立体几何平行证明专题训练

这是一份立体几何平行证明专题训练，共38页。
例1 如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明．


解：在原正方体中EF∥GH.
证明如下：如图所示，
将展开图还原为正方体ABCD­A1B1C1D1，

则E，F，G，H分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，
连接B1D1，BD，则EF∥B1D1，GH∥BD.
又因为B1D1∥BD，所以EF∥GH.
点拨 证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题．
变式1 (2019·山东沂水检测)如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是 ( )


A.E，F，G，H一定是所在边的中点
B.G，H一定分别是CD，DA的中点
C.BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.故选D.
考点二 线面平行
例2 (1)如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)


① ②

③ ④

解：在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP.所以AB∥平面MNP.②④中，只需平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③.
(2)如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点. 求证：平面.
【答案】
如图,连交于点,连,则
是的中位线,
,
平面
(3)如图，正方体中，为的中点．
证明：
【答案】令AC∩BD=O，连接EO，
∵E为DD1的中点，O为BD的中点，
∴EO为△BDD1的中位线，
∴BD1∥EO，
∵BD1⊊平面ACE，EO⊂平面ACE，
∴BD1∥平面ACE．
(4)如图，四棱锥中，，，，，为线段上一点，，为的中点．证明
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，
∴BE=12BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．
(5)在四棱锥中，，，，为的中点，．求证：；
【解答】取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．
(6)如图，几何体由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，⊥平面，为的中点，E为棱上一点，且∥平面．若在棱上，且，证明：∥平面.
【答案】证明：（1）∵EM∥平面BC1D．EM⊂平面ABDA1，平面ABDA1∩平面BC1D=BD，
∴EM∥BD；
过D作DH⊥AB于H，连接CH，则CH∥C1D，
则HM=﹣=，
∴HM：MB=CN：NB=1：2，
∴MN∥CH，即MN∥C1D，
∵EM∩MN=M
∴平面EMN∥平面BC1D，
又∵EN⊂平面EMN，
∴EN∥平面BC1D，
(7)如图，在四面体中，已知平面，，为的中点．若为的中点，点在直线上，且：=1：2，
求证：直线∥平面．
【答案】证明：（2）连接DM，设BD与CM交于点G，连接NG，
∵D、M为中点，∴DM∥BC且，…（9分）
∴DG：GB=DM：BC=1：2．
∵AN：NB=1：2，∴AN：NB=DG：GB．…（11分）
∴△BNG∽△BAD，∴AD∥NG，
∵AD⊄平面CMN，NG⊂平面CMN，
∴直线AD∥平面CMN． …（14分）
(8)如图，四棱锥中，⊥平面，．若，求证：∥平面．
【答案】证明：（1）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．①
因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．
又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．②
由①②得CD∥AB，
因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．
(9)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．


(Ⅰ)证明：MN∥平面C1DE；
(Ⅱ)求点C到平面C1DE的距离．
解：(Ⅰ)证明：联结B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝eq \f(1,2)B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND＝eq \f(1,2)A1D.
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.
又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.


(Ⅱ)过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝eq \r(17)，故CH＝eq \f(4\r(17),17).
从而点C到平面C1DE的距离为eq \f(4\r(17),17).
另解：利用VC­C1DE＝VC1­DEC求解．
点拨 要证明直线和平面平行，通常有两种方法：①利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；②由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第一种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行．第二种方法常用于非特殊位置的情形．
变式2 (1)如图,直三棱柱中,分别是的中点,,证明：
【答案】连结 ．
又 .
因为
所以 .
(2)如图，三棱柱中，侧棱，，，分别是的中点．
证明：；
【答案】连接A1C，则
∵△BA1C中，E，F分别是A1B，BC的中点．
∴EF∥A1C
∵EF⊄平面A AlClC，A1C⊂平面A AlClC，
∴EF∥平面A AlClC；
(3)如图，四棱锥的底面是正方形，，，点分别为棱的中点．求证：；
【解答】解：证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连接FG、EG
∴FG为△CDP的中位线∴FG∥¯¯12CD
∵四边形ABCD为矩形，∵E为AB的中点
∴AE∥¯¯12CD∴FG∥¯¯AE∴四边形AEGF是平行四边形
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE∴AF∥平面PCE
(4)如图，四棱锥底面为等腰梯形，且，点为中点．证明：
【解答】证明：（1）取BC中点F，连接DF、EF．
由于EF为△PBC中位线，所以EF∥PB，
又EF⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．
由于AD∥BC且BC=2AD，
则AD∥¯¯BF，所以四边形ABFD为平行四边形，所以DF∥AB，
因为DF⊄平面PAB，AB⊂面PAB，所以DF∥平面PAB．
因为EF∥平面PAB，DF∥平面PAB，
EF∩DF=F，EF，DF⊂平面DEF，
所以平面DEF∥平面PAB．
又DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PAB．
(5)在四棱锥中，底面，，分别是，的中点，，，．求证：∥平面．
【答案】证明：（1）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，
∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，
又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，
∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．
∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，
∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，
∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，
∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，
∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．
(6)如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点，是棱上的点，且求证：∥平面．
【答案】证明：（1）连结DC，交AC1于点G，连结FG，
∵ABC﹣A1B1C1是斜三棱柱，∴AA1∥CC1，且AA1=CC1，
∴==，
又FC=2BF，∴=，
∴BD∥FG，
∵BD⊄面AFC1，FG⊂平面AFC1，
∴BD∥平面AFC1．
(7)如图，多面体中,，∥，，平面⊥平面，为的中点．若是线段的中点，求证：∥平面．
【答案】证明：（Ⅰ）取AB的中点P，连接PM，PN，
由P，N为中点得PN∥BE∥CD，
∵PN⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，∴PN∥平面ACD，
同理可得：PM∥平面ACD，
∵PN∩PM=P，
∴平面MNP∥平面ACD，
∵MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面ACD；
(8)(2018·陕西榆林二中七模)在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：


(Ⅰ)FM∥平面ADE；
(Ⅱ)平面ACD⊥平面ADE.
证明：(Ⅰ)取BE的中点N，连接MN，FN，因为F，M，N分别为AB，CD，BE的中点，所以MN∥DE，FN∥AE.
又因为AE，DE⊂平面ADE，FN，MN⊄平面ADE，
所以MN∥平面ADE，FN∥平面ADE.
又MN∩FN＝N，所以平面ADE∥平面FMN.
又FM⊂平面FMN，所以FM∥平面ADE.


(Ⅱ)因为四边形DCBE为矩形，所以BC⊥DC.
又AC⊥BC，AC∩DC＝C，所以BC⊥平面ACD.
又因为BC∥DE，所以DE⊥平面ACD.
因为DE⊂平面ADE，所以平面ACD⊥平面ADE.
(9)如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.

(Ⅰ)求证：PC⊥BC；
(Ⅱ)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，请说明理由．
解：(Ⅰ)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.
又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.
因为PC⊂平面PDC，所以PC⊥BC.
(Ⅱ)连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，


延长GO交AD于点M，连接EM，则PA∥平面MEG.
证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA.
因为EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，所以PA∥平面MEG.
因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝eq \f(2,3)，
所以AD边上存在点M，使PA∥平面MEG，且AM的长为eq \f(2,3).
考点三 面面平行
例3 如图所示，在正方体中，分别为的中点，求证：面平面．
答案：略
解析： 分别是的中点，
，
，平面，
分别是的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
平面，
平面
面面．
例4 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，分别是的中点．已知点是的中点，点是上一动点，当为何值时，平面平面？
答案：当时，平面平面．
解析： 过点作交于，连接，
是的中点，，
，平面平面，
当是与的交点时，平面平面，
在矩形中，由题意得．
故当时，平面平面．
变式3 已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F，求证：


(1)EF∥平面ABCD；
(2)平面AD1C∥平面A1BC1.
证明：(1)证法一：如图，过E，F分别作AB，BC的垂线EM，FN，分别交AB，BC于点M，N，

连接EF，MN.
因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC.所以EM∥BB1∥FN.
又因为AB1＝BC1，B1E＝C1F，
所以AE＝BF.
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
所以Rt△AME≌Rt△BNF.所以EM＝FN.
所以四边形MNFE是平行四边形，所以EF∥MN.
又MN⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
证法二：过E作EP∥AB交BB1于点P，连接PF，
所以eq \f(B1E,B1A)＝eq \f(B1P,B1B).
因为B1E＝C1F，B1A＝C1B，所以eq \f(C1F,C1B)＝eq \f(B1P,B1B).
所以FP∥B1C1∥BC.
又因为EP∩FP＝P，AB∩BC＝B，
所以平面EFP∥平面ABCD.
又EF⊂平面EFP，所以EF∥平面ABCD.


(2)如图，连接A1B，D1C，AD1，由已知AD1∥BC1，CD1∥A1B.又AD1∩CD1＝D1，BC1∩BA1＝B，所以平面AD1C∥平面A1BC1.亦可连接B1D，由B1D⊥平面ACD1，B1D⊥平面A1C1B证明结论．
变式4 如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？
答案：当为的中点时，平面平面．
解析：当为的中点时，平面平面．
为的中点，为的中点，．
连接．分别为的中点，
．又平面，平面，面．
再由面，且 ，平面平面．


课后作业

1．(2018·兰州一模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是 ( )
A.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B.若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C.若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
解：由线面垂直的性质可知A正确；由面面平行的性质可知B正确；m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α，β可能平行，也可能相交．故C错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知D正确．故选C.
2．(2019·安徽毛坦厂中学月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线 ( )

A.有无数条 B.有2条 C.有1条 D.不存在
解：因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1且不重合，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．故选A.
3．(2019·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别是BC，CD的中点，则
( )
A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
解：如图，由条件知，EF∥BD，EF＝eq \f(1,5)BD，HG∥BD，HG＝eq \f(1,2)BD，


所以EF∥HG，且EF＝eq \f(2,5)HG，所以四边形EFGH为梯形．因为EF∥BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.因为四边形EFGH为梯形，所以线段EH与FG的延长线交于一点，所以EH不平行于平面ADC.故选B.
4．(2019·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq \f(PF,FC)＝ ( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,2)
解：连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq \f(PF,FC)＝eq \f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，所以eq \f(AG,GC)＝eq \f(AE,BC)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(PF,FC)＝eq \f(1,2).故选D.
5．(2019·蚌埠联考)过三棱柱ABC­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 ( )
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
解：作出如图的图形，E，F，G，H是相应棱的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中．


由此四点可以组成的直线有：EF，GH，FG，EH，GE，HF共有6条．故选B.
6.(2019·郑州市高三质量预测)如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH的内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为 ( )


A.2 B.2π C.2eq \r(3) D.4
解：连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，
所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，
所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4.故选D.
7．平面α过正方体ABCD ­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为 ( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,3)
解：因为平面α∥平面CB1D1，所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n∥CD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为eq \f(\r(3),2).故选A.


8．【多选题】(山东省2020届高三11月新高考模拟)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则 ( )


A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为eq \f(9,8)
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
解：根据题意，因为AD1∥EF，所以面AEF即面AEFD1，又D1D∥C1C，故A选项错误．因为A1G∥D1F，A1G⊄AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B选项正确．平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为eq \f(1,2)×eq \f(3\r(2),4)×(eq \f(\r(2),2)＋eq \r(2))＝eq \f(9,8)，故C选项正确．点G到平面AEF的距离即点A1到平面AEF的距离，亦即点D到平面AEF的距离，显然D错误．故选BC.
9.(2018·云南昆明检测)已知下列命题：
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b.
上述命题正确的是 ．
解：①若直线与平面有两个公共点，由公理1可得直线在平面内，故①对；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故②错；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的直线可能是异面直线或相交直线，故③错；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故④错；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故⑤对；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故⑥错．故填①⑤.
10．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：


①PR与BQ是异面直线；
②RQ⊥平面BCC1B1；
③平面PQR∥平面D1AC；
④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为eq \r(2)的等边三角形．
以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的序号)
解：由于PR是△A1BC1的中位线，所以PR∥BQ，故①不正确；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以②不正确；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正确；由于△A1BC1是边长为eq \r(2)的正三角形，所以④正确．故填③④.
11．(2019·山东威海模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：


(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB.

又因为SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
所以直线EG∥平面BDD1B1.
(2)如图，连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.
又因为SD⊂平面BDD1B1，
FG⊄平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1.
又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.


12．已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．求证：平面BEF∥平面AD1C1.
证明：取AD的中点G，连接BG，FG，
因为E，F分别为CC1，DD1的中点，


所以C1D1∥CD∥EF，
因为C1D1⊂平面AD1C1，EF⊄平面AD1C1，
所以EF∥平面AD1C1.
因为AD∥BC，AD＝2BC，所以GDBC，即四边形BCDG是平行四边形，
所以BGDC，所以BGEF，即四边形EFGB是平行四边形，所以平面BEF即平面EFGB.
因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FG∥AD1.
因为AD1⊂平面AD1C1，FG⊄平面AD1C1，
所以FG∥平面AD1C1.
又FG⊂平面BEF，FE⊂平面BEF，FG∩EF＝F，
所以平面BEF∥平面AD1C1.

13．(2018·汉中检测)如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq \f(AD,DC)的值．
解：(1)当eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，满足题意．
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.


由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，则点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，因为O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
所以eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(A1O,OB)，eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(DC,AD).
又eq \f(A1O,OB)＝1，所以eq \f(DC,AD)＝1，即eq \f(AD,DC)＝1.


14．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，分别是的中点．证明：平面；
答案：略
解析：设的中点为，连接
分别是的中点，
又，
四边形是平行四边形
平面，平面
平面
15．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，分别为线段的中点．证明：平面；
答案：略
解析：连接，交于点，
为线段的中点，，，
，
四边形为平行四边形，
为的中点，又是的中点，
，
又平面，平面，
平面；
16．如图，直三棱柱中，分别是的中点，，证明：
【答案】连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
17．如图，矩形所在平面与三角形所在平面互相垂直，，分别为的中点．求证：平面；
答案：略
解析：取中点，连结，
矩形所在平面与三角形所在平面互相垂直，
分别为的中点．
，
，
平面，平面，
平面平面，
平面，平面．
18．如图所示，均与平面平行，分别在上，且.求证：四边形是矩形．
【答案】因为AB∥面EFGH,面EFGH∩面ABD=HE,AB包含于面ABD
所以AB∥HE
因为AB∥面EFGH,面EFGH∩面ABC=GF,AB包含于面ABD
所以AB∥GF，所以HE∥GF
同理可证EF∥HG
故四边形EFGH为平行四边形
因为CD⊥AB,AB∥GF,CD∥EF，故GF⊥EF
故平行四边形EFGH为矩形
19．如图，在底面是平行四边形的四棱锥，点在上，且，在棱上是否存在一点，使？证明你的结论．
【答案】当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.①
由EM＝eq \f(1,2)PE＝ED，知E是MD的中点．
连接BM，BD，设BD∩AC＝O，
则O为BD的中点，连接OE，
所以BM∥OE.②
由①，②知，平面BFM∥平面AEC.
又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC.
20．已知直四棱柱,
分别为的中点．求证：面面．
答案：略
解析：连结，
为的中点，
，平面平面
又，
，四边形是平行四边形，
．
分别是的中点，
，
，又平面平面
又，
面面．
21．如图，正方体中，分别为中点．
（I）当点在棱上运动时，是否都有平面，证明你的结论；
（II）若是的中点，若是的四等分点，且，求证：平面平面．
答案：（I）当点在棱上运动时，都有平面．（II）略
解析：（I）当点在棱上运动时，都有平面．
证明如下：连接，在正方形中为的中位线，
可得，
由正方体的截面性质可得四边形为矩形，
则，
可得，
平面平面，
则平面；
（II）证明：取的中点，连接，
取的中点，连接，
由，
可得，
即四边形为平行四边形，可得，
由为的中点，且，
可得为的中点，且，
由为平行四边形，可得，
即有，
平面，平面，
则平面，
又平面，，
则平面平面．
22．如图，在正四棱台中，，分别是的中点．求证：平面平面；
注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥．用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台．
答案：略
解析：连接，分别交于，连接
由题意，
因为平面平面，所以平面
又因为，所以
又因为分别是的中点，所以
所以
又因为，所以
所以四边形为平行四边形
所以
因为平面平面，所以平面
因为，所以平面平面
23． 如图，在多面体中，底面是正方形，四边形是矩形，平面平面和分别是和的中点．求证：平面平面．
答案：略
解析：在中，因为分别是的中点，
所以，
又因为平面平面，
所以平面．
设，连接，
在中，因为，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
24．如图，在四棱锥中，，点为棱的中点．求证：平面
答案：略
解析： 由点为棱的中点，连点 ，则，
又平面，所以平面．
由，以及，所以，
又平面，所以平面．
又，所以平面平面，
而平面，所以平面．