专题41不等式选讲知识点与大题16道专练（提升题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

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专题41不等式选讲知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）一、知识点整合：1． 含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．2． 含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3． 柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))a)(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))b)≥(eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))aibi)2，当且仅当＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立．4． 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 1．已知函数．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）若有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】（Ⅰ）或}；（Ⅱ）．【分析】（1）利用零点分段法，解不等式；（2）问题转化为与有两个交点，利用数形结合，求实数的取值范围.【详解】（I）， 或 或，解得：或  的解集是或（Ⅱ）问题转化为与有两个交点，由图易知：，，即．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）恒成立只需即可，利用单调性求出，进而可得结论.【详解】（1）若，则有或或，解得或或.因此不等式的解集为或；（2）恒成立只需即可，而在上递减，在上递增，所以，∴【点睛】方法点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．3．设函数，.（1）若，解不等式；（2）如果任意，都存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）题意说明的值域是值域的子集，求出两函数的值域，由集合关系可得参数范围．【详解】（1）当时，∵，当时，，∴当时，，∴所以的解集为（2）由任意，都存在，使得得：又因为所以所以或．【点睛】关键点点睛：本题考查解绝对值不等式，含绝对值函数的值域问题．解题的基本方法是分类讨论，根据绝对值的定义分类去绝对值符号，然后求解．当然有时也可根据绝对值的性质，绝对值的三角不等式变形求解．4．已知不等式的解集为（1）求，的值；        （2）若，，求的最小值.【答案】（1），；（2）4.【分析】(1)由绝对值的定义分段打开绝对值符号解出不等式，得出答案.
（2）由（1）可得，则，由均值不等式可得答案.【详解】（1）当时，由可得，解得，此时；当时，由可得，解得，此时；当时，由可得，解得，此时.综上所述，不等式的解集为，则，；（2）由（1）可得所以，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.5．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依题意可得，再利用零点分段法分类讨论，分别计算可得；（2）依题意可得对于恒成立，即在上恒成立，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）即，所以或或解得或或，即或，所以原不等式的解集为.（2）即.因为不等式的解集包含，所以对于恒成立.因为，所以，，所以等价于，即恒成立，所以在上恒成立，所以解得，即实数的取值范围为.【点睛】本题是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.6．设函数的最小值为.（1）求；（2）设，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用“零点讨论法”将绝对值函数表示为分段函数的形式，求分段函数的最值即可；（2）由（1）易构造出，利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）∵，∴时，，且时 ，，∴，∴；（2）由（1）知，∴，∵，∴，当且仅当取等号.【点睛】关键点点睛：得出，构造柯西不等式的形式.7．已知函数，.（1）解不等式：；（2）记的最小值为，若实数满足，试证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【分析】（1）先将化成分段函数的形式，然后根据，分别解不等式即可；（2）由（1）可知的最小值为，从而可得，再利用基本不等式证明即可【详解】（1）解： 因为，所以，或，或所以，或，或，所以，所以不等式的解集为（2）证明：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别求得、、三种情况下的解析式，则可求得不等式的解集；（2）不等式恒成立等价于，利用绝对值三角不等式，求得，代入不等式即可求得答案.【详解】（1）原不等式等价于或或，解得或或.∴不等式的解集为或.（2）不等式恒成立等价于，即.∵，当且仅当时，等号成立.∴，则，解得，∴实数的取值范围是.【点睛】解题的关键是分段讨论，去掉绝对值，再分别求解，灵活运用绝对值三角不等式，可大大简化计算，提高正确率，属中档题.9．已知.（1）画出函数的图象；（2）求不等式的解集.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）函数的图象如图所示；（2）将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，的图象与的图象的交点坐标为，从图象可求得不等式的解；【详解】解：（1）函数的图象如图所示； （2）将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，的图象与的图象的交点坐标为，由图象可知当且仅当时，的图象在的图象下方，不等式的解集为．【点睛】利用数形结合思想求解绝对值不等式，能使求解过程变得更直观，同时注意绝对值几何意义的应用.10．已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的图象与直线有且仅有1个公共点，求的值．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）将代入，按照零点分段法对分类去绝对值，求解后取并集得答案；（2）的图象与直线有且仅有1个公共点，转化为有1个零点，对m分类求最大值，令最大值为0求得m值.【详解】解：（1），当时，，解得，故；当时，，解得，故；当时，，解得．综上所述，不等式的解集为或；（2）令，问题转化为函数有1个零点．若，则，此时的最大值为（1），此时满足题设；若，则，此时的最大值为（1），令，得，满足题设；若，则，故不合题意，舍去．综上所述，或．【点睛】方法点睛：（1）利用“零点分段法”分类讨论解绝对值不等式；（2）将两函数图象的交点问题与函数零点问题之间的互化.11．已知函数.（1）若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.（2）证明：.【答案】（1）(-∞，4]；（2）证明见解析.【分析】（1）分和两种情况讨论的单调性，求出的最小值，即可得出实数a的取值范围；（2）利用绝对值不等式和基本不等式可得，又，即可得证.【详解】（1）当x≥1时，.当时，在区间[1，2)上单调递减，在区间上单调递增，此时f(x)min=f（2）=4；当时，在区间上单调递增，此时.综上，当x∈[1，+∞)时，f(x)min=4，所以a≤4，即a的取值范围为(-∞，4].（2）因为，当且仅当时，等号成立.又，当且仅当x=2或-2时，等号成立，所以，当且仅当x=2或-2时，等号成立.又，当且仅当x=1时取等号，所以.【点睛】本题考查分类讨论法解决含绝对值函数问题，考查绝对值不等式和基本不等式的应用，属于中档题.12．已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以不等式等价于或或，解得或.所以不等式的解集为或.（2）因为，所以，根据函数的单调性可知函数的最小值为，因为恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.13．已知.（1）解不等式f(x)<1；（2）若不等式对恒成立，求实数a的取值围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，然后分类讨论解f(x)<1即可；（2）将不等式对恒成立转化为，求出，然后解不等式即可．【详解】解：（1）由已知，当时，，解得，当，必有，综上所述：不等式f(x)<1的解集为；（2）若不等式对恒成立，则，又由（1）得，当时，，，解得,所以的取值范围是．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查学生分类讨论的思想及转化问题的能力，是一道中档题．14．已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由题意，令即有求解集即可；（2）由绝对值的几何含义知，则等价于，即可求的取值范围.【详解】（1）当时，，令，即求的解集，∴解之得：．（2）因为，由，即等价于，解得或．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，应用等价转化、绝对值的几何含义求解集、参数范围.15．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）转化条件为，根据零点分段法分类讨论即可得解；（2）由绝对值三角不等式可得，进而可得，即可得解.【详解】（1）不等式可化为，①当时，原不等式可化为，即恒成立，符合题意；②当时，原不等式可化为，即，所以；③当时，原不等式可化为，即，不合题意；综上所述，原不等式的解集为；（2）由题意得，∵，当且仅当，即时等号成立，∴，由题意得，解得，∴的取值范围是.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.16．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若，，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用零点分段法进行分类讨论求解；
（2）将代入，然后利用绝对值三角不等式证明.【详解】（1）解：由得，∴或或解得，故不等式的解集为．（2）证明：∵，∴，∴，又，∴．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，难度一般.解答时注意零点分段法的运用，注意绝对值三角不等式的运用.