3.导数（极值、极值点问题1）2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮大题专练3—导数（极值、极值点问题1）1．已知函数．（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程．（2）若，证明：存在极小值．（1）解：当时，，所以．所以（1），（1）．所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（2）证明：由，得．令，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为（1）．因为，所以（1），．因为在上单调递增，所以存在，使得，在上，，在，上，，即在上，，在，上，，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以存在极小值．2．已知函数，．（1）若，函数图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为2，求切线斜率取到最小值时的切线方程；（2）若有两个极值点，且所有极值的和不小于，求的取值范围．解：（1），，当时，，当且仅当，即时取等号，取得最小值，所以，又（1），所以，此时切线方程，即；（2），，则，因为有两个极值点，所以在时有两不等根，设为，，所以，解得，且，，，令，则，，所以单调递减且，由，所以．3．已知函数的最小值为0．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数，证明：有两个极值点，，且．解：（Ⅰ），定义域是，，时，，在递增，无最小值，不合题意，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（a），解得：，综上：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），则，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，而，（1），故有2个零点，，其中，，由，得：，故，当且仅当时“”成立，显然“”不成立，故．4．已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在，上有两个极值点，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，则，因为，所以当时，，即在此区间上单调递减，当时，，即在此区间上单调递增，所以的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）设函数，令，则在，上有两个不同的零点，，故当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，又在，上有两个不同的零点，所以，即，解得，故实数的取值范围为．5．已知，．（1）当时，求证：对任意，；（2）若是函数的极大值点，求的取值范围．解：（1）证明：当时，，则，当时，，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以，所以对任意，，（2），令，的正负与的单调性有关，且，所以，令，所以，所以当，时，，当，时，，，所以，时，，所以在，上单调递增，，当，即时，时，，，所以在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增，不合题意，所以舍去，当时，即，，使得在，恒为负，所以在，上成立，所以在，上单调递减，且，所以，时，，，单调递增，时，，，单调递减，所以在处取得极大值，所以，综上所述，的取值范围为．6．已知函数，．（1）若在，（1）处的切线斜率为，求函数的单调区间；（2），若是的极大值点，求的取值范围．解：（1）的定义域是，，（1），，，令，解得：，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在，递增，即的递增区间是和，，递减区间是，．（2）由题意得，，，，令，则，，若，当时，单调递增，故在上单调递增，又，，故存在，使得，故当时，，在上单调递减，又，故当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，符合题意，若，当时，，故在递增，，在上递增，故不可能是的极大值点，综上，当是的极大值点时，的取值范围是．