必修 第一册第3章 函数的概念与性质本章综合与测试随堂练习题
展开湘教版(2019)高中数学必修第一册
注意:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效,不予记分。
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)
某手机生产线的年固定成本为250万元,每生产x千台需另投入成本C(x)万元.当年产量不足80千台时,C(x)=13x2+10x(万元);当年产量不小于80千台时,C(x)=51x+10000x−1450(万元),每千台产品的售价为50万元,该厂生产的产品能全部售完.当年产量为( )千台时,该厂当年的利润最大?
A. 60B. 80C. 100D. 120
习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业,把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分,人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召,某村准备将一块边长为2 km的正三角形空地(记为△ABC)规划为公园,并用一条垂直于BC边的小路(宽度不计)把空地分为两部分,一部分以绿化为主,一部分以休闲健身为主.如图,BC // x轴,小路记为直线x=m(0
C. D.
某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(t∈N*)(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示,且Q与t满足一次函数关系,
那么在这30天中第几天日交易额最大( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( )
A. 2800元B. 3000元C. 3800元D. 3818元
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形铁片面积最大时,矩形铁片的两边长x,y应为( )
A. x=15,y=12
B. x=12,y=15
C. x=14,y=10
D. x=10,y=14
用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25m.当这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为( )时,围成的矩形菜园ABCD的面积最大?
A. 152B. 252C. 10D. 15
为了节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,计费方法如下:
若某户居民本月交纳的电费为380元,则此户居民本月用电量为 ( )
A. 475度B. 575度C. 595.25度D. 603.75度
某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为( )
A. 13立方米B. 14立方米C. 18立方米D. 26立方米
2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,其政策的主要内容包括:(1)个税起征点为5000元;(2)每月应纳税所得额(含税)=收入−个税起征点−专项附加扣除:(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等,其中前两项的扣除标准为:①赡养老人费用:每月扣除2000元②子女教育费用:每个子女每月扣除1000元.
新的个税政策的税率表部分内容如下
现有李某月收入为19000元,膝下有一名子女,需赡养老人(除此之外无其它专项附加扣除),则他该月应交纳的个税金额为( )
A. 570B. 890C. 1100D. 1900
近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=32a−6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=14A+2,则投资这两座城市收益的最大值为( )
A. 26万元B. 44万元C. 48万元D. 72万元
已知函数fx=x2+2x,x≥0x2−2x,x<0 .若f(−a)+f(a)⩽2f(1),则a的取值范围是( )
A. −1,0B. 0,1C. −1,1D. −2,2
已知函数若存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1
二、多空题(本大题共5小题,共25.0分)
某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示,总利润y为正数),则营运年数的取值范围是 ;每辆客车营运 年时,年平均利润最大.
已知函数f(x)=ax,x>1x+a2,x≤1其中a>0,且a≠1.
(i)当a=2时,若f(x)
已知函数f(x)=1−|x−2|,x>0−x2+2ax+1,x≤0,当a=1时,f[f(4)]= ;若f(x)max=3−a,则a= .
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图.为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)以作备用,则截取的矩形面积最大值为 ,此时x的值为 .
已知函数f(x)=−x3+x2,x
②若f(x)的图象上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共8小题,共96.0分)
某商店将每个进价为10元的商品,按每个18元销售时,每天可卖出60个,经调查,若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售量就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售量就增加10个.
(1)若每个售价分别为23元、13元时,求各自的利润;
(2)为获得每日最大利润,此商品售价应定为每个多少元?
某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构成本费用为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30,则每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30,则给予优惠:每多一人,每位员工的培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费用为y元,培训机构的利润为Q元.
(1)写出y与x(x>0,x∈N *)之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润.
某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动,经过调研得知:2019年9月份第x(1≤x≤30,x∈N+)天的单件销售价格(单位:元)f(x)=20+x, 1⩽x<1550−x,15⩽x⩽30,第x天的销售量(单位:件)g(x)=m−x(m为常数),且第20天该商品的销售收入为600元(销售收入=销售价格×销售量).
(1)求m的值;
(2)该月第几天的销售收入最高?最高为多少?
经市场调查,某商品在近100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且销售量近似地满足关系:g(t)=109−t(t∈N*,1≤t≤100)在前40天内价格为f (t)=t+83(t∈N*,1≤t≤40);在后60天内价格为f(t)=104−t(t∈N*,41≤t≤100).
(1)试写出该商品的日销售额S与时间t的函数关系式;
(2)求该商品在近100天内的日销售额S(t)的最大值.
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)(万元),若年产量不足80千件,C(x)的图象是如图的抛物线,此时C(x)<0的解集为(−30,0),且C(x)的最小值是−75,若年产量不小于80千件,C(x)=51x+10000x−1450,每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完;
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中,为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫,市政府继续为其提供30万元无息贷款,用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费,已知一年内生产该产品x万件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=24x−2x2,0
(1)写出该企业的年利润Wx(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万件时,企业获得的年利润最大?并求出最大利润;
(3)企业只依靠生产并销售该产品,最早在几年后能偿还所有贷款?
某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情知,从二月一日起的300天内,西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示.
(I)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式f(t);写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式g(t);
(II)若记市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/100kg,时间单位:天).
为响应国家提出的“大众创业,万众创新”的号召,小王同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元,每生产x万件,需另投入流动成本为C(x)万元.在年产量不足8万件时,C(x)=13x2+2x(万元);在年产量不小于8万件时,C(x)=7x+100x−37(万元).每年产品售价为6元.假设小王生产的商品当年全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(注:年利润=年销售收入−固定成本−流动成本);
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查分段函数模型,函数的应用,属于中档题.
求出利润的函数解析式,用分段函数表示,然后分段求出函数的最大值,比较大小求解即可.
【解答】
解: 设年产量为x千台,当年的利润为y万元,
则由已知有y=50x−13x2−10x−250,0
当x≥80时,由对勾函数单调性得,y在[80,100)单调递增,在(100,+∞)单调递减,所以当x=100时,y取得最大值1000,
又1000>950,
所以当年产量为100千台时,该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选C.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数模型和分段函数模型.
分0
解:当0
故选C.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象,分段函数,待定系数法,二次函数求最值,学生根据实际问题选择函数类型的能力,属于中档题.
由图象知函数为分段函数,根据待定系数法分别求出函数P在(0,20),(20,30)上的解析式,再根据表格求出一次函数Q的解析式,从而写出交易额函数的解析式,在各段上根据二次函数求最值即可.
【解答】
解:当时,设,
根据图象过点(0,2),(20,6),所以b=26=20a+b,
解得b=2,a=15,所以P=15t+2,
同理可得当20≤t≤30,,
综上可得,P=15t+2,0
解得,所以,
y=P·Q=(15t+2)(−t+40),0
当20≤t≤30时,y=110(t−80)(t−40)在20,30上单调递减,
所以t=20时,万元,
综上可得,第15日的交易额最大为125万元.
故选B.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的实际应用,考查计算能力,属于中档题.
先求出纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系,分别求出(x−800)×0.14=420和11.2%·x=420的x值,即可得到答案.
【解答】
解:由题意知,纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为y=0,0
令(x−800)×0.14=420,解得x=3800,
令11.2%·x=420,得x=3750(舍去).
故这个人应得稿费(扣税前)3800元,
故选C.
5.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查利用二次函数模型解决实际问题,属于基础题.
解题的关键由图形可得x20=24−y24−8,再利用S=xy=x(24−4x5)=−4x25+24x转化为关于x的二次函数,再求最值即可,注意x的取值范围.
【解答】解:结合图形,可得x20=24−y24−8,得y=24−4x5(0
故选A.
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题,涉及到二次函数的性质,属于基础题.
设出矩形的宽为x米,则即可求出长为50−2x,并求出x的范围,然后表示出矩形的面积,利用二次函数的性质即可求解.
【解答】
解:设矩形的宽为x米,矩形的面积为S,
则由题意可得矩形的长为50−2x,则0
因为0
故选:B.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是分段函数的应用,属于基础题.
设该居民这个月用电为x度,该居民这个月交纳的电费为380元,由题意列出一元一次方程,再解此方程即可得出该居民这个月用电量.
【解答】
解:设该居民这个月用电为x度,
因为不超过230度的部分电费最多为230×0.5=115元,
超过230度但不超过400度的部分电费最多为400−230×0.6=102元,
则有x−400×0.8=380−115−102,
解得x=603.75(度).
故选D.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的实际应用题,属于基础题.
由题意列出解析式,计算即可.
【解答】
解:该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y=mx, 0≤ x≤102mx−10m, x>10,
由y=16m,可知x>10.
令2mx−10m=16m,解得x=13.
故选A .
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的应用与函数值计算,属于中档题.
由题意分段计算李某的个人所得税额即可.
【解答】
解:李某月应纳税所得额(含税)为:19000−5000−1000−2000=11000元,
不超过3000的部分税额为3000×3%=90元,
超过3000元至12000元的部分税额为8000×10%=800元,
所以李某该月应缴纳的个税金额为90+800=890元.
故选:B.
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的模型,转换为关于t为变量的二次函数,属于拔高题.
由题设总收益f(x)=32x−6+14(120−x)+2=−14x+32x+26.
由x≥40120−x≥40,解得40≤x≤80.利用换元法结合二次函数的性质可求得最大值.
【解答】
解:设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120−x)万元,
所以总收益f(x)=32x−6+14(120−x)+2=−14x+32x+26.
由题意知x≥40120−x≥40,解得40≤x≤80.
令t=x,则t∈[210,45],所以y=−14t2+32t+26=−14(t−62)2+44,
当t=62,即x=72时,y取得最大值44,
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
故选B.
11.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分段函数模型,属于基础题.
方法一:利用函数的奇偶性和单调性求解a的取值范围;
方法二:利用特殊值法排除A,B,D选项,得出正确选项.
【解答】解:方法一 若x<0,则−x>0,f(−x)=x2−2x=f(x);
若x>0,则−x<0,f(−x)=x2+2x=f(x),
故函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,函数f(x)单调递增.
∴不等式f(−a)+f(a)≤2f(1)等价于2f(a)≤2f(1),即f(a)≤f(1),
∴|a|≤1,
∴−1≤a≤1.
故选C.
方法二 f(1)=3,当a=2时,f(2)=f(−2)=8,不满足题中不等式,排除D;
当a=0时,f(0)=0,满足题中不等式,排除A;
当a=−1时,f(−1)=f(1)=3,满足题中不等式,排除B,
故选C.
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分段函数,考查正弦函数的对称性和应用,以及二次函数的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题.
作出函数f(x)的图象,由图象及对称性可得,x1x2=1,x3+x4=12,即为x4=12−x3,2
解:作出函数的图象,
存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1
可得−lg2x1=lg2x2,即有x1x2=1,
且x3+x4=2×6=12,即为x4=12−x3,2
=(x3−2)(10−x3)=−(x3−6)2+16,
因为y=−(x3−6)2+16在x3∈(2,4)递增,
即所求范围为(0,12).
故选D.
13.【答案】{3,4,5,6,7,8,9}(或{x∈N*|6−11
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数模型,基本不等式,一元二次不等式的解法.
由题意得出二次函数的解析式y=−x2+12x−25,令−x2+12x−25>0,即可得出营运年数的取值范围,年平均利润为利用基本不等式等号成立的条件即可得出答案.
【解答】
解:由题意,二次函数顶点为(6,11),
设为y=a(x−6)2+11,代入(4,7),得a=−1,
所以y=−x2+12x−25,令−x2+12x−25>0,解得6−11
所以营运年数的取值范围是{3,4,5,6,7,8,9}(或{x∈N*|6−11
当且仅当x=25x,即x=5时,等号成立,
所以每辆客车营运5年时,年平均利润最大.
14.【答案】(−∞,2)
(0,1)∪(1,2)
【解析】解:(1)当a=2时,f(x)=2x,x>1x+1,x≤1,
则f(2)=22=4,
①当x>1时,解不等式2x<4,解得:1
综合①②得:
实数x的取值范围是:(−∞,2),
(2)①当0存在直线y=m与y=f(x)有两个交点,
即0②当a≥1时,由图二知,当a
即a≤1+a2即1综合①②得:
实数a的取值范围是为:0故答案为:(−∞,2),(0,1)∪(1,2)
(1)由分段函数,分别讨论①当x>1时,②当x≤1时,解不等式即可,
(2)分别讨论①当0本题考查了分段函数及数形结合的思想方法,属难度较大的题型.
15.【答案】−2
±2
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于拔高题.
对于第一空:当a=1时,可得函数的解析式,先由函数的解析式求出f(4)的值,进而计算可得答案;
对于第二空:分a≥0与a<0两种情况讨论,求出函数f(x)的最大值,即可得关于a的方程,求出a的值,综合可得答案.
【解答】
解:根据题意,当a=1时,f(x)=1−|x−2|,x>0−x2+2x+1,x≤0,
则f(4)=1−2=−1,则f[f(4)]=f(−1)=−2,
函数y=−x2+2ax+1=−(x−a)2+1+a2,
当a≥0时,f(x)在区间(−∞,0]上递增,且有f(x)≤f(0)=1,
在区间(0,2]上递增,有f(x)≤f(2)=1,
在区间[2,+∞)上递减,有f(x)≤f(2)=1,
则f(x)的最大值为1,则有f(x)max=3−a=1,解可得a=2;
当a<0时,f(x)在区间(−∞,a]上递增,在区间[a,0]上递减,有f(x)≤f(a)=1+a2,
在区间(0,2]上递增,有f(x)≤f(2)=1,在区间[2,+∞)上递减,有f(x)≤f(2)=1,
又由1+a2>1,则f(x)的最大值为1+a2,则有1+a2=3−a,解可得a=−2或1(舍),
此时a=−2,
综合可得:a=±2,
故答案为:−2;±2.
16.【答案】180
15
【解析】【解析】
本题考查函数模型的应用,属于中档题.
由直角三角形相似得x=54(24−y),化简矩形面积S=xy的解析式为S=−54(y−12)2+180,再利用二次函数的性质求出S的最大值.
【解答】
解:依题意知,即,8≤y<24,
所以截取的矩形的面积S=xy=54(24−y)y=54(−y2+24y)=−54(y−12)2+180,(8≤y<24)
所以当y=12时,S取最大值180.
则x=15.
故答案为180;15.
17.【答案】(0,427)
(0,1e+1]
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是分段函数的应用,分类讨论思想,利用导数研究函数的单调性及极值,难度中档.
①利用导数法,分析函数的单调性和极值,进而可得当t∈(0,427)时,直线y=t与函数图象有三个交点,
即f(x)−t有3个零点;
②设P(t,f(t))、Q(−t,f(−t)),则−t2+f(t)f(−t)=0,分类讨论满足条件a值,综合可得答案.
【解答】
解:①当a=1时,f(x)=−x3+x2,x
当x<0时,f′(x)<0,函数为减函数;
当0
当23
故当x=0时,函数取极小值0,
当x=23时,函数取极大值427,
又f(2)=−8+4<0,f(e)=1,
故当t∈(0,427)时,直线y=t与函数图象有三个交点,
即当t∈(0,427)时,f(x)−t有3个零点;
②依题意,设P(t,f(t))、Q(−t,f(−t)),则−t2+f(t)f(−t)=0;
当|t|
∴a=1(t+1)lnt,显然1(t+1)lnt关于t单调递减,
∴a∈(0,1e+1].
故答案为:(0,427);(0,1e+1]
18.【答案】解:(1)23−1060−25=455,13−1060+50=330,
所以售价分别为23元、13元时,利润分别为455元,330元.
(2)设每个售价为x元,每日利润为y元,
若x≥18时,销售量为60−5x−18,每个利润为x−10元,
那么每日利润为y=60−5x−18x−10 =−5x−202+500,
此时,售价定为每个20元时,利润最大,其最大利润为500元;
若x<18时,销售量为60+1018−x,每个利润为x−10元,
那么每日利润为y=60+1018−xx−10 =−10x−172+490,
此时,售价定为每个17元时,利润最大,其最大利润为490元.
综上,每个商品售价定为20元时,每日利润最大.
所以为获得每日最大利润,此商品售价应定为每个20元.
【解析】本题考查二次函数最值的求法,考查二次函数的实际应用,属基础题.
(1)直接利用每个的利润和数量的乘积得总利润即可;
(2)分两种情况讨论比较即可.
19.【答案】解:(1)依题意,得当0
当30
所以当x=57或58时,Q取得最大值,Qmax=21060.
∵21060>13500,
∴当公司参加培训的员工人数为57或58时,培训机构可获得最大利润21060元.
【解析】本题考查了二次函数模型、分段函数模型的相关知识,试题难度一般.
(1)根据题意分0
20.【答案】解:(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(50−20)(m−20)=600,
解得 m=40;
(2)当1≤x<15时,销售收入y=(20+x)(40−x),
=−x2+20x+800=−(x−10)2+900,
故当x=10时,ymax=900;
当15⩽x⩽30时,销售收入y=(50−x)(40−x),
=x2−90x+2000=(x−45)2−25,
故当x=15时,ymax=875,
因为875<900,
故第10天的销售收入最高,为900元.
【解析】本题考查简单的数学建模思想方法,考查分段函数值域的求法,属于中档题.
(1)由已知结合f(20)g(20)=(50−20)(m−20)=600求得m值;
(2)直接利用配方法求二次函数的最值得答案.
21.【答案】解:(1)由题意知,
当1≤t≤40,t∈N*时,S=f(t)⋅g(t)=(t+83)⋅(109−t)=−t2+26t+9047,
当41≤t≤100,t∈N*时,S=f(t)⋅g(t)=(104−t)⋅(109−t)=t2−213t+11336,
∴所求函数关系为S=−t2+26t+9047,(1≤t≤40,t∈N*)t2−213t+11336,(41≤t≤100,t∈N*);
(2)当1≤t≤40,t∈N*时,S=−t2+26t+9047=−(t−13)2+9216,
∴函数S=−t2+26t+9047在[1,40]上的最大值S(t)max=S(13)=9216(元),
当41≤t≤100,t∈N*时,S=t2−213t+11336,其对称轴方程为t=2132,
∴函数S=t2−213t+11336在[41,100]上单调递减,故S(t)max=S(41)=4284(元),
∵4284<9216,
∴当t为13时,日销售额最大,最大值为9216.
【解析】(1)利用S=f(t)⋅g(t),通过t的范围求出函数的解析式;
(2)利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可.
本题考查分段函数的应用,实际问题的处理方法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
22.【答案】解:(1)∵每千件商品售价为50万元,
∴x千件商品销售额为50x万元,
∵年产量不足80千件时C(x)的最小值为−75,与x轴交于(−30,0)和(0,0)两点,
∴年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x.
①当0
=−13x2+40x−250;
②当x≥80时,∵年利润=销售收入−成本,
∴L(x)=50x−51x−10000x+1450−250
=1200−(x+10000x).
综合①②可得,L(x)=−13x2+40x−250,0
②当x≥80时,L(x)=1200−(x+10000x)
≤1200−2x⋅10000x=1200−200=1000,
当且仅当x=10000x,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1000万元.
综合①②,由于950<1000,
∴当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
【解析】本题主要考查利用函数模型解决实际问题,属于中档题.
(1)分两种情况进行研究,当0
当x>5(万件)时,
Wx=132−324x−4x−36=−4x−324x+96(万元),
所以W(x)=−2x2+20x−36,0
(2)由(1)知当0
所以当x=5万件时,企业获得的利润最大值为14万元;
当x>5(万件)时,
Wx=−4x−324x+96⩽−24x×324x+96=24(万元),
当且仅当x=9万件时,企业获得的利润最大值为24万元;
综上可知,年产量为9万件时,企业获得的年利润最大为24万元;
(3)由题意,设最早nn∈N*年后能偿还所有贷款,
则有24n−30−90⩾0,解得n⩾5,
所以企业最早5年后能偿还所有贷款.
【解析】本题考查分段函数模型的应用,考查利用二次函数性质及基本不等式求函数最值,属于中档题.
(1)由题意,分类讨论,根据题意可得W(x)的解析式;
(2)由(1)结合二次函数的性质及基本不等式可求出最大利润及对应的当年产量;
(3)由题意列不等式,求解即可.
24.【答案】解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300−t,0≤t≤2002t−300,200
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)−g(t),
即h(t)=−1200t2+12t+1752,0≤t≤200−1200t2+72t−10252,200
所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;
当200
综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,
即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
【解析】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力.
(Ⅰ)观察图一可知此函数是分段函数(0,200)和(200,300)的解析式不同,分别求出各段解析式即可;第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可.
(Ⅱ)要求何时上市的西红柿纯收益最大,先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h(t)也是分段函数,分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可.
25.【答案】解:(1)因为每件商品售价为6元,则x万件商品销售收入为6x万元,
依题意得:当0
所以P(x)=−13x2+4x−2,0
当x≥8时,P(x)=35−(x+100x)≤35−2x⋅100x=15,
(当且仅当x=100x,即x=10时,取等号).
即x=10时,P(x)取得最大值15万元,
因为10<15,
所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.
【解析】本题考查分段函数模型的应用,二次函数的性质和基本不等式的应用,属于中档题.
(1)根据题意对x分类讨论,可得分段函数解析式;
(2)利用二次函数的性质和基本不等式求出各区间上函数的最值,然后比较,即可得.
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
每户每月用电量
电价
不超过230度的部分
0.5元/度
超过230度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度
级数
一级
二级
三级
…
每月应纳税所得额x元(含税)
x≤3000
3000
税率(%)
3
10
20
…
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