2022届高考一轮复习第四章导数专练_极值与极值点问题(Word含答案)

第四章导数专练_极值与极值点问题

1．已知函数，其中且．

（1）讨论的单调区间，并指出其单调性；

（2）若，，是的极大值点，求证：．

解：（1），

，

时，令，解得：，

令，解得：，

故在递增，在递减，

时，令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在递增；

综上：时，在递增，在递减，

时，在递减，在递增；

（2）证明：时，，

，令，则，

在递减，而，（1），

故存在，使得，则，

故时，，递减，

时，，递增，

，时，，递减，

是的极大值点，

，，

令，，

则，

故在递减，而，（1），

故，．

2．已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）判断函数的极值点的个数，并说明理由；

（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围．

解：（Ⅰ）当时，，（1），

又，故（1），

故曲线在点，（1）处的切线方程是；

（Ⅱ），

，

当时，有，令，解得：，

，，的变化如下：

当时，函数只有1个极值点，

当时，令，解得：或，

①当时，，

，，的变化如下：

故当时，函数有2个极值点，

②当时，恒成立，

故在上单调递增，

故当时，函数无极值点，

③当时，，

，，的变化如下：

故当时，函数有2个极值点，

综上：当时，函数有1个极值点，

当或时，函数有2个极值点，

当时，函数无极值点；

（Ⅲ）（1）若，由（Ⅱ）可知，在递减，在递增，

故，

故符合题意，

（2）若，当时，，

，

又，

故不恒成立，故不合题意，

综上：的取值范围是，．

3．已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）求的单调区间；

（2）若有两个极值点，求实数的取值范围．

解：（1），，

令，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以在上单调递增，无单调递减区间．

（2）若有两个极值点，

即有两个变号零点，

令，

①当时，在上单调递减，最多只有一个零点，不合题意；

②当时，，由（1）得最多只有一个零点，不合题意；

③当时，令，得，

当，，当，，，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

则，

而当时，，，

又，根据零点存在性定理可知，使得，

，

令，则式，

所以，，使得，

又在上单调递减，在，上单调递增，

故在上有唯一零点，在，上有唯一零点，

综上所述，若有两个极值点，的取值范围为．

4．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若极大值大于2，求的取值范围．

解：，

（Ⅰ）时，，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在，单增；

时，令，解得：或，

令，解得：，

故在递增，在递减，在，单增；

时，，在单增，的单调递增区间为；

时，令，解得：或

令，解得：，

故在递增，在，递减，在单增；

综上：时，在递减，在，单增，

时，在递增，在递减，在，单增，

时，在单调递增，

时，在递增，在，递减，在单增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当和时，无极大值，不成立，

当时，函数的极大值是，解得：，

由于，

故，

当时，函数的极大值是（a），得，

令，则，，

在时取得极大值（4），且（1），

，，而在递增，，解得：，故，

故的取值范围是，

综上：的取值范围是，，．

5．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．

（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；

（2）若函数在上有极值点，求的取值范围．

解：（1），若函数为上的凸函数，

，即，

令，，

当时，，当时，单调递减，

时，单调递增，

的最小值是，即，解得：，

故的取值范围是．

（2）由题意知，

则，

由题意得在有零点，

即在有解，

，令，

，，，

故在上单调递增，（1），

，即，

在上单调递增，且，，

（1），，即，

故的取值范围是，．

6．已知函数，其中．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围．

解：（1）根据题意，函数的定义域为，

则有，

当时，对于任意，恒成立，；；

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）若函数在内有极值，则在内有解；

令，解之可得，，

令，则有，

当时，恒成立，即得在上单调递减，

又因为（1），所以在的值域为，

所以当时，有解，

设，则，；

所以函数在上单调递减，因为，（1），

所以在区间上有唯一解，

即得当时，在上单调递减；

当，时，在，上单调递增，

即得当时，在内有极值且唯一；

当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意．

故的取值范围为．

7．已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设在上存在极大值，证明：．

解：（1）由题意，函数，

则，

当时，令，单调递增，

当时，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在递减，在，递增，

当时，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在，递减，在递增，

综上：当时，在递增，在递减，在，递增，

当时，在上单调递增，

时，在递增，在，递减，在递增；

（2）证明：由函数，则，

令，可得，令，解得：，

当时，，在递增，此时，

故，函数在上单调递增，此时不存在极大值，

当时，令，解得：，令，解得：，

故在上单调递减，在，上单调递增，

在上存在极大值，故，解得：，

，，，，

易证，存在，，存在，，使得，

故在上单调递增，在，上单调递减，

故当时，函数取得极大值，即，，

由，，

故．

8．已知函数．

（1）若，，求的最小值；

（2）若函数在处取得极小值，且，证明：．

解：（1）由已知，，

得对恒成立，

令，则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在，上单调递减，

故，

故，，，

令，则，

当时，，在递减，

当时，，在递增，

故（1），即，

当，时，的最小值是；

（2）证明：由题意知，，

，

当时，令，，

故函数在上单调递增，又，（a），

根据零点存在性定理可知，存在，使得，即，

且当时，，，在递减，

当时，，，在，递增，

故在处取极小值，

故当时，存在，使得，即，

又，即，

故，

，，即，

在上单调递增，且（1），

，．