专题23空间点、线、面的位置关系（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题23空间点、线、面的位置关系（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共20页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，冲关突破训练等内容，欢迎下载使用。
专题23  空间点、线、面的位置关系专题导航目录常考点01 平面的基本性质及应用【典例1】【考点总结与提高】【变式演练1】常考点02 空间线面位置关系的判断【典例2】【考点总结与提高】【变式演练2】常考点03 异面直线所成的角【典例3】【考点总结与提高】【变式演练3】【冲关突破训练】常考点归纳常考点01 平面的基本性质及应用【典例1】1．下列命题正确的是（      ）A．三点确定一个平面B．三条相交直线确定一个平面C．对于直线、、，若，，则D．对于直线、、，若，，则【答案】C【解析】对A，不在一条直线上的三点确定一个平面，故A错误；对B，如正方体一个顶点出发的三条棱所在直线确定三个平面，故B错误；对C，根据空间中平行线间的传递性可得若，，则，故C正确；对D，若，，则相交、平行或异面，故D错误.故选：C.2．在棱长为的正方体中，分别是和的中点，经过点的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为________.【答案】【解析】如图，连接并延长交延长线于，连接交于，连接并延长交延长线于，连接并延长交于，连接，则五边形为经过点的正方体的截面，因为为的中点，所以，因为∥，所以∽，所以，所以,因为∥，所以∽，所以，所以,所以，所以截面与的交线段长为，故答案为： 【考点总结与提高】（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.【变式演练1】1．在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】（A 【解析】选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B为公理2，选项C为公理1，选项D为公理3.所以选A. 2．如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______________．【答案】．【解析】在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则，，所以截面MIHGFE的周长为，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为．故答案为：．常考点02 空间线面位置关系的判断【典例2】1．（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则　　A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线【答案】B【解析】点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，平面，平面，是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，，，，故选．2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB＝AD，E，F分别为BB1，AB的中点，则（    ）A．AC1//平面DEF且A1C1⊥DFB．A1C1//平面DEF且A1C1与DF不垂直C．A1C1与平面DEF相交且A1C1⊥DFD．A1C1与平面DEF相交且A1C1与DF不垂直【答案】C【解析】延长DF、CB相交于点M，连接ME并延长，因为点E、F分别是BB1，AB的中点，所以，所以M、E、C1三点共线，所以AC1与平面DEF相交不平行，A1C1与平面DEF相交不平行，故A、B选项不正确；对于C、D：连接AC与FD相交于点O，因为AB＝AD，F是AB的中点，所以，又，所以，所以，，又，所以，所以，所以，又，所以，故C正确，D不正确，故选：C. 【考点总结与提高】(1)异面直线的判定方法：①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．【变式演练2】 1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（    ）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行【答案】A【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．故选：A．2．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）A．四点共面 B．平面平面C．直线与所成角的为 D．平面【答案】BC【解析】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC常考点03 异面直线所成的角【典例3】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D2．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 (　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，所以因为所以异面直线与所成角的余弦值为，故选C．【考点总结与提高】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下: ①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; ②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; ③计算:求该角的值,常利用解三角形; ④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角． (2)  求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． (3)  利用向量法求异面直线所成的角：设直线所成的角为，则，计算方法：； 【变式演练3】1．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 (　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑﹑﹑，并相互连接．由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，通过几何关系求得，，，利用余弦定理可求得异面直线和所成的夹角余弦值为．2．平面过正方体的顶点，平面CB1D1，平面，平面，则所成角的正弦值为 (　　)(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】如图所示：∵，∴若设平面平面，则又∵平面∥平面，结合平面平面∴，故    同理可得：故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．而（均为面对交线），因此，即．故选A．【冲关突破训练】1．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线A．平行      B．异面       C．相交      D．以上皆有可能【答案】D【解析】若，，，位置关系如下图所示：若，，则，可知两条直线可以平行，由图象知，与相交，可知两条直线可以相交，由图象知，与异面，可知两条直线可以异面，故选D.2．若直线l与平面α相交，则A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交【答案】A【解析】当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误；平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A．3．如图，四棱锥，，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是A．四点不共面 B．四点共面C．三点共线 D．三点共线【答案】D【解析】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点，故平面，故四点共面，所以A错；若点与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错；在平面内，显然三点共线，则三点不共线，故C错，D正确.故选D.4．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为A．  B．     C．  D．【答案】D【解析】连结，由题得，故是平行四边形，则，则或其补角为异面直线和所成的角，由，可得，，故有，解得，故选D．5．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为A．     B．     C．     D．【答案】A【解析】如图，连接EH，EF，FG，GH，因为EH是的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD.同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC.所以EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形.因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°，所以EF=EH.所以四边形EFGH为菱形，，所以四边形EFGH的面积是2××()2=a2.6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①与平行；             ②与是异面直线；③与成角；         ④与是异面直线.以上四个命题中，正确命题的个数是A．1      B．2      C．3      D．4【答案】B【解析】把平面展开图还原几何体如图：由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；与平行，故②错误；连接，则，或其补角为与所成的角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2．故选B．7．设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中是真命题的有（    ）【多选题】A． B． C． D．【答案】ACD【解析】对于命题：可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内；同理，与的交点也在平面内，所以，，即，命题为真命题；对于命题：若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故命题为假命题；对于命题：若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故命题为假命题；对于命题：若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，故命题为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故选：ACD.8．在正方体中，点为线段上的动点，点为线段中点，则下列四个选项中为真命题的是（    ）【多选题】 A．当为线段中点时，､､､四点共面B．直线平面C．三棱锥的体积为定值D．二面角的大小为定值.【答案】BCD【解析】对于A，和是异面直线，当为线段中点时，和异面，所以､､､四点不共面.故A错误.对于B，平面与平面重合，而平面，所以平面.故B正确.对于C，∵平面，，∴点到平面的距离即为点到平面的距离.则，而为定值，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值.故C正确；对于D，因为二面角的大小，即为平面与平面所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值.故D正确.故选：BCD.9．已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为　　．【答案】【解析】因为，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，连结，，则，，，到平面的距离为．10．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最小值为；④直线与所成角的最大值为．其中正确的是         ．(填写所有正确结论的编号)【答案】②③ 【解析】由题意, 是以为轴,为底面半径的圆锥的母线,由 ,又圆锥底面,在底面内可以过点,作 ,交底面圆 于点,如图所示,连结,则, ,连结,等腰中, ,当直线与成角时, ,故 ,又在 中, ,过点作,交圆于点,连结,由圆的对称性可知, 为等边三角形, ,即与成角,②正确,①错误． 由最小角定理可知③正确; 很明显,可以满足平面直线,直线 与 所成的最大角为,④错误． 正确的说法为②③． 11.如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.【解析】如图，连接.由题意得四棱柱中，，，∴四边形是平行四边形，，（或其补角）为和所成的角.∵异面直线和所成的角为，.∵四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，是等腰直角三角形，.∵底面四边形是菱形且，，，，.12．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.【解析】（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由长为，可知．，．（2）设过点的母线与下底面交于点，连接OB，BC，则，所以或其补角为直线与所成的角．由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得．因为平面，所以．在中，因为，，，所以，从而直线与所成的角的大小为．