2022届高考一轮复习第四章导数专练_零点个数问题1(Word含答案)

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第四章导数专练_零点个数问题11．已知函数为自然对数的底数）．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）证明：对任意实数，函数有且只有一个零点．（1）解：，则，因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，设，，当时，，在上单调递增，则，解得；当时，令，解得，则当，时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以，解得，综上，实数的取值范围是，．（2）证明：，，①当时，时，，，，单调递减，又（1），，所以在时，恰有一个零点；②当时，，令，可得，恰有一个零点；③当时，，，时，，单调递减，，（1），，所以在时恰有一个零点．综上，有且只有一个零点．2．已知函数．（1）当时，求证：；（2）当时，讨论零点的个数．解：（1）证明：当时，，则，当时，，单增，当时，，单减，（1），即得证；（2）令，则即为，当，即时，该方程不成立，故不是的零点；接下来讨论时的情况，当时，方程可化为，令，则，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，当时，，单增，当时，，单减，且当时，，，当时，，当时，，函数的大致图象如下：由图象可知，当，即时，只有一个解，则有一个零点，当，即时，有两个解，则有两个零点．综上，当时，有两个零点，当时，有一个零点．  3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰好有三个零点，求的取值范围．解：（1）函数的定义域是，由，得，由于，则，即在区间上，，递减，当时，，，的变化如下：，0递增极大值递减当时，，即在区间，上，，递减，综上：当时，在递减，在区间上递增，在，递减，当时，函数在区间上单调递减．（2）结合（1）得当时，函数可能存在3个零点，当时，（1），，，在区间上恰好存在一个零点，在区间上存在2个零点，需保证，即，且此时（1），，在区间上存在1个零点，同时，，设，对于函数，，，故，且，在区间，上存在1个零点，综上：当时，在区间，，，上各存在1个零点．4．已知函数．（1）当时，证明：；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．1）证明：的定义域为，，当时，令，解得．时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．时，函数取得极小值即最小值，（1），．（2）解：①当时，由（1）可知：时，函数取得极小值即最小值（1）．又由（1）可知：当时，．要使得函数有两个零点，则（1），解得．此时（2），，函数在，，上个有一个零点，满足题意．②当时，令，解得，或．可得：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：时，函数取得极大值．令（a），．则（a），函数（a）在上单调递增．（a），（a），函数在上不可能有两个零点，舍去．．③当时，．函数在上单调递增，不可能有两个零点，舍去．④当时，可得：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增可得：时，函数取得极大值（1），函数不可能有两个零点，舍去．综上所述可得：若有两个零点，则实数的取值范围为．5．已知函数，其中．（1）当，时，证明：；（2）若函数恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，，证明：．解：（1）证明：当时，，，当时，，在单调递增，（1），（1）；（2），则，令，当时，又，则，，当时，△，得，，故当时，在上单调递增，且（1），故有，可得，当时，有△，此时有2个零点，设为，，且，又，，故，在上，为单调递减函数，故此时有，即，得，此时不恒成立，综上：的取值范围是，；（3）证明：若有2个不同的零点，，不妨设，则，为的两个零点，且，，由（2）知此时，并且在，，上单调递增，在，上单调递减，且（1），，，，，，且的图像连续不断，，，，，，，综上：．6．已知函数，．（1）若，求函数的单调区间；（2）若，求证：函数有且仅有1个零点．解：（1），，当时，令，得：；令，得；当时，令，得：或，令，得；因此，当时，在递增，在递减；当时，在，递减；在递增．（2）证明：时，，，时，，时，，时，，故在递减，在递增，在递减，又（1），所以在上无零点，①设，则，则在递减，在递增，所以（1），所以．取对数，得，故，又，所以，所以时，，当，即时，．，故，又（1），的图象在上连续不间断，所以函数在有且仅有1个零点，②综合①②，得当时，函数有且仅有1个零点．7．已知函数为奇函数，曲线在点，（1）处的切线与直线平行．（Ⅰ）求的解析式及单调区间；（Ⅱ）讨论的零点个数．解：（Ⅰ）函数为上的奇函数，所以，即，解得；又，且曲线在点，（1）处的切线与直线平行，所以（1），解得，所以．所以，令，解得，所以，，时，，单调递增；，时，，单调递减；所以的单调增区间为和，，减区间为，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的极大值为，极小值为，函数的零点，即为与图象的交点；如图所示：由图象知，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点．8．已知函数，，为自然对数的底数，．（1）设函数，若在，上为减函数，在，上为增函数，求的取值范围；（2）求证：函数有唯一零点．（1）解：，，因为，所以令，可得或，令，可得，所以在，上为增函数，在，上为减函数，在，上为增函数，因为在，上为减函数，在，上为增函数，所以，，且，，，所以，所以实数的取值范围是，．（2）证明：令，可得，设，，则，，故在内至少有一个零点，即至少有一个零点．下面证明至多有一个零点：，，令，可得，且为增函数，所以在内，，为减函数；在内，，为增函数，所以，则恒成立，所以在上为增函数，所以最多只有一个零点，也最多只有一个零点．综上所述，有唯一零点．