是 （﹣m，n） ；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据轴对称的性质解决问题即可．
（3）利用分割法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（2，3）．
故答案为（2，3）．
（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是（﹣m，n），
故答案为（﹣m，n）．
（3）△ABC的面积＝4×6﹣×3×5﹣×1×4﹣×1×6＝11.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝70°，求得∠A＝40°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN＝BN，进而得出∠ABN＝∠A＝40°，根据三角形内角和定理就可得出∠ANB＝100°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA＝50°；
（2）根据△NBC的周长＝BN+CN+BC＝AN+NC+BC＝AC+BC就可求得．
【解答】（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠ABN＝∠A＝40°，
∴∠ANB＝100°，
∴∠MNA＝50°；
（2）①∵AN＝BN，
∴BN+CN＝AN+CN＝AC，
∵AB＝AC＝8cm，
∴BN+CN＝8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC＝14﹣8＝6cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
23．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可求出∠BAE的度数，由AD⊥BC可求出∠BAD的度数，结合∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE可求出∠EAD的度数，再由DF⊥AE，利用三角形内角和定理即可求出∠ADF的度数．
【解答】解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
24．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ 25° ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β，当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．
【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可
②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝25°，
故答案为：25°；
（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到OC＝DC，∠BCO＝∠ACD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ODC＝60°，根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，得到所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】（1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，∠BCO＝∠ACD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠BCO+∠OCA＝60°，
∴∠ACD+∠OCA＝60°，即∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°，
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°，
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°，
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°，
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°，
综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．