2022届高考一轮复习第四章导数专练_构造函数证明不等式（Word含答案解析）

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第四章导数专练_构造函数证明不等式11．已知函数．（1）求函数的最小值；（2）当时，证明：．解：（1），令，解得，令，解得，函数在单调递减，在单调递增，的最小值为；（2）证明：要证，即证，即证，，，只需证明对任意恒成立，设，则，设，则，在为增函数，又，存在，使得，由，得，即，即，且当时，，单减，当，时，，单增，，令，则，在上单增，故，，即．综上，当时，．2．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：．解：（1）的定义域是，，对于，①△即时，在恒成立，故在递减，②△时，时，令，解得：（舍，，故时，，，时，，故在递增，在，递减，时，令，解得：，，故时，，，时，，，时，，故在递减，在，递增，在，递减；综上：时，在递减，时，在递增，在，递减，时，在递减，在，递增，在，递减．（2）证明：要证，即证，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（1），故，故，问题转化为证明：，即证明在恒成立，令，则，显然，令，，由，则，故在递增，，故，在递增，故，故原命题成立．3．已知函数．（1）求函数极值；（2）证明：．解：（1）的定义域为，．若，则当时，，故在上单调递增，无极值，若，则当时，，在，，上单调递增；当，时，，在，上单调递减，有极大值为，无极小值，综上，当时，无极值，当时，有极大值为，无极小值．（2）证明：令，则，由，故存在，使得，即，所以，当时，；当，时，．故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数，因为，所以，故，即．4．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，证明：当，时，．解：（Ⅰ），（1分）当时，在上恒成立，在上是递增的，（2分）当时，令，则，令，则，在上递减，在上递增，（4分）综上所述，当时，是上的增函数．当时，在是减函数，在上是增函数．（5分）（Ⅱ）证明：，令，，（6分）由（Ⅰ）知．①当时，在上递增，又，，，时，，则在上递减，在上递增，，（7分）②当时，，由（1）知在上递增．又，则在上递减，在上递增，，（9分）③当时．由（1）知在上递减．在上递增，且，，时，，时，，在上递减，在上递增，则，（11分）综上所述，在，上函数恒成立．若，当，时，恒成立．（12分） 5．已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：．解：的定义域是，，当时，，函数在，上单调递增；当时，，函数在，上单调递减，综上，函数的增区间为，，减区间为，；（2）证明：由于，要证明，即证明，令，则，令，则恒成立，在单调递增，即在单调递增，又（1），即（1），在上单调递减，在上单调递增，（1）成立，所以原结论成立．6．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）对任意，求证：．解：（Ⅰ）的定义域是，，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在，上单调递减，在，上单调递增；综上：当时，在上单调递增，当时，在，上单调递减，在，上单调递增；（Ⅱ）证明：要证，即证，即证，又，故，即证，令，则，令，则，而在递增，且（1），（2），故存在唯一的实数，使得，故在上单调递减，在，上单调递增，，（2），故大昂时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故（2），综上：，即．7．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）已知，求的根的个数；（Ⅲ）求证：若，则．解：（Ⅰ）证明：，，，要证即，即证，即证，显然成立；（Ⅱ）显然，令，即，解得：，问题转化为和的交点个数问题，由，当时，，递减，当时，，递增，故，故当时，有1个根，时，有2个根；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当时，，要证原命题成立，只需证，问题转化为只需证明在上恒成立，令，则，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，又，在递减，则，而（2），故存在，使得，即，故在递减，在，递增，故，又，，在恒成立，故原命题成立．8．已知函数．（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（2）若，证明：．解：（1），若在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，令函数．则，故在上单调递减，故（1），从而，故的取值范围是，；（2）证明：当，欲证，即证明：，令，则，设，则为增函数，且（1），，故存在，，使得，由于，则，故时，，，时，，故在单调递减，在，单调递增，故，由于，即，故，故，，，从而．