人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试练习题

专题强化练5　导数几何意义的简单应用

一、选择题

1.()已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是(　　)

A.f'(1)<f'(2)<a 

B.f'(1)<a<f'(2)

C.f'(2)<f'(1)<a 

D.a<f'(1)<f'(2)

2.()已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+5,则f(5)与f'(5)分别为(　　)

A.3,3 B.3,-1 

C.-1,3 D.0,-1

3.(2020山西晋中高三模拟,)若曲线f(x)=的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为(　　)

A. B.

C.或 D.或

4.()曲线y=-在点处的切线方程是(　　)

A.y=x-2 B.y=x-

C.y=4x-4 D.y=4x-2

5.()曲线f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是(　　)

A.10 B.9 C.8 D.3

6.(多选)()已知曲线y=x3-x+1在点P处的切线平行于直线y=2x,那么点P的坐标为(　　)

A.(1,0) B.(1,1) 

C.(-1,1) D.(0,1)

7.(多选)()下列命题正确的是(　　)

A.若f'(x0)=0,则函数f(x)在x0处无切线

B.函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点

C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,则当Δx→0时,=1

D.若函数f(x)的导数f'(x)=x2-2,且f(1)=2,则f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y-3=0

二、填空题

8.()已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)=　　　　. 

9.()设函数y=f(x)为可导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为　　　　. 

10.()若抛物线y=2x2+1与直线4x-y+m=0相切,则m=　　　　. 

三、解答题

11.()设A、B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率;

(2)若M为曲线C上一点,C在M点处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.

12.()已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.

答案全解全析

一、选择题

1.B　由题中图象可知,当x>0时,函数增长的速度越来越快,即f'(x)在(0,2)上单调递增.

由=a可知,a表示(1,f(1)),(2,f(2))两点连线的斜率,∴f'(1)<a<f'(2).故选B.

2.D　由切点在切线上得f(5)=-5+5=0,由在切点处的导数就是切点的斜率得f'(5)=-1.故选D.

3.C　设切点坐标为(x0,),

由导数的定义得f'(x)==

=,则切线的斜率k=,切线方程为y-=(x-x0),将(8,3)代入,得x0=4或x0=16,所以k=或k=.

4.C　因为Δy=-+=,

所以=,

所以==,即y'=,

所以y=-在点处的切线斜率k=y'=4,

所以切线方程为y+2=4,

即y=4x-4.

5.B　由f(x)=ax2+bx,得

f'(x)=

==2ax+b,

又曲线f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,

所以f'(1)=2a+b=2,即a+=1,

则=+=

=++5≥2+5=9,

当且仅当即时等号成立,所以的最小值是9,故选B.

6.BC　设y=f(x)=x3-x+1,则

f'(x)=

==3x2-1,

令3x2-1=2,即x2=1,解得x=±1,

又f(1)=1,f(-1)=1,

所以P点坐标为(-1,1)或(1,1).

故选BC.

7.BD　若f'(x0)=0,则函数f(x)在x0处的切线斜率为0,故A错误;

函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点,例如函数f(x)=x3-3x,在x=1处的切线为y=-2,与函数的图象还有一个公共点(-2,-2),故B正确;

因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以f'(1)=2,

又

=-

=-f'(1)=-1≠1,故C错误;

因为函数f(x)的导数f'(x)=x2-2,

所以f'(1)=12-2=-1,

又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2),斜率为-1,所以切线方程为y-2=-(x-1),化简得x+y-3=0,故D正确.故选BD.

二、填空题

8.答案　2

解析　∵点(1,f(1))是切点,

∴点(1,f(1))在切线上,

∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1,

∵函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,∴切线斜率是,

即f'(1)=,∴f(1)+2f'(1)=1+2×=2.

9.答案　120°

解析　∵

==-1,

∴=-,

即f'(1)=-.

由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处切线的斜率k=f'(1)=-,所以倾斜角为120°.

10.答案　-1

解析　设切点为P(x0,y0),则Δy=2(x0+Δx)2+1-2-1=4x0·Δx+2(Δx)2,

所以=4x0+2Δx.

当Δx→0时,→4x0,

即f'(x0)=4x0,

所以4x0=4,所以x0=1,y0=3,将(1,3)代入直线4x-y+m=0,得m=-1.

三、解答题

11.解析　(1)由题意可设A,B(x1≠x2),则x1+x2=4.

所以直线AB的斜率为k==(x1+x2)=×4=1.

(2)设直线AB的方程为y=x+t,代入曲线C:y=,可得x2-4x-4t=0,

则Δ=16+16t>0,解得t>-1,

易求得x1+x2=4,x1x2=-4t,

由y=得y'=

==x,

设M,可得M点处切线的斜率为m,

由曲线C在点M处的切线与直线AB平行,可得m=1,解得m=2,即M(2,1),

由AM⊥BM可得,kAM·kBM=-1,

即·=-1,

化简得x1x2+2(x1+x2)+20=0,

即-4t+28=0,解得t=7.

∴直线AB的方程为y=x+7.

12.解析　因为f'(x)=

==2ax,

所以f'(1)=2a,即切线斜率k1=2a.

因为g'(x)=

=

=3x2+b,

所以g'(1)=3+b,即切线的斜率k2=3+b.

因为f(x)与g(x)在交点(1,c)处有公切线,

所以2a=3+b.①

又因为c=a+1,c=1+b,

所以a+1=1+b,即a=b,

代入①式,得