高中数学第八章 立体几何初步本章综合与测试同步练习题

专题强化练6　空间中的垂直关系

一、选择题　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020河北石家庄第二中学高一下月考,)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中点为E,AC与BD交于点O,平面α过点E且与直线OC1垂直,若AB=1,则平面α截该正方体所得截面图形的面积为(　　)

A. B.

C. D.

2.(2020山东烟台第二中学高一下月考,)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有(　　)

A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH

C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF

3.(2020湖北武汉江夏一中、汉阳一中高三下联考,)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AA1⊥平面A1B1C1,则下列选项中,能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为(　　)

A.∠A1CA=45°

B.∠BCA=45°

C.四边形ABB1A1为正方形

D.四边形BCC1B1为正方形

4.(2020重庆江津中学、綦江中学等六校高三下联考,)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段AB1的中点,M,N分别为线段AC1和棱C1D1上任意一点,则PM+MN的最小值为(　　)

A. B.

C.1 D.

二、填空题

5.(2020安徽合肥一六八中学高二上期中,)经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　　　　. 

6.(2020湖北襄阳五中、夷陵中学高三下联考,)三棱锥S-ABC中,点P是Rt△ABC斜边AB上一点,给出下列四个命题:

①若SA⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形;

②若AC=BC=SC=2,SC⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的外接球表面积为12π;

③若AC=3,BC=4,SC=,S在平面ABC上的射影是△ABC的内心,则三棱锥S-ABC的体积为2;

④若AC=3,BC=4,SA=3,SA⊥平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的最大角为45°.

其中正确命题的序号是　　　　. 

三、解答题

7.(2020天津静海第一中学高一下期中,)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点.

(1)若C1M=1,求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值;

(2)若C1M=2,求证BM⊥平面A1B1M.

8.(2020山东滕州一中高一下月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E、F分别是棱PC和PD的中点.

(1)求证:EF∥平面PAB;

(2)若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,证明:AF⊥平面PCD.深度解析

9.()如图,四边形ABCD是正方形,O是该正方形的中心,P是平面ABCD外一点,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:

(1)PA∥平面BDE;

(2)平面BDE⊥平面PAC.

10.(2020四川南充高三第一次适应性考试,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD.

(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?证明你的结论;

(2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　连接OE,BE,ED,C1E.

易得O=1+=,OE2=+=,E=2+=,

∴O+OE2=E,∴OE⊥OC1,易得BD⊥平面ACC1A1,

∴BD⊥OC1,又OE∩BD=O,∴OC1⊥平面BDE,∴所得截面为△BDE.

S△BDE=BD·OE=××=,

∴α截该正方体所得截面图形的面积为.

故选A.

2.B　易知AH⊥HE,AH⊥HF,

又HE∩HF=H,

∴AH⊥平面EFH,∴B正确;

∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确;

易知AG⊥EF,EF⊥AH,又AG∩AH=A,

∴EF⊥平面HAG,又EF⊂平面AEF,

∴平面HAG⊥平面AEF,过H作直线l垂直于平面AEF,则l一定在平面HAG内,∴C不正确;

∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正确,∴D不正确.

故选B.

3.A　如图,连接AC1.

易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB,又AB⊥AC,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面ACC1A1.

∵A1C⊂平面ACC1A1,∴AB⊥A1C,

当异面直线BC1与A1C相互垂直时,由AB∩BC1=B,可得A1C⊥平面ABC1,

∵AC1⊂平面ABC1,∴A1C⊥AC1,∴四边形ACC1A1为正方形,∴∠A1CA=45°,

反之亦然,即∠A1CA=45°时,可得BC1⊥A1C成立.

故选A.

4.C　如图,连接C1D,过M作MH⊥C1D于H,连接HN,过H作HH1⊥C1D1于H1,

则MH∥AD,∴=.

∵AD⊥平面CC1D1D,∴MH⊥平面CC1D1D.

易知HH1∥DD1,∴=,即=,

∵AD=DD1,∴MH=HH1,

在Rt△MHN中,MN2=MH2+HN2,

∵HN≥HH1,

∴MH2+HN2≥MH2+H=2MH2,

即MN2≥2MH2,MN≥MH,∴PM+MN≥PM+MH≥1,

即PM+MN的最小值为1.

故选C.

二、填空题

5.答案　1个或无数个

解析　设平面α外一点为A,平面α内一点为O,

若OA⊥α,则过OA的任一平面都垂直α,所以过OA存在无数个平面与平面α垂直;

若OA不垂直于α,则过点A有唯一的直线l与平面α垂直,OA与l确定唯一的平面与α垂直,所以过OA存在唯一的平面与平面α垂直.

故答案为1个或无数个.

6.答案　①②④

解析　对于①,∵SA⊥平面ABC,AB、AC、BC⊂平面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC,SA⊥BC,

又BC⊥AC,SA∩AC=A,∴BC⊥平面SAC,∵SC⊂平面SAC,∴BC⊥SC,∴三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形,①正确;

对于②,若AC=BC=SC=2,SC⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球,∴2R=2(R为外接球的半径),球的表面积为12π,②正确;

对于③,设△ABC的内心是O,则SO⊥平面ABC,连接OC,则有SO2=SC2-OC2=5-2=3,∴SO=,∴三棱锥S-ABC的体积V=×S△ABC×SO=××3×4×=2,③不正确;

对于④,若SA=3,SA⊥平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的角最大时,P点与A点重合,易知AS与平面SBC所成的角为∠ASC,在Rt△SCA中,tan∠ASC==1,∴∠ASC=45°,∴直线PS与平面SBC所成的最大角为45°,④正确.

故答案为①②④.

三、解答题

7.解析　(1)∵C1D1∥B1A1,∴∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成的角.

∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BCC1B1,∴A1B1⊥B1M,

∵B1C1=BC=2,C1M=1,

∴B1M===,

∴tan∠B1A1M==,

即异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为.

(2)证明:当C1M=2时,B1M=BM==2,

∴B1M2+BM2=B,

∴B1M⊥BM,

∵A1B1⊥平面BCC1B1,BM⊂平面BCC1B1,

∴A1B1⊥BM.

又A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面A1B1M.

8.证明　(1)∵E、F分别是棱PC和PD的中点,∴EF∥CD,又在矩形ABCD中,AB∥CD,∴EF∥AB,∵AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,∴EF∥平面PAB.

(2)在矩形ABCD中,AD⊥CD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面PAD,又AF⊂平面PAD,∴CD⊥AF.

∵PA=AD,F是PD的中点,

∴AF⊥PD,

∵PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.

方法总结

证明线面平行的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线,找线的方法可利用三角形的中位线或平行公理;线面垂直的判定可由线线垂直得到,注意线线是相交的,而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直(有时来自面面垂直)来考虑.

9.证明　(1)如图,连接OE,∵O、E分别是AC、PC的中点,∴PA∥OE,

又PA⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,∴PA∥平面BDE.

(2)∵PO⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,

∴PO⊥BD,又正方形中BD⊥AC,PO∩AC=O,

∴BD⊥平面PAC,而BD⊂平面BDE,

∴平面BDE⊥平面PAC.

10.解析　(1)当a=2时,BD⊥平面PAC.

证明如下:当a=2时,矩形ABCD为正方形,则BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

∴BD⊥PA.

又AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,

∴BD⊥平面PAC.

故当a=2时,BD⊥平面PAC.

(2)设M是符合条件的BC棱上的点.

∵PA⊥平面ABCD,DM⊂平面ABCD,

∴DM⊥PA,又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA⊂平面PAM,PM⊂平面PAM,

∴DM⊥平面PAM,∵AM⊂平面PAM,

∴DM⊥AM,

∴点M是以AD为直径的圆和BC边的交点,∴半径r=≥AB,即a≥4,

∴a∈[4,+∞).