专题02常用逻辑用语 （文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

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常考点归纳

常考点01 四种命题的关系及其真假的判断

【典例1】

1.命题“若，则”的逆否命题是(    )

A．若，则   B．若，则

C．若，则    D．若，则

2．【2021年高考北京卷15】已知函数．给出下列四个命题：

①时，有2个零点； ②，有1个零点；

③，有3个零点； ④，有3个零点．

其中所有正确命题的序号为________．

【答案】1.C       2.①②④   

【解析】1.因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若，则”的逆否命题是 “若，则”．故选C．

2.令，可转化为与的交点问题．

对于①，与的图象有两个交点，正确；

对于②，，使得与的图象相切，此时有1个交点，正确；

对于③，若，与的图象最多有2个交点，错误；

对于④，，使得与在上相切，此时，与的图象共有2个交点．当直线的斜率小于切线的斜率时，有3个交点，正确．

【考点总结与提高】

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)四种命题间的关系

(3)常见的否定词语

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．

【变式演练1】

1.设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是

A．逆命题与否命题均为真命题

B．逆命题为假命题，否命题为真命题

C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题

D．否命题为假命题，逆否命题为真命题

2.命题“若，则”的逆否命题是

A．若，则     B．若，则

C．若，则     D．若，则

【答案】1.A    2.C

【解析】1.设a、，原命题“若，则”是假命题（取a=−1，b=1可进行验证），

原命题的逆否命题是假命题；

原命题的逆命题：“若，则”是真命题，

原命题的否命题是真命题．故选A．

【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解答本题时，判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．

2.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故命题“若，则”的逆否命题是若，则 ，故选C．

【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

常考点02 充分条件与必要条件

【典例2】

1．【2021年高考全国甲卷理7】等比数列的公比为，前项和为．设甲：．乙：是递增数列，则

    A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

 C．甲是乙的充要条件

 D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件

2．【2021年高考浙江卷3】已知非零向量，则“”是“”的（     ）.

 A． 充分不必要条件  B． 必要不充分条件

 C． 充分必要条件  D． 既不充分也不必要条件

【答案】1.B    2.B

【解析】1.时，是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；是递增数列，可以推出，可以推出，甲是乙的必要条件．故选：B．

2.若，则不一定等于，故充分性不成立；若，则，必要性成立，故为必要不充分条件．故选B．

【考点总结与提高】

1．充分条件与必要条件的概念

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；

(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；

(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.

2．必记结论

(1)等价转化法判断充分条件、必要条件[来源:学#科#网]

①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；

②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；

③p是q的充要条件是的充要条件；

④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.

(2)集合判断法判断充分条件、必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则

①若，则p是q的充分条件；

②若，则p是q的必要条件；

③若，则p是q的充分不必要条件；

④若，则p是q的必要不充分条件；

⑤若，则p是q的充要条件；

⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.

【变式演练2】

1．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

2．已知空间中不过同一点的三条直线，则“在同一平面”是“两两相交”的（ ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】1.A   2.B

【解析】1.解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件，故选A．

2.解法一：由条件可知当在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线两两相交，如图，

三个不同的交点确定一个平面，则在同一平面，∴“”在同一平面是“两两相交”的必要不充分条件，故选B．

解法二：依题意是空间不过同一点的三条直线，

当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交．

当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，∴在同一平面．

综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件．故选B．

常考点03 简单的逻辑联结词

【典例3】

1. 【2021年高考全国乙卷理(文)3】已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是

  A.   B.     C.    D.

2．【2021年高考北京卷15】已知函数．给出下列四个命题：

①时，有2个零点； ②，有1个零点；

③，有3个零点； ④，有3个零点．

其中所有正确命题的序号为________．

【答案】1.A    2.①②④

1.由函数性质可知，和都是真命题.故选A.

2.令，可转化为与的交点问题．

对于①，与的图象有两个交点，正确；

对于②，，使得与的图象相切，此时有1个交点，正确；

对于③，若，与的图象最多有2个交点，错误；

对于④，，使得与在上相切，此时，与的图象共有2个交点．当直线的斜率小于切线的斜率时，有3个交点，正确．

【考点总结与提高】

1．常见的逻辑联结词：或、且、非

一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p且q”；

用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p或q”；

对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作，读作“非p”．

2．复合命题的真假判断

“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：

3．必记结论

含有逻辑联结词的命题的真假判断：

（1）中一假则假，全真才真．[来源:学科网ZXXK]

（2）中一真则真，全假才假．

（3）p与真假性相反．

注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.

【变式演练3】

1.已知命题：若实数满足，则互为相反数；命题：若，则.下列命题，，，中，真命题的个数是

A．1      B．2       C．3      D．4

2.设有下列四个命题：

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

：若直线平面，直线平面，则．

则下述命题中所有真命题的序号是                   ．

① ② ③ ④

【答案】1.B     2.①③④

【解析】1.由题意，知命题为真命题；

命题：当时，成立，所以，所以命题为真命题，

所以命题为真命题；为真命题；为假命题；为假命题，所以真命题的个数是2个，故选B.

2.对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理与的交点也在平面内，∴，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题．

综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故答案为：①③④．

常考点04 全（特）称命题真假判断

【典例4】

1.设命题：，，则为(    )

A．            B．

C．            D．

2.命题“”的否定是(    )

A．       B．

C．      D．

【答案】1.C    2.C

【解析】1.命题是一个特称命题，其否定是全称命题．故选C

2.把量词“”改为“”，把结论否定，故选C.

【考点总结与提高】

1．全称量词和存在量词

2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.

3．含有一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：

4.区分命题的否定与否命题

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p的否定是否定命题所作的判断.而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.

【变式演练4】

1.（2015新课标）设命题：，，则为

A．            B．

C．            D．

2.（2014新课标卷1，理9）9不等式组的解集记为.有下面四个命题：

：，：,

：，：.

其中真命题是

  .，    .，    .，   .，

【答案】1.C    2,C

【解析】1.命题是一个特称命题，其否定是全称命题．

2.作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移，由图可知，当直线：过时，，∴，∴命题、真命题，选C.

【冲关突破训练】

1.下面是关于复数=的四个命题：：||=2；：；：的共轭复数为；：的虚部为－1；其中真命题为

.,    .,     .,    .,

【答案】C.

【解析】∵==,∴||=，，的共轭复数为，虚部为－1，故，是真命题，故选C.

2.已知，均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

其中真命题是

A．      B．      C．      D．

【答案】A

【解析】由得， ，

。由得

．选A．

3.设z是复数, 则下列命题中的假命题是

A．若, 则z是实数        B．若, 则z是虚数

C．若z是虚数, 则        D．若z是纯虚数, 则

【答案】C

【解析】．

对选项A: ,所以为真．

对选项B: ,所以为真．

对选项C: ,所以为假．

对选项D: ,所以为真．所以选C．

4.命题“若，则”的逆否命题是

A．若，则   B．若，则

C．若，则    D．若，则

【答案】C

【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若，则”的逆否命题是 “若，则”．

5.下列命题中，真命题是

A．                 B．

C．的充要条件是    D．,是的充分条件

【答案】D

【解析】∵，故排除A；取x=2,则，故排除B；，取，则不能推出，故排除C；应选D．

6.已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是

A．       B．         C．        D．

【答案】B

【解析】，，所以，所以为真命题；若，则，若，则，所以，所以为假命题．所以为真命题．选B．

7.已知命题：若，则；命题：若，则．在命题①   ②  ③  ④中，真命题是

A．①③      B．①④      C．②③      D．②④

【答案】C

【解析】由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①为假命题，②为真命题，③为真命题，则为真命题，④为假命题，则为假命题，所以选C．

8.在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A．    B．     C．     D．

【答案】A

【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．

9．设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题：，则

A．：          B．：

C．：          D．：

【答案】C

【解析】由命题的否定易知选C．

10.命题“，”的否定是

A．，          B．，

C．，           D．，

【答案】D

【解析】存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，故为．

11．已知，则“存在，使得”是“”的 （   ）

A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件             

C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】∵，且周期为，∴当为偶数时，与终边相同，

∴一定成立，

当为奇数时，则，∴成立，充分条件成立．

反之，当时，与终边相同，或与终边关于轴对称，∴必要条件也成立，故选C．

12.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的

A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件

C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面 可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件．