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2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
3．一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ）
A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D．三角形的三条中线交于一点
5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
7．如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（ ）
A．4 B．9 C．13 D．17
9．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 ．
12．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是 三角形（填锐角、直角或钝角）．
13．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝ ．
15．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为 °．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠EBC＝∠C；③AG⊥EF；④FG∥AC．其中正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分62分．）
17．（6分）如图，已知△ABC，
（1）用直尺和圆规，作出边AC的垂直平分线，交AC于点E，BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，若AE＝5，△ABD的周长为20，则△ABC的周长是 ．
18．（6分）已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：BE＝CF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）．
（1）用直尺画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求出△A1B1C1的面积．
21．（10分）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：
（1）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，试猜想筝形的对角线AC与BD之间有什么关系？并证明你的猜想；
（2）知识拓展：如图2，如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD＝CD，试证明：∠BAD＝∠BCD．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）求∠ADE的度数．
（3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（12分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ ．
（2）如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．求证：MF＝MH；
（3）如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM'的长度的取值范围．
2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
3．一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ）
A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5
【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是45°，求出这个多边形的边数，再根据一个多边形有 条对角线，即可算出有多少条对角线．
【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于45°，
∴360÷45＝8，
∴这个正多边形是正8边形，
∴＝20（条），
∴这个正多边形的对角线是20条．
故选：A．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D．三角形的三条中线交于一点
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【解答】解：A．三角形的中线就是一边的中点与此边所对顶点的连线，故本选项错误；
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线段，故本选项错误；
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项错误；
D．三角形的三条中线交于一点，本故选项正确；
故选：D．
5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】由EF⊥BD，∠1＝60°，结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【解答】解：在△DEF中，∠1＝60°，∠DEF＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝30°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D＝30°．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】由点P为AD的中点，可得△ABP的面积＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，于是得到结论．
【解答】解：∵点P是AD的中点，
∴△ABP的面积＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，
∴S△BPC＝S△ABC＝2cm2，
故选：C．
7．如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】分BC＝AC，BC＝AB和AB＝AC三种情况进行讨论即可得出点C的位置，从而可得出点C的个数．
【解答】解：∵A（1，0）、B（0，1），
∴OA＝OB＝1，AB＝，
设C点坐标为（x，0），则AC＝|x﹣1|
当BC＝AC时，可知点C在线段AB的垂直平分线上，可知点C在O点，即此时点C为（0，0）；
当BC＝AB时，此时∠BCA＝∠BAC＝45°，可求得OC＝1，此时点C为（﹣1，0）；
当AB＝AC时，即|x﹣1|＝，可解得x＝+1或x＝1﹣，此时C点坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；
综上可知点C的位置有4个，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（ ）
A．4 B．9 C．13 D．17
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到答案．
【解答】解：∵边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．
∴CF＝AF，
∴△ADF的周长＝AF+DF+AD＝CF+DF+AD＝CD+AD＝13，
∵AD＝4，
∴CD＝9，
∵DE是BC边的中垂线，
∴BD＝CD＝9，
故选：B．
9．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】由“HL”可证Rt△APR≌Rt△APS，可得AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，由等腰三角形的性质可得∠QAP＝∠RAP＝∠QPA，可证QP∥AR，由线段垂直平分线的性质可证AP垂直平分RS．
【解答】解：如图，连接AP，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP＝∠ASP＝90°，
∵AP＝AP，PR＝PS，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，故①正确，
∵AQ＝PQ，
∴∠QAP＝∠QPA，
∴∠RAP＝∠QPA，
∴QP∥AR，故②正确，
∵AR＝AS，PR＝PS，
∴AP垂直平分RS，故④正确，
由题目条件不能证明△BRP≌△QSP，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
【分析】作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出EF+FB＝BM，根据垂线段最短得出BF+EF≥BN，即可得出答案．
【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，
∴M在AC上，
∵AD＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝AC•BN，
∴BN＝＝＝4.8，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴EF+FB＝BF+FM＝BM，
根据垂线段最短得出：BM≥BN，
即BE+EF≥4.8，
即EF+FB的最小值是4.8，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是 锐角 三角形（填锐角、直角或钝角）．
【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵三角形三个内角的度数比是2：3：4，
∴这个三角形的最大角的度数为×180°＝80°，
∴这个三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
13．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为 15 ．
【分析】分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可．
【解答】解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；
当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，则不能组成三角形；
故答案为：15．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝ 6cm ．
【分析】利用同角的余角相等求出∠ABD＝∠CAE，再利用“角角边”证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝AE，AD＝CE，然后计算即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE＝CE+DE＝2+4＝6cm，
∴BD＝6cm．
故答案为：6cm．
15．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为 80 °．
【分析】连接BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB＝40°，∠GBC+∠GCB＝70°，所以∠GBD+∠GCD＝30°，再根据角平分线的定义求出∠ABG+∠ACG＝30°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A＝80°．
【解答】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．
故∠A的度数为80°．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠EBC＝∠C；③AG⊥EF；④FG∥AC．其中正确的结论是 ①③④ ．
【分析】①连接EG．根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC＝∠C，则∠C＝∠ABC，由于∠BAC＝90°那么∠C＝30°，但∠C≠30°，故②错误；③根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．故③正确；④证明△ABN≌△GBN，得到AN＝GN，证出四边形AFGE是平行四边形，得到GF∥AE，故④正确．
【解答】解：①连接EG．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°．
∴∠ABC＝∠DAC，∠BAD＝∠C，故①正确；
②如果∠EBC＝∠C，则∠C＝∠ABC，
∵∠BAC＝90°
那么∠C＝30°，但∠C≠30°，故②错误；
③∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故③正确．
④∵AG是∠DAC的平分线，
∴AN⊥BE，FN＝EN，
在△ABN与△GBN中，
，
∴△ABN≌△GBN（ASA），
∴AN＝GN，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴GF∥AE，
即GF∥AC．故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共7小题，满分62分．）
17．（6分）如图，已知△ABC，
（1）用直尺和圆规，作出边AC的垂直平分线，交AC于点E，BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，若AE＝5，△ABD的周长为20，则△ABC的周长是 30． ．
【分析】（1）利用尺规作边AC的垂直平分线DE即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AC＝2AE＝10，AD＝CD，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求作；
（2）由（1）知，DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝10，AD＝CD，
∵△ABD的周长为20，
∴AB+BC＝20，
∴△ABC的周长是20+10＝30，
故答案为：30．
18．（6分）已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：BE＝CF．
【分析】欲证BE＝CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB＝∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC＝EF，都减去一段EC即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
即BE＝CF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD＝∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC＝∠BCD，进而可得出∠EDC＝∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE＝CE；
（2）由（1）可得出∠ECD＝∠EDC＝35°，进而可得出∠ACB＝2∠ECD＝70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）．
（1）用直尺画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征用直尺找出它们的对称点，然后描点即可，结合图象利用关于y轴对称的点的特性写出A1、B1、C1的坐标；
（2）利用面积割补法解答即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
由图象得：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）；
（2）△A1B1C1的面积＝5×3﹣×1×5﹣×2×3﹣3×2＝15﹣﹣3﹣3＝．
21．（10分）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：
（1）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，试猜想筝形的对角线AC与BD之间有什么关系？并证明你的猜想；
（2）知识拓展：如图2，如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD＝CD，试证明：∠BAD＝∠BCD．
【分析】（1）证△ADB≌△CDB（SSS），得∠ADO＝∠ODC，再证△AOD≌△COD（SAS），得∠AOD＝∠COD，OA＝OC，得∠DOC＝90°，即可得出BD⊥AC；
（2）过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，证Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），即可得出∠BAD＝∠BCD．
【解答】（1）解：猜想BD⊥AC，AO＝OC，理由如下：
在△ADB和△BCD中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADO＝∠ODC，
在△AOD和△ODC中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD，OA＝OC，
∴∠DOC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）证明：过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，如图2所示：
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠BAD＝∠BCD．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）求∠ADE的度数．
（3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用SSS定理证明△ABD≌△ACD；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SSS）；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°；
（3）解：DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，
，
∴△ABD≌△AEM（AAS）
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．
23．（12分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ 8 ．
（2）如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．求证：MF＝MH；
（3）如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM'的长度的取值范围．
【分析】（1）由平行线的性质可得S△AEC＝S△ABE，即可求解；
（2）由“AAS”可证△ABF≌△BCM，利用全等三角形的性质可得AF＝BM，BF＝CM，由“ASA”可证△ADF≌△CDH，利用相似三角形的性质可得AF＝HC，DF＝DH，可得结论；
（3）由“SAS”可证△CBM≌△ABM'，可得CM＝AM'，由三角形的三边关系定理可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝BC，BC＝4，
∴S△ABC＝AB•BC＝8．
∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴AE∥BC，
∴S△EBC＝S△ABC＝8，
故答案为：8；
（2）∵∠ABC＝90°＝∠AFB＝∠CMB，
∴∠ABF+∠CBM＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CBM，
在△ABF和△BCM中，
，
∴△ABF≌△BCM（AAS），
∴AF＝BM，BF＝CM，
∵AF⊥BE，CM⊥BE，
∴AF∥CM，
∴∠FAD＝∠HCD，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
又∵∠ADF＝∠CDH，
在△ADF和△CDH中，
，
∴△ADF≌△CDH（AAS），
∴AF＝HC，DF＝DH，
∴BF﹣BM＝CM﹣AF＝CM﹣CH，
∴MF＝MH；
（3）连接CM，如图，
∵BM′⊥BM，
∴∠MBM'＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM'＝∠CBM，
在△CBM和△ABM'中，
，
∴△CBM≌△ABM'（SAS），
∴AM'＝CM，
∵AE∥BC，
∴S△ABC＝S△BEC＝18，
∴×EC•BG＝18，
∴EC＝＝9，
在△EMC中，EC﹣EM＜CM＜EM+EC，
∴6＜CM＜12，
∴6＜AM'＜12．
∴当点E，点M，点C共线时，CM最大值为12，最小值为6，
∴6≤AM'≤12．
2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
3．一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ）
A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D．三角形的三条中线交于一点
5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
7．如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（ ）
A．4 B．9 C．13 D．17
9．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 ．
12．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是 三角形（填锐角、直角或钝角）．
13．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝ ．
15．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为 °．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠EBC＝∠C；③AG⊥EF；④FG∥AC．其中正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分62分．）
17．（6分）如图，已知△ABC，
（1）用直尺和圆规，作出边AC的垂直平分线，交AC于点E，BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，若AE＝5，△ABD的周长为20，则△ABC的周长是 ．
18．（6分）已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：BE＝CF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）．
（1）用直尺画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求出△A1B1C1的面积．
21．（10分）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：
（1）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，试猜想筝形的对角线AC与BD之间有什么关系？并证明你的猜想；
（2）知识拓展：如图2，如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD＝CD，试证明：∠BAD＝∠BCD．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）求∠ADE的度数．
（3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（12分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ ．
（2）如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．求证：MF＝MH；
（3）如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM'的长度的取值范围．
2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
3．一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（ ）
A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5
【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是45°，求出这个多边形的边数，再根据一个多边形有 条对角线，即可算出有多少条对角线．
【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于45°，
∴360÷45＝8，
∴这个正多边形是正8边形，
∴＝20（条），
∴这个正多边形的对角线是20条．
故选：A．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D．三角形的三条中线交于一点
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【解答】解：A．三角形的中线就是一边的中点与此边所对顶点的连线，故本选项错误；
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线段，故本选项错误；
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项错误；
D．三角形的三条中线交于一点，本故选项正确；
故选：D．
5．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】由EF⊥BD，∠1＝60°，结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【解答】解：在△DEF中，∠1＝60°，∠DEF＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝30°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D＝30°．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】由点P为AD的中点，可得△ABP的面积＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，于是得到结论．
【解答】解：∵点P是AD的中点，
∴△ABP的面积＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，
∴S△BPC＝S△ABC＝2cm2，
故选：C．
7．如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】分BC＝AC，BC＝AB和AB＝AC三种情况进行讨论即可得出点C的位置，从而可得出点C的个数．
【解答】解：∵A（1，0）、B（0，1），
∴OA＝OB＝1，AB＝，
设C点坐标为（x，0），则AC＝|x﹣1|
当BC＝AC时，可知点C在线段AB的垂直平分线上，可知点C在O点，即此时点C为（0，0）；
当BC＝AB时，此时∠BCA＝∠BAC＝45°，可求得OC＝1，此时点C为（﹣1，0）；
当AB＝AC时，即|x﹣1|＝，可解得x＝+1或x＝1﹣，此时C点坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；
综上可知点C的位置有4个，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（ ）
A．4 B．9 C．13 D．17
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到答案．
【解答】解：∵边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．
∴CF＝AF，
∴△ADF的周长＝AF+DF+AD＝CF+DF+AD＝CD+AD＝13，
∵AD＝4，
∴CD＝9，
∵DE是BC边的中垂线，
∴BD＝CD＝9，
故选：B．
9．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】由“HL”可证Rt△APR≌Rt△APS，可得AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，由等腰三角形的性质可得∠QAP＝∠RAP＝∠QPA，可证QP∥AR，由线段垂直平分线的性质可证AP垂直平分RS．
【解答】解：如图，连接AP，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP＝∠ASP＝90°，
∵AP＝AP，PR＝PS，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，故①正确，
∵AQ＝PQ，
∴∠QAP＝∠QPA，
∴∠RAP＝∠QPA，
∴QP∥AR，故②正确，
∵AR＝AS，PR＝PS，
∴AP垂直平分RS，故④正确，
由题目条件不能证明△BRP≌△QSP，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF+FB的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.4 D．6
【分析】作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出EF+FB＝BM，根据垂线段最短得出BF+EF≥BN，即可得出答案．
【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接BM交AD于F，连接EF，过B作BN⊥AC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，
∴M在AC上，
∵AD＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝AC•BN，
∴BN＝＝＝4.8，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴EF+FB＝BF+FM＝BM，
根据垂线段最短得出：BM≥BN，
即BE+EF≥4.8，
即EF+FB的最小值是4.8，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是 锐角 三角形（填锐角、直角或钝角）．
【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵三角形三个内角的度数比是2：3：4，
∴这个三角形的最大角的度数为×180°＝80°，
∴这个三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
13．已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为 15 ．
【分析】分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可．
【解答】解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；
当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，则不能组成三角形；
故答案为：15．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝ 6cm ．
【分析】利用同角的余角相等求出∠ABD＝∠CAE，再利用“角角边”证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝AE，AD＝CE，然后计算即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE＝CE+DE＝2+4＝6cm，
∴BD＝6cm．
故答案为：6cm．
15．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为 80 °．
【分析】连接BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB＝40°，∠GBC+∠GCB＝70°，所以∠GBD+∠GCD＝30°，再根据角平分线的定义求出∠ABG+∠ACG＝30°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠A＝80°．
【解答】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．
故∠A的度数为80°．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠EBC＝∠C；③AG⊥EF；④FG∥AC．其中正确的结论是 ①③④ ．
【分析】①连接EG．根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC＝∠C，则∠C＝∠ABC，由于∠BAC＝90°那么∠C＝30°，但∠C≠30°，故②错误；③根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．故③正确；④证明△ABN≌△GBN，得到AN＝GN，证出四边形AFGE是平行四边形，得到GF∥AE，故④正确．
【解答】解：①连接EG．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°．
∴∠ABC＝∠DAC，∠BAD＝∠C，故①正确；
②如果∠EBC＝∠C，则∠C＝∠ABC，
∵∠BAC＝90°
那么∠C＝30°，但∠C≠30°，故②错误；
③∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故③正确．
④∵AG是∠DAC的平分线，
∴AN⊥BE，FN＝EN，
在△ABN与△GBN中，
，
∴△ABN≌△GBN（ASA），
∴AN＝GN，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴GF∥AE，
即GF∥AC．故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共7小题，满分62分．）
17．（6分）如图，已知△ABC，
（1）用直尺和圆规，作出边AC的垂直平分线，交AC于点E，BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接AD，若AE＝5，△ABD的周长为20，则△ABC的周长是 30． ．
【分析】（1）利用尺规作边AC的垂直平分线DE即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AC＝2AE＝10，AD＝CD，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求作；
（2）由（1）知，DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝10，AD＝CD，
∵△ABD的周长为20，
∴AB+BC＝20，
∴△ABC的周长是20+10＝30，
故答案为：30．
18．（6分）已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．
求证：BE＝CF．
【分析】欲证BE＝CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB＝∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC＝EF，都减去一段EC即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
即BE＝CF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD＝∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC＝∠BCD，进而可得出∠EDC＝∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE＝CE；
（2）由（1）可得出∠ECD＝∠EDC＝35°，进而可得出∠ACB＝2∠ECD＝70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）．
（1）用直尺画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征用直尺找出它们的对称点，然后描点即可，结合图象利用关于y轴对称的点的特性写出A1、B1、C1的坐标；
（2）利用面积割补法解答即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
由图象得：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）；
（2）△A1B1C1的面积＝5×3﹣×1×5﹣×2×3﹣3×2＝15﹣﹣3﹣3＝．
21．（10分）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：
（1）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图1所示，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，试猜想筝形的对角线AC与BD之间有什么关系？并证明你的猜想；
（2）知识拓展：如图2，如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD＝CD，试证明：∠BAD＝∠BCD．
【分析】（1）证△ADB≌△CDB（SSS），得∠ADO＝∠ODC，再证△AOD≌△COD（SAS），得∠AOD＝∠COD，OA＝OC，得∠DOC＝90°，即可得出BD⊥AC；
（2）过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，证Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），即可得出∠BAD＝∠BCD．
【解答】（1）解：猜想BD⊥AC，AO＝OC，理由如下：
在△ADB和△BCD中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADO＝∠ODC，
在△AOD和△ODC中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD，OA＝OC，
∴∠DOC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）证明：过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，如图2所示：
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠BAD＝∠BCD．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）求∠ADE的度数．
（3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用SSS定理证明△ABD≌△ACD；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SSS）；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°；
（3）解：DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，
，
∴△ABD≌△AEM（AAS）
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．
23．（12分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．
（1）如图1，若BC＝4，则S△EBC＝ 8 ．
（2）如图2，点M在BE上，且CM⊥BE于M，过点A作AF⊥BE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．求证：MF＝MH；
（3）如图3，连接BM，EM，过点B作BM'⊥BM于点B，且满足BM'＝BM，连接AM'，MM'，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，求线段AM'的长度的取值范围．
【分析】（1）由平行线的性质可得S△AEC＝S△ABE，即可求解；
（2）由“AAS”可证△ABF≌△BCM，利用全等三角形的性质可得AF＝BM，BF＝CM，由“ASA”可证△ADF≌△CDH，利用相似三角形的性质可得AF＝HC，DF＝DH，可得结论；
（3）由“SAS”可证△CBM≌△ABM'，可得CM＝AM'，由三角形的三边关系定理可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝BC，BC＝4，
∴S△ABC＝AB•BC＝8．
∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴AE∥BC，
∴S△EBC＝S△ABC＝8，
故答案为：8；
（2）∵∠ABC＝90°＝∠AFB＝∠CMB，
∴∠ABF+∠CBM＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CBM，
在△ABF和△BCM中，
，
∴△ABF≌△BCM（AAS），
∴AF＝BM，BF＝CM，
∵AF⊥BE，CM⊥BE，
∴AF∥CM，
∴∠FAD＝∠HCD，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
又∵∠ADF＝∠CDH，
在△ADF和△CDH中，
，
∴△ADF≌△CDH（AAS），
∴AF＝HC，DF＝DH，
∴BF﹣BM＝CM﹣AF＝CM﹣CH，
∴MF＝MH；
（3）连接CM，如图，
∵BM′⊥BM，
∴∠MBM'＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM'＝∠CBM，
在△CBM和△ABM'中，
，
∴△CBM≌△ABM'（SAS），
∴AM'＝CM，
∵AE∥BC，
∴S△ABC＝S△BEC＝18，
∴×EC•BG＝18，
∴EC＝＝9，
在△EMC中，EC﹣EM＜CM＜EM+EC，
∴6＜CM＜12，
∴6＜AM'＜12．
∴当点E，点M，点C共线时，CM最大值为12，最小值为6，
∴6≤AM'≤12．
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