专题25 立体几何平行与垂直判断与证明问题 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、证明空间中直线、平面的平行关系
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面.
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
2、证明空间中直线、平面的垂直关系
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）.
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）.
【典型例题】
例1．（2024·全国·模拟预测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
例2．（2024·高一·吉林·期末）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内两条相交直线，则；
②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；
③若，且，则；
④若且，则；
⑤若，且，则．
其中正确命题的序号是 ．
例3．（2024·高三·新疆阿克苏·期末）在图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）．

例4．（2024·全国·模拟预测）已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例5．（2024·山东烟台·一模）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若与所成的角相等，则
C．若，则
D．若，则
例6．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，为底面圆周上一点，F为线段上一点，（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且.求证：平面平面.
例7．（2024·高三·全国·专题练习）正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.当点是棱的中点时，求证：直线平面；
例8．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，为棱上靠近的三等分点，为线段上的动点. 求证： 平面.
例9．（2024·高三·全国·专题练习）如图，三棱锥中，平面，．证明：在线段上存在点，使得，并求的值．
例10．（2024·高三·全国·专题练习）在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.

例11．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求三棱锥的体积．
例12．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
2．（2024·山东烟台·一模）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若与所成的角相等，则
C．若，则
D．若，则
3．（2024·全国·模拟预测）已知两个相交平面、，过平面内一点作交线的垂线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知两条不同的直线，表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．B．与平行或相交
C． D．
5．（2024·高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行
B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段长度不相等
C．如果一个平面内一个锐角的两边分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行
D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
6．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．D1O∥平面A1BC1
B．MO⊥平面A1BC1
C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°
D．平面MAC⊥平面ABC
二、多选题
7．（2024·高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
B．两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行
C．夹在两平行平面间的平行线段相等
D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另一个平行
8．（2024·辽宁·二模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若为异面直线，，则
9．（2024·高三·全国·专题练习）设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中错误的是（ ）．
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
10．（2024·高三·湖南衡阳·期末）若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ）
A．重合B．相交于一点C．两两平行D．恰有两条交线平行
11．（2024·高三·全国·专题练习）（多选）下列说法不正确的有（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
12．（2024·全国·模拟预测）如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（ ）.
A．B．
C．D．
13．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点，分别是，的中点.则下列一定成立的是（ ）

A．B．C．D．
14．（2024·高三·广东佛山·期末）已知为空间中三条不同的直线，为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．已知若，则
C．若，，则
D．若，则
15．（2024·高三·河北张家口·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，E，M是棱上的点，M为的中点，F是棱上的点，若平面，则下列选项正确的有（ ）
A．平面平面B．E为的中点
C．D．平面
16．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线l满足，，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
17．（2024·河南·模拟预测）已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则直线
三、填空题
18．（2024·高三·湖北·开学考试）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列四个结论：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则；
以上结论中，正确的序号是 ．
19．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正方中，分别是的中点，存在过点的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为

20．（2024·高三·山西朔州·期中）已知A，B，C是球O的球面上三点，平面平面ABC，，O到平面ABC的距离为2，若异面直线OC与AB所成角的余弦值为，则球O的表面积为 ．
21．（2024·高二·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面．
四、解答题
22．（2024·高三·全国·专题练习）在正方体中，E和F分别为BC和的中点．
(1)判断直线EF和直线的位置关系，并说明理由；
(2)判断直线和直线的位置关系，并说明理由．
23．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.
(1)作出（不要求写作法）；
(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由.
24．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点．求证：直线平面．

25．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，分别是四面体的棱上的点，且、在同一个平面上，已知四边形平行于四面体的一组对棱和，若，求四边形的周长．
26．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；

27．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．证明：平面.
28．（2024·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；

29．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论.
30．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形. 求证：.

31．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．证明：直线平面PAD.
32．（2024·高三·全国·专题练习）已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面．
33．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，证明：
34．（2024·高三·全国·专题练习）棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.求证：平面；
35．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．求证：平面平面.
36．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，.证明：平面.