大题专项训练13：立体几何（证明平行、垂直）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练13—立体几何（证明平行、垂直）1．如图，四面体中，，，平面．为中点，为中点，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）若，是的中点，求证：平面．证明：（1）如图，取的中点为，在上取一点，使得，连结，，，则由，分别为，的中点，可得，且，又为的中点，则，因为，，所以，且，所以，且，故四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）设为的中点，因为平面，平面，所以，因为，，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为点为的中点，，所以点为的中点，因为是的中点，所以，因为，所以是等腰直角三角形，，所以，因为平面，平面，，所以平面． 2．如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，为的中点，在线段上．（1）为何值时，平面？（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．解：（1）因为直三棱柱中，面，．以点为原点，、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系．因为，，所以，从而，0，，，，，0，，，，，所以，设，则，0，，，所以．要使平面，只需．由，得或，故当或2时，平面．（5分）（2）由（1）知平面的法向量为，0，．设平面的法向量为，，，则由得令得，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值．3．如图所示的几何体由斜三棱柱和组成，满足：平行四边形与、平行四边形与、平行四边形与分别全等，且点为的中点．（Ⅰ）若、、三点不共线，求证：面；（Ⅱ）若，面面，侧棱和底面所成的角是，求证：面面．证明：（Ⅰ）因为的中点为，连接、，平行四边形与全等，，，，，且．因为、、不共线，所以面；（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）可知，面，同理可证面，而面面，因此面与面重合，即为平面，且面面，因此面，又面面，面，，面，且在平面的投影在直线上，即为线面角，，由，可得，即有，，又，，，故面面．4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ACB＝30°，AA1＝3，BC1⊥A1C，E为AC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1EB；（2）求证：A1C⊥平面C1EB．证明：（1）取A1C1中点D，连接AD，B1D，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为AC的中点．∴BE∥B1D，AEDC1，∴四边形AEC1D是平行四边形，∴AD∥C1E，∵AD∩DB1＝D，AD⊂平面ADB1，DB1⊂平面ADB1，BC1∩BE＝B，BC1⊂平面C1EB，BE⊂平面C1EB，∴平面ADB1∥平面C1EB，∵AB1⊂平面ADB1，∴AB1∥平面C1EB．（2）∵BA＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面A1ACC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴BE⊥A1C．又BC1⊥A1C，BE∩BC1＝B，∴A1C⊥面C1EB．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．（1）求证：EF∥平面ABP；（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．证明：（1）如图，取PA的中点G，连接BG，EG，∵点E，G分别为PD，PA的中点，，又∵F是BC的中点，四边形ABCD是正方形，∴BF∥EG且BF＝EG，故四边形EFBG为平行四边形，∴EF∥BG，∵BG⊂平面ABP，EF⊄平面ABP，∴EF∥平面ABP；证明：（2）由条件知，∴△PAB和△PAD都是等腰直角三角形，PA⊥AB，PA⊥AD，又∵AB∩AD＝A，AB、AD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，∵E是PD的中点，∴AE⊥PD，又∵PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PCD；解：（3）由图可知VC﹣AEF＝VE﹣ACF，∴，即三棱锥C﹣AEF的体积为．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AD＝PD＝CD，PD⊥平面ABCD．（1）证明：平面PBD⊥平面PBC；（2）是否存在一点E，使得PA∥平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．设AB＝a，则AD＝a，CD＝2a，．取CD的中点M，连结BM，则DM＝CM＝a，所以DM＝AB，因为DM∥AB．所以四边形ABMD是平行四边形，所以BM＝AD＝a，所以，所以BD2+BC2＝2a2+2a2＝4a2＝CD2，所以DB⊥BC．因为PD∩DB＝D，PD，DB⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．（2）解：当点E为PC边上靠近点P的三等分点时（即）时，PA∥平面BDE．理由如下：连结AC交BD于点O，连结OE，因为△AOB∽△COD，所以．因为，所以，所以，所以PA∥EO．因为EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE．7．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD．（1）求证：BD⊥平面BCC1；（2）在线段C1D1上是否存在一点E，使AE∥面BC1D．若存在，确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD．设AB＝1，则BD＝BC＝＝，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，∵CC1∩BC＝C，CC1⊂平面BCC1，BC⊂平面BCC1，∴BD⊥平面BCC1．（2）假设在线段C1D1上存在一点E，使AE∥面BC1D．证明如下：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，设E（0，b，c），则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，c），＝（﹣1，b，c），＝（1，1，0），＝（0，2，c），设平面BDC1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），∵AE∥面BC1D，∴＝﹣1﹣b+2＝0，解得b＝1．∵在线段C1D1上存在一点E，使AE∥面BC1D，点E是线段C1D1的中点．