广东省广州市天河区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（原卷版）

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1. 下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A. 打喷嚏捂鼻子B. 喷嚏后慎揉眼
C. 戴口罩讲卫生D. 勤洗手勤通风
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义对各图案进行判断即可．
【详解】解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形．
A、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；
B、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；
C、该图案是轴对称图形，故选项正确，符合题意；
D、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称图形的判别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
2. 要使分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A. x≠﹣2B. x＝2C. x＝﹣2D. x≠0
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，可得结果．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，深刻理解分式有意义的条件是解题关键．
3. 已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 5cmD. 7cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围即可得解．
【详解】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7．
因此，本题的第三边应满足1＜x＜7，把各项代入不等式不符合的即为答案．
只有7不符合不等式，
故选：D．
【点睛】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4. 科学家发现一种病毒直径为0.00023微米，则0.00023用科学记数法可以表示为（ ）
A. 2.3×104B. 0.23×10﹣3C. 2.3×10﹣4D. 23×10﹣5
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00023微米用科学记数法可以表示为2.3×10-4微米，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（ ）
A. 正七边形B. 正八边形C. 正九边形D. 正十边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【详解】解：设多边形为n边形，由题意，得
（n-2）•180=140n，
解得n=9，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，利用多边形的内角和是解题关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. a+a2＝a3B. a6÷a3＝a3
C. （﹣a2b）3＝a6b3D. （a+2）2＝a2+4
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法的运算法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则，完全平方公式解答即可．
【详解】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3=a3，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（-a2b）3=-a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a+2）2=a2+4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握运算法则和公式是解题的关键．
7. 如图，与相交于，且，如果添加一个条件还不能判定≌，则添加的这个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，对顶角相等即，再根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．
【详解】A．，它们的夹角是，不是，
∴无法判定≌，故本选项符合.
B．在≌中，
，
∴≌(ASA)，故本选项不符合.
C．在≌中，
，
∴≌(AAS)，故本选项不符合.
D．,
,
在≌中，
，
∴≌(SAS)，故本选项不符合.
故选A.
【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）.
8. 若（x-m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先利用多项式乘多项式计算（x-m）（x+1），根据运算结果中不含x的一次项，得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：因为（x-m）（x+1）=x2+（1-m）x-m，
由于运算结果中不含x的一次项，
所以1-m=0，
所以m=1．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题关键．
9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
共有8个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
10. △ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（ ）
A. AD＝BDB. ∠BDC＝72°
C. S△ABD：S△BCD＝BC：ACD. △BCD的周长＝AB+BC
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图痕迹发现BD平分，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可．
【详解】解：∵等腰中，，，
∴，
由作图痕迹发现BD平分，
∴，
∴，，故A、B正确；
∵，
∴，
结合图形可得：与的高相同，
∴，故C错误；
的周长为：，故D正确；
故选：C．
【点睛】本同题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】用提公因式法即可完成．
详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法，关键是先找出公因式．
12. 如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，则∠B＝_____．
【答案】70°##70度
【解析】
【分析】根据三角形外角等于不相邻两个内角的和解答即可．
【详解】解：∵∠ACD=120°，∠A=50°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠B=∠ACD-∠A=120°-50°=70°，
故答案为：70°．
【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得BD的长．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC=×4=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．
14. 若x+y＝3，且xy＝1，则代数式x2+y2的值为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】利用完全平方公式变形为，然后将已知式子代入求解即可得．
【详解】解：，
，
，
当，时，
原式，
，
故答案为：7．
【点睛】题目主要考查求代数式的值，利用完全平方公式进行变形是解题关键．
15. 如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向， C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB＝_____．
【答案】85°
【解析】
【分析】根据B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向，可得∠BAC=55°，A处在B处的北偏东40°方向，再由C处在B处的北偏东80°方向，可得∠ABC=40°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC=40°+15°=55°，A处在B处的北偏东40°方向，
∵C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠ABC=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=85°．
故答案为：85°
【点睛】本题主要考查了方位角，三角形的内角和定理，理解方位角的实际意义是解题的关键．
16. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 _____．
【答案】7cm##7厘米
【解析】
【分析】根据中线的定义知，结合三角形周长可得，根据题意，即可得出AC的长度．
【详解】解：如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：7cm．
【点睛】本题考查了三角形的中线性质，理解题意，作出图形是解题关键．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 计算：
【答案】2x2﹣5x﹣3．
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则直接计算即可.
详解】解：(2x+1)(x﹣3)
＝2x2﹣6x+x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3．
【点睛】本题考查的知识点是多项式乘多项式的运算法则，掌握运算法则是解此题的关键.
18. 如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB．求证DC=AB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由DC∥AB得∠D=∠B，再利用AAS即可证明△COD≌△AOB，即可得出结论．
【详解】证明：∵DC∥AB，
∴∠D=∠B，
在△COD与△AOB中，
，
∴△COD≌△AOB（AAS），
∴DC=AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC各顶点坐标分别为A(4，0)，B(-1，4)，C(-3，1)，已知点D与点B关于x轴对称，请在方格中找出点D，并求出△ABD的面积．
【答案】D点位置如图；△ABD面积为20．
【解析】
【分析】先利用对称性，找到D点的坐标，在坐标轴里面可以很轻松的找出三角形的底和高的值，即可求出三角形的面积．
【详解】
∵点D与点B关于x轴对称，B(-1，4)
∴D(-1，-4)
∴△ABD的面积为．
【点睛】本题考察了关于x轴的对称点的坐标特点以及三角形的面积，在方格中找出D点坐标是解题的关键．
20. 化简，并在0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，0
【解析】
【分析】先约分，再根据分式的加法法则计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，根据分式有意义的条件可得x不能为，故，将代入求解即可．
【详解】
要使分式有意义，必须
即x不能为
故
当，原式．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是此题的关键．
21. 如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，直线DE即为所求；
，
【小问2详解】
证明：∵∠ACB=90°，点E是边AB中点，
∴AE=BE=CE=AB，
∵AC=BE，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是等边三角形．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
22. 截至2021年9月，广州已累计建成5G基站超5.2万座，据广州市工信局介绍，广州要打造5G应用示范城市，到2023年5G个人普及率将超过60%．5G是第5代移动通信技术的简称，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小英和小芳分别用5G与4G下载一部900兆的纪录片，小英比小芳所用的时间快210秒，求该地4G与5G的下载速度．
【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的下载速度是每秒60兆．
【解析】
【分析】设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据下载一部900兆的纪录片时用4G网络比5G网络多用210秒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出该地4G的下载速度，再将其代入15x中即可求出该地5G的下载速度．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
依题意得：，
解得：x=4，
经检验：x=4是原方程的解，且符合题意，
∴15x=15×4=60．
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23. 如图，CD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ACD和△BCD的高．
（1）求证CD⊥EF；
（2）若AC＝6，BC＝4，S△ABC＝10，∠ACB＝60°，求CG的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=DF，从而得到，进而得到CE=CF，即可求证；
（2）先证得△CEF是等边三角形，可得EF=CE，∠ACD=30°，，再由，可得DE=2，再根据直角三角形的性质可得CD=2DE=4，然后由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，△CDE和△CDF是直角三角形，
∵CD=CD，
∴，
∴CE=CF，
∴CD垂直平分EF，即CD⊥EF．
【小问2详解】
∵CE=CF，∠ACB＝60°，
∴△CEF等边三角形，
∴EF=CE，∠ACD=30°，
∵CD⊥EF，
∴，
∵AC＝6，BC＝4，S△ABC＝10，DE=DF，，
∴ ，
解得：DE=2，
在 中，∠ACD=30°，
∴CD=2DE=4，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 阅读：因为（x+3）（x-2）=x2+x-6，说明x2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x= ，A=0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x2+kx-14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x3+ax2-7x+b，试求a，b的值．
【答案】（1）-m （2）k=5；
（3）a=5，b=-2．
【解析】
【分析】（1）根据多项式的一个因式为0，则多项式为0可求解；
（2）根据长方形的面积公式可知：x-2是x2+kx-14的一个因式，利用当x=2时，x2+kx-14=0，求出k的值即可；
（3）根据长方体的体积公式可知x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式，利用x=-2和x=1时，4x3+ax2-7x+b，求出a，b的值即可．
【小问1详解】
解：由题意，得，当x+m=0时，A=0，
∴x=-m时，a=0，
故答案为：-m；
【小问2详解】
解：由题意得x-2是x2+kx-14的一个因式，
∴x-2能整除x2+kx-14，
∴当x-2=0时，x2+kx-14=0，
∴x=2时，x2+kx-14=4+2k-14=0，
解得：k=5；
【小问3详解】
解：由题意得x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式，
∴x+2，x-1能整除4x3+ax2-7x+b，
∴当x+2=0即x=-2时，4x3+ax2-7x+b=0，
即4a+b=18①，
当x-1=0即x=1时，4x3+ax2-7x+b=0，
即a+b=3②，
①-②得3a=15，
解得：a=5，
∴b=-2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
25. △ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
【答案】（1）30° （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据角度计算可得，由折叠的性质可得，根据即可求解；
（2）①连接，在上取一点，使，证明，是等边三角形，即可得到；②先证明三点共线，结合①的结论求解即可．
【小问1详解】
是等边三角形
把△ABD沿BD对折，得到△，
故答案为：
【小问2详解】
①，理由如下：
连接，在上取一点，使，如图，
是等边三角形
，
是等边三角形
，
即
②如图，
由①可得
由（1）可知
把△ABD沿BD对折，得到△，
三点共线
折叠
,
由①可得
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．