专题39不等式选讲知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

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专题39不等式选讲知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）一、知识点整合：1． 含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2． 含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3． 柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))a)(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))b)≥(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))aibi)2，当且仅当＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4． 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 1．已知.（1）当，时，解不等式；（2）若的最小值为2，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当，时，， 分类讨论即可得解；（2）由绝对值三角不等式可得，若的最小值为2，则，所以，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】（1）当，时， ，所以或或，解得：或，故解集为；（2）由，所以，若的最小值为2，则，所以，，所以的最小值为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了绝对值三角不等式以及基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题.2．已知函数．（1）求的解集；（2）若，求的最小值．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由题意可得，然后去绝对值解出不等式即可；（2）利用绝对值不等式的几何意义直接得结果．【详解】（1）因为，， 所以，即或，所以或， 所以不等式的解集为或．（2）因为，所以；因为，所以的最小值为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式的几何意义，正确的理解绝对值不等式的几何意义很关键，属基础题．3．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设实数，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）由绝对值不等式的解法，分类讨论当时，当时，当时， 的解集即可；（2）由不等式的性质可得，然后再运算即可得解.【详解】解：（1）当时，不等式等价于，即，当时，不等式等价于，即，当时，不等式等价于，即，综上可得不等式解集. （2）由实数，则，即，于是，  即，所以，.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了不等式的性质，属基础题.4．已知，，设函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为1，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.（2）利用绝对值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得结果.【详解】（1）由，所以由当时，则所以当时，则当时，则综上所述：（2）由当且仅当时取等号所以由，所以所以令根据柯西不等式，则当且仅当，即取等号由故，又则【点睛】本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.5．设函数（1）解不等式:;（2）若对一切实数均成立:求的取值范围.【答案】（1）;（2）【分析】（1）运用零点分段法对的取值进行分类,分别求出不等式的解集,从而求出不等式的解;（2）利用绝对值的性质,确定出的最小值,从而使问题得解.【详解】（1）因为,①当时,,解得,所以;②当时,,解得,所以;③当时,,解得,所以;综上所述, 的解为（2）若,对一切实数均成立,则,解得故所求的取值范围为【点睛】本题是一道关于绝对值不等式求解的题目,熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键.6．设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ），去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．（Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，，利用绝对值的几何意义转化求解即可．【详解】（Ⅰ），可转化为或或，解得或或无解，所以不等式的解集为． （Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，即，又，当时取等号．所以，解得或，所以实数的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法（或几何法）求解时注意图像的正确刻画．7．已知（1）解不等式；（2）作出函数的图象，若恒成立，求的取值范围.【答案】(1）(2)【分析】（1）对的范围分类，去绝对值，再解不等式组即可（2）分段作出函数的图象，结合图像求解．【详解】（1），不等式可化为：或或，解得：或或，综上：（2）作出的图像如下图：要使得恒成立，则，即：【点睛】（1）考查了绝对值不等式的解法—去绝对值，转化成一元一次不等式组求解即可．（2）考查了恒成立问题，还考查了转化思想，把问题转化成函数的最值问题解决即可．8．已知函数，.（1）若对于任意，都满足，求的值；（2）若存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出函数的对称轴，得到关于a的方程，即可得解；（2）等价于，设，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．【详解】（1）解：因为，，所以的图像关于直线对称又的图像关于直线对称，所以，所以，.（2）解：，使得等价于，使得.等价于..则 .所以，当时，，∴，所以，；当时，∴，所以，综上，.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．9．已知函数．（1）解不等式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）-f（2x+4）＜2的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出f（x）+f（x+3）的最小值，得出关于m的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式，即，等价于，或，或；解得或或，即或，原不等式的解集为，，；（2）由题知，的最小值为3，，解得，实数的取值范围为，．【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．10．已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）当时，利用零点分段法，将函数的绝对值去掉，变为分段函数的形式，再解不等式组，求得的范围.（2）利用零点分段法，将的绝对值去掉，变为分段函数的形式，由此求得函数的最小值.【详解】（1）时，，即，所以或或，解得或所以不等式的解集为.（2）时，，的最小值为.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法.主要的方法就是零点分段法，将函数转化为分段函数来解决，属于基础题.11．[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（1）解不等式；（2）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）． （2）．【解析】【分析】（1）利用零点分段法，去掉绝对值，将原不等式转化为段，分别解出的取值范围.（2）先求得的最小值，则只需大于这个最小值即可.【详解】（1）由题意化简，∵，∴或或．解得不等式的解集为． （2）依题意，求的最小值，的最小值为9，∴．【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查存在性问题的解法.解绝对值不等式的主要方法是采用零点分段法，去掉绝对值，这样就可以解出结果.存在性问题和恒成立问题是一个经常考查的知识点.本题存在性问题，只需要大于函数的最小值，就符合题意，而不是大于最大值.12．已知；（1）解不等式；（2）若，，求的最大值，并求此时实数的取值；【答案】(1) (2)4【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）分别求出|m﹣2|≤1，|n﹣1|≤1，根据绝对值不等式的性质求出代数式的最大值即可．【详解】（1）原不等式等价于|x﹣2|+1＞2|x﹣1|，故或或，解得：﹣1＜x＜，故不等式的解集是（﹣1，）；（2）由题意得：f（m）=|m﹣2|≤1，f（2n）=|2n﹣2|≤2，∴|n﹣1|≤1，∴|m﹣2n﹣1|=|（m﹣2）﹣2（n﹣1）﹣1|≤|m﹣2|+2|n﹣1|+1≤4，当且仅当时，|m﹣2n﹣1|取最大值4．【点睛】本题考查了解含绝对值不等式问题，利用绝对值不等式的性质进行分类讨论思想，转化为含绝对值的最值思想，是一道综合题．13．已知函数，不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）去掉绝对值，求出x的范围，根据不等式的解集，得到对应关系，求出a的值即可；
（2）根据绝对值的性质求出f（x）+f（x+5）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．详解：（1）由，得，∴，又的解集为．解得：；（2）．又对一切实数x恒成立， 点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值三角不等式的性质，是一道中档题．14．[选修4-5：不等式选讲]设函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）由题意，可将函数对自变量的范围通过分段，去绝对号，进行分段求解，然后汇总，从而得到不等式的解集；（2）由题意，利用绝对值三角不等式，对函数进行化简，由此易知，则问题转化为在上恒成立，构造函数，由此问题再进一步转化为，从而问题得于解决.试题解析：（1）当时，，，，∴解集为；（2）∵，，而 ，当时取等号，故，∴对恒成立，设，当或时，，∴，∴.15．设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，，求的值域.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意，可根据绝对值的几何意义，对不等式进行化简求解，从而问题可得解；（2）由题意，对函数进行分段讨论，再对各段求函数的值域，汇总各段函数的值域，从而问题可得解，在求解过程中，注意参数的范围对未知数分段的影响.试题解析：（1），∴其解集为（2）∵ 16．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为，可构造新函数，则问题再转化为，由（1）可得，即，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）（方法一）由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.（方法二）设，则，当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.