专题24导数知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题24导数知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共19页。学案主要包含了导数的运算，利用单调性求参数的取值，函数的极值与其导数的关系，导数图象与原函数图象关系等内容，欢迎下载使用。

2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：；②求平均变化率：；
③取极限得导数：
（下面内容必记）
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代
三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，
即有。
2.V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
四．导数的几何意义：
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以
六、函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数
的符号 单调性
与x轴的交点且交点两侧异号 极值
的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度）
的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快）
减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）
1．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.
（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；
（2）若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；
（2）把条件转化为，分别求解的最小值可得实数a的范围.
【详解】
（1），
因为，所以，即函数为减函数，
因为，所以值域为.
（2）因为∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，
所以，
因为，所以，
所以，即.
2．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为
【分析】
（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；
（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.
【详解】
（1），
令，得，所以的减区间为.
（2）由（1），令，得或知：，为增函数，
，为减函数，，为增函数.
，，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.
3．（1）求导：
（2）求函数在处的导数.
【答案】（1）；（2）1；
【分析】
（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；
（2）求导后可得，再将代入即可得答案；
【详解】
（1）；
（2）；
【点睛】
本题考查导数的四则运算，属于基础题.
4．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+1
（1）若y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，求函数y＝f（x）在[﹣3，1]上的最大值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．
【答案】(1) f（x）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）．
【分析】
（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x＝﹣2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式，求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
【详解】
解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，
过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）
即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）
故，即，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，
故f′（﹣2）＝0，
∴﹣4a+b＝﹣12，则，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，
f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．
f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）
f（x）极大＝f（﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13,f（1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4
∴f（x）在[﹣3，1]上最大值为13．
（2）方法一：y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，
即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立．
①在x1时，即b≥6，g（x）最小值＝g（1）＝3﹣b+b＞0，∴b≥6，
②在x2时，即b≤﹣12，g（x）最小值＝g（﹣2）＝12+2b+b≥0，则b∈∅，
③在﹣21时，即﹣12＜b＜6，g（x）最小值0，
综合上述讨论可知，b取值范围是：[0，+∞）．
解法二：（1）y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b3（x﹣1）6（x≤1），
令m（x）＝3（x﹣1）3[﹣（x﹣1）+（）]≤﹣3（2）＝﹣6，（x≤1），
∴3（x﹣1）6最大值为0，∴（）max＝0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0，+∞）．
【点评】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
5．(本题满分16分)
已知函数,,(其中)，设.
（Ⅰ）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值
（Ⅱ）当时，若存在，使成立，试求k的范围.
【答案】（Ⅰ）；当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值；（Ⅱ）或.
【详解】
【分析】，可得
，进而将，进而利用导数法。可判断出是否具有极值。
（2）存在，使成立等价于的最大值大于0，
构造,利用导数法，分类讨论函数的最大值。
解：（Ⅰ）∵,
,
∴ …………………………………………… (3分)
∴
设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,
欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得…………………………… (6分)
综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值 …… (7分)
（Ⅱ）∵存在，使成立等价于的最大值大于0……(9分)
∵，∴,
∴得.
当时，得；
当时，得………………… (12分)
当时，不成立 ……………………………… (13分)
当时，得；
当时，得；
综上得：或…………………………………… (16分)
【点睛】本题考查了代数式的化简，函数的极值，导数在函数中应用。
6．函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数a的值；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值．
【分析】
（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.
【详解】
解：（1）函数的导数为，
在点处的切线斜率为，
，即，；
（2）由（1）得，，
令，得，令，得，
即的增区间为，减区间为．
在处取得极小值，无极大值．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．
7．已知函数，其中，已知在处取得极值.
（1）求的解析式；
（2）求在点处切线的方程.
【答案】（1）.（2）
【分析】
（1）由题得，解方程即得，检验即得解；
（2）利用导数求出切线的斜率，求出切点坐标即得切线方程.
【详解】
（1）
而在处取得极值，故，得，
经检验，当时，在处取得极值.
所以.
（2）由（1）得，
所以，切线的斜率，而，
所以切线的方程为.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查导数的几何意义求切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8．已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】
（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】
（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
9．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数的极值；(要列表).
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）极大值为，极小值为.
【分析】
（1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间；（2）根据导数的正负列表，从而判断极大极小值，代入求值即可.
【详解】
（1），，
设可得或.
①当时，或；
②当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为：.
（2）由（1）可得，当变化时，，的变化情况如下表：
当时，有极大值，并且极大值为
当时，有极小值，并且极小值为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题.
10．已知函数,
（1）计算函数的导数的表达式;
（2）求函数的值域.
【答案】（1）;（2）.
【分析】
（1）根据导数的运算法则求导即可;
（2）根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.
【详解】
解: （1）因为,
所以.
故函数的导数;
（2）,
,
函数在上是单调增函数,
所以,
所以;
故函数的值域为.
【点睛】
本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.
11．已知函数f（x）＝ax2ex﹣1（a≠0）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞0且x∈[1，+∞），若函数f（x）没有零点，求a的取值范围.
【答案】（1）当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）.
【分析】
（1）先求导f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），再分a＞0和a＜0进行讨论即可得解；
（2）根据（1）可知，当a＞0时， f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，则保证f（1）＞0即可得解.
【详解】
（1）f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），
令f'（x）＝0，则x＝0或x＝﹣2，
①若a＞0，
当x＜﹣2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
②若a＜0，
当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.
（2）当a＞0时，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
若函数没有零点，则f（1）＝ae﹣1＞0，解得，
故a的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.
12．已知函数．
（1）求函数在上的最大值和最小值．
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或
【分析】
（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果.
（2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果.
【详解】
（1），
，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，
而，，，
的最小值是，的最大值是；
（2），
设切点坐标为，
则切线方程为，
∵切线过点，
∴，
化简得，
∴或．
∴切线的方程：或．
【点睛】
本题考查利用导数求函数在区间的最值，以及过某点曲线的切线方程，理解曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.
13．函数在点处的切线为．
（1）若与直线平行，求实数的值；
（2）若与直线垂直，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由题得在处切线斜率，解方程得得解；（2）由题得，解方程得解.
【详解】
解：（1）由题意得：
∴在处切线斜率
∵切线与平行
∴，解得
（2）由（1）知，切线斜率，
∵切线与垂直
∴，
解得．
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14．已知函数与函数在处有公共的切线.
（1）求实数a，b的值；
（2）记，求的极值.
【答案】（1），．（2）极大值为；无极小值．
【分析】
（1）分别对，求导，然后根据题意可得，，即可求解a，b的值；
（2）根据（1）可知函数的解析式，然后求导，列出，的变化情况表，根据函数单调性即可求解.
【详解】
（1），，
由题意得，，
解得，.
（2），
，
，的变化情况如下表：
由表可知，的极大值为，无极小值.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及函数的极值，注意认真计算，规范书写，属基础题.
15．已知函数在处取得极值，且在点处的切线的斜率为2．
（1）求a、b的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】，
【解析】
解：（1）由题意得
由…………………………………………3分
（2）…………………………………7分
（3）由（1）得
设，则
当x变化时，、的变化情况如下表：
当时，，，
在上恰有两个不相等的实数根，
由……………………………………12分
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)=2x−alnx(a∈R,且a≠0)
(1) 判断函数f(x)的单调性;
(2) 是否存在实数a使得函数f(x)在区间[1,e2]上有最小值恰为a2? 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
【解析】
当a