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鲁教版 (五四制)4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质练习题
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这是一份鲁教版 (五四制)4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质练习题，共17页。试卷主要包含了关于x的二次函数y＝，点A，若二次函数y＝ax2+bx+c，若二次函数y＝ax2+2ax，已知点P等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
同步练习题（附答案）
1．将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+5 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+5
2．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
3．已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
4．已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），R（t，n），若m﹣n＞1，则t的值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2
5．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．点A（﹣1，y1），B（m，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）上．若y1＞y2，则m的取值范围为（ ）
A．﹣1＜m＜1 B．m＞3或m＜﹣1 C．m＞3 D．﹣1＜m＜3
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
8．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象，过不同的六点A（﹣2，n）、B（5，n+1）、C（6，n﹣1）、D（0，y1）、E（，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3为的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
9．若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（2，4）
10．已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜4
11．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
12．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6
13．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
14．在平面坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m（m＞1）沿y轴向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 ．
16．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
17．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为 ．
18．已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 ．
19．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 ．
21．抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
22．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
23．将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y＝﹣x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．
25．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．
27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是 ；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
参考答案
1．解：将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：A．
2．解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，
解得：m＜3且m≠2．
故选：D．
3．解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
4．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵﹣1＜1＜3，且m＞m﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴Q（3，m﹣1）关于对称轴的对称点是（﹣5，m﹣1），
∵m﹣n＞1，
∴m﹣1＞n，
∴t＞3或t＜﹣5，
故t的值可以是﹣6，
故选：A．
5．解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF•PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
6．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而a＞0，y1＞y2，
∴|m﹣1|＜1﹣（﹣1），解得﹣1＜m＜3，
∴m的范围为﹣1＜m＜3．
故选：D．
7．解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．
故选：A．
8．解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点A（﹣2，n）、B（5，n+1）、C（6，n﹣1）、
∴抛物线开口向下，A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为＜x＜2，
∴点E到对称轴的距离最小，点F到对称轴的距离最大，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
9．解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝﹣1，
∴点P关于对称轴的对称点为（﹣3，4），
∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，
∴这个函数图象必过点（﹣3，4），
故选：A．
10．解：∵2am+b＝0，
∴m＝﹣，
∴点M（m，y3）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y3≥y2＞y1，
∴m＞，
解得m＞1，
故选：B．
11．解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故选：C．
12．解：把点（4，c）代入y＝x2+bx+c得：
c＝42+4b+c，解得：b＝﹣4，
∵二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，
∴＝﹣6，即＝﹣6，
解得：c＝﹣2，
故选：B．
13．解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
14．解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m＝﹣[x2﹣（m﹣1）x]﹣m＝﹣（x﹣）2﹣m+，
∴该抛物线顶点坐标是（，），
∴将其沿y轴向上平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，+3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵+3＝+1＞0，
∴点（，+3）在第一象限；
故选：A．
15．解：将抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）2+2，
故答案为：y＝（x+1）2+2．
16．解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，
得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．
故答案为：0．
（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，
∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，
∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，
∵﹣＜0，
∴n的最大值为2．
故答案为：2．
17．解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝1，
∴BD＝＝，
∴点B的坐标为（，1），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，
∴a（）2＝1，
解得a＝．
故答案为：．
18．解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为：4．
19．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故答案为：0或3．
20．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即 0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
21．解：y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2
令y＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝2（x﹣4）2﹣2（3≤x≤5），
当y＝﹣x+m1与C2相切时，
令y＝﹣x+m1＝y＝2（x﹣4）2﹣2，
即2x2﹣15x+30﹣m1＝0，
△＝8m1﹣15＝0，
解得m1＝，
当y＝﹣x+m2过点B时，
即0＝﹣3+m2，
m2＝3，
当y＝﹣x+m3过点A时，
即0＝﹣1+m3，
m2＝1，
当＜m＜3时直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为＜m＜3．
22．解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或
23．解：∵将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到y＝mx2+n﹣6，
∴m＝﹣1，n﹣6＝3，
∴n＝9，
∴原抛物线y＝﹣x2+9，
∴顶点P（0，9），
令y＝0，则0＝﹣x2+9，
解得x＝±3，
∴A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∴S△PAB＝AB•OP＝×6×9＝27．
24．解：（1）由题意得，
解得，
∴抛物线为y＝x2﹣x+，
∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，
∴平移后的抛物线为y＝x2﹣x，
将M（1，1）代入y＝kx得k＝1；
（2）过P作PQ∥y轴，交MN于Q，设Q（t，t），则P（t，t2﹣t+），
则PQ＝t﹣（t2﹣t+）＝﹣t2+2t﹣，
∴S＝PQ×（3﹣1）＝PQ＝﹣t2+2t﹣＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，△PMN的面积最大，此时P（2，），S△PMN＝．
25．解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
26．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，解得；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∵点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在抛物线的对称轴x＝1上，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1，则y＝﹣1+3＝2，
∴P（1，2），
设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，
∵新抛物线经过点P，
∴2＝﹣（1﹣h）2+4，
解得h1＝1+，h2＝1﹣，
∴新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）．
27．解：（1）①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．
∵x＝﹣＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．
（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3．
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时，＝2，解得m＝±2．
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．
故答案为：m≤﹣2或m＝2或．
28．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣；
联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，
∵抛物线C与直线l有交点，
∴△＝9﹣8a≥0，
∴a≤且a≠0；
（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，
∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，
∴x＝﹣1或x＝3，
①在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在对称轴直线x＝1右侧，y随x增大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；
综上所述：m＝﹣3或m＝3；
（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，
即a≤﹣2；
②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，
即a≥，
直线AB的解析式为y＝x﹣，
抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
△＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
同步练习题（附答案）
1．将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+5 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+5
2．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
3．已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
4．已知抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），R（t，n），若m﹣n＞1，则t的值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2
5．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．点A（﹣1，y1），B（m，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）上．若y1＞y2，则m的取值范围为（ ）
A．﹣1＜m＜1 B．m＞3或m＜﹣1 C．m＞3 D．﹣1＜m＜3
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
8．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象，过不同的六点A（﹣2，n）、B（5，n+1）、C（6，n﹣1）、D（0，y1）、E（，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3为的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3
9．若二次函数y＝ax2+2ax（a≠0）过P（1，4），则这个函数必过点（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣1，4） C．（0，3） D．（2，4）
10．已知点P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜4
11．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
12．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6
13．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
14．在平面坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m（m＞1）沿y轴向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 ．
16．设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
17．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为 ．
18．已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 ．
19．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 ．
21．抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
22．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
23．将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y＝﹣x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．
25．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．
27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是 ；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
参考答案
1．解：将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：A．
2．解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，
解得：m＜3且m≠2．
故选：D．
3．解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
4．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点P（1，m），Q（3，m﹣1），
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵﹣1＜1＜3，且m＞m﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴Q（3，m﹣1）关于对称轴的对称点是（﹣5，m﹣1），
∵m﹣n＞1，
∴m﹣1＞n，
∴t＞3或t＜﹣5，
故t的值可以是﹣6，
故选：A．
5．解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF•PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
6．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而a＞0，y1＞y2，
∴|m﹣1|＜1﹣（﹣1），解得﹣1＜m＜3，
∴m的范围为﹣1＜m＜3．
故选：D．
7．解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．
故选：A．
8．解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点A（﹣2，n）、B（5，n+1）、C（6，n﹣1）、
∴抛物线开口向下，A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为＜x＜2，
∴点E到对称轴的距离最小，点F到对称轴的距离最大，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
9．解：∵二次函数的图象过点P（1，4），对称轴为直线x＝﹣1，
∴点P关于对称轴的对称点为（﹣3，4），
∵点P关于对称轴的对称点必在这个函数的图象上，
∴这个函数图象必过点（﹣3，4），
故选：A．
10．解：∵2am+b＝0，
∴m＝﹣，
∴点M（m，y3）是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵点P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且y3≥y2＞y1，
∴m＞，
解得m＞1，
故选：B．
11．解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故选：C．
12．解：把点（4，c）代入y＝x2+bx+c得：
c＝42+4b+c，解得：b＝﹣4，
∵二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，
∴＝﹣6，即＝﹣6，
解得：c＝﹣2，
故选：B．
13．解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
14．解：∵y＝﹣x2+（m﹣1）x﹣m＝﹣[x2﹣（m﹣1）x]﹣m＝﹣（x﹣）2﹣m+，
∴该抛物线顶点坐标是（，），
∴将其沿y轴向上平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，+3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵+3＝+1＞0，
∴点（，+3）在第一象限；
故选：A．
15．解：将抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）2+2，
故答案为：y＝（x+1）2+2．
16．解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，
得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．
故答案为：0．
（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，
∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，
∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，
∵﹣＜0，
∴n的最大值为2．
故答案为：2．
17．解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝1，
∴BD＝＝，
∴点B的坐标为（，1），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，
∴a（）2＝1，
解得a＝．
故答案为：．
18．解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为：4．
19．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故答案为：0或3．
20．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即 0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
21．解：y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2
令y＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝2（x﹣4）2﹣2（3≤x≤5），
当y＝﹣x+m1与C2相切时，
令y＝﹣x+m1＝y＝2（x﹣4）2﹣2，
即2x2﹣15x+30﹣m1＝0，
△＝8m1﹣15＝0，
解得m1＝，
当y＝﹣x+m2过点B时，
即0＝﹣3+m2，
m2＝3，
当y＝﹣x+m3过点A时，
即0＝﹣1+m3，
m2＝1，
当＜m＜3时直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为＜m＜3．
22．解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或
23．解：∵将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到y＝mx2+n﹣6，
∴m＝﹣1，n﹣6＝3，
∴n＝9，
∴原抛物线y＝﹣x2+9，
∴顶点P（0，9），
令y＝0，则0＝﹣x2+9，
解得x＝±3，
∴A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∴S△PAB＝AB•OP＝×6×9＝27．
24．解：（1）由题意得，
解得，
∴抛物线为y＝x2﹣x+，
∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，
∴平移后的抛物线为y＝x2﹣x，
将M（1，1）代入y＝kx得k＝1；
（2）过P作PQ∥y轴，交MN于Q，设Q（t，t），则P（t，t2﹣t+），
则PQ＝t﹣（t2﹣t+）＝﹣t2+2t﹣，
∴S＝PQ×（3﹣1）＝PQ＝﹣t2+2t﹣＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，△PMN的面积最大，此时P（2，），S△PMN＝．
25．解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
26．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，解得；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∵点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在抛物线的对称轴x＝1上，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝1，则y＝﹣1+3＝2，
∴P（1，2），
设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，
∵新抛物线经过点P，
∴2＝﹣（1﹣h）2+4，
解得h1＝1+，h2＝1﹣，
∴新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）．
27．解：（1）①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．
∵x＝﹣＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．
（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3．
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时，＝2，解得m＝±2．
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．
故答案为：m≤﹣2或m＝2或．
28．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣；
联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，
∵抛物线C与直线l有交点，
∴△＝9﹣8a≥0，
∴a≤且a≠0；
（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，
∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，
∴x＝﹣1或x＝3，
①在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在对称轴直线x＝1右侧，y随x增大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；
综上所述：m＝﹣3或m＝3；
（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，
即a≤﹣2；
②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，
即a≥，
直线AB的解析式为y＝x﹣，
抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
△＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；
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