专题18等比数列（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题18等比数列（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共13页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，变式演练4，冲关突破训练等内容，欢迎下载使用。
目录TOC \ "1-3" \h \z \u
\l "_Tc8746" 常考点01 等比数列中的基本运算 PAGEREF _Tc8746 \h 1
\l "_Tc10660" 【典例1】 PAGEREF _Tc10660 \h 1
\l "_Tc9669" 【考点总结与提高】 PAGEREF _Tc9669 \h 2
\l "_Tc21416" 【变式演练1】 PAGEREF _Tc21416 \h 2
\l "_Tc5468" 常考点02 等比数列基本性质的应用 PAGEREF _Tc5468 \h 3
\l "_Tc6045" 【典例2】 PAGEREF _Tc6045 \h 3
\l "_Tc32370" 【考点总结与提高】 PAGEREF _Tc32370 \h 3
\l "_Tc30234" 【变式演练2】 PAGEREF _Tc30234 \h 4
\l "_Tc27614" 常考点03 等比数列的通项公式及前n项和 PAGEREF _Tc27614 \h 4
\l "_Tc4299" 【典例3】 PAGEREF _Tc4299 \h 4
\l "_Tc31235" 【考点总结与提高】 PAGEREF _Tc31235 \h 5
\l "_Tc13902" 【变式演练3】 PAGEREF _Tc13902 \h 5
\l "_Tc22983" 常考点04 等差等比混合应用 PAGEREF _Tc22983 \h 6
\l "_Tc26048" 【典例4】 PAGEREF _Tc26048 \h 6
\l "_Tc8278" 【考点总结与提高】 PAGEREF _Tc8278 \h 7
\l "_Tc20479" 【变式演练4】 PAGEREF _Tc20479 \h 7
\l "_Tc29175" 【冲关突破训练】 PAGEREF _Tc29175 \h 8
常考点归纳
常考点01 等比数列中的基本运算
【典例1】
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
【答案】1.A 2.C
【解析】1.∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
2.设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【考点总结与提高】
（1）等比数列的基本运算方法：
①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．
②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．
（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：
①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．
②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．
③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.
【变式演练1】
1．已知等比数列满足,,则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等比数列满足，，则
A．B．C．D．
【答案】1.C 2.B
【解析】1.由题意可得,所以 ,故 ,选C.
2.
，选B.
\l "_Tc32377" 常考点02 等比数列基本性质的应用
【典例2】
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
2．已知为等比数列,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】1.D 2.D
【解析】1.设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
2.或.
由等比数列性质可知或
故选D.
【考点总结与提高】
等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.
注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.
【变式演练2】
1．已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（ ）
A．5B．10C．15D．20
2．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．
【答案】1.A 2.64
【解析】1.数列{an}是等比数列，所以，
所以，
又因为，所以，所以，故选：A.
2.设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
\l "_Tc32377" 常考点03 等比数列的通项公式及前n项和
【典例3】
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
2．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
Sn＝＝＝＝3－2an.
【考点总结与提高】
1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：
（1）通项法．设数列的通项公式来求解；
（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；
若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.
2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.
3．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．
（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．
【变式演练3】
1．数列{An}中，A1＝2，Am＋n＝AmAn.若Ak＋1＋Ak＋2＋…＋Ak＋10＝215－25，则k＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知是等比数列，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】1.C 2.D
【解析】1.令m＝1，则由Am＋n＝AmAn，得An＋1＝A1An，即＝A1＝2，所以数列{An}是首项为2，公比为2的等比数列，所以An＝2n，所以Ak＋1＋Ak＋2＋…＋Ak＋10＝Ak(A1＋A2＋…＋A10)＝2k×＝×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.故选：C
2.由题得.所以，
所以.
所以，所以数列是一个等比数列.
所以=.
故选：D
常考点04 等差等比混合应用
【典例4】
1.等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
2．已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】1.A 2.B
【解析】1.设等差数列的公差为，由、、成等比数列可得，
即，整理可得，又公差不为0，则，
故前项的和为.
故选：A
2.设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得：
A. ,故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确.
故选：B
【考点总结与提高】
等差、等比数列混合题型属于常规题型，解题思路基本相同∶按照其中一种数列的通项公式展开已知中的各项，再根据另一种数列的性质列出等式即可;至于使用哪一种数列的通项公式展开已知中的各项，要根据实际题意以及计算方便与否来决定。
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．

【变式演练4】
1．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A．B．C．D．58
【答案】1.C 2.A
【解析】1.由，，成等差数列，得：，
设的公比为，则，解得：或，
又单调递减， ，，解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
2.设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为，所以，，
因此，
故选：A.
【冲关突破训练】
1．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由S3 = a2 +10a1得，a2 +a3= a2 +10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5 = 9，所以= 9，解得，故选C.
2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
3．已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A．1B．2C．31D．
【答案】A
【解析】由得，①
又，得，②
由①②得，，.
故选：A.
4．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．5C．10D．15
【答案】B
【解析】
因为等比数列的各项均为正数，且，
所以.
故选：B.
5．已知等比数列的前n项积记为，若，则（ ）.
A．512B．256C．81D．16
【答案】A
【解析】
设等比数列的公比为，由，即，所以 ，
所以.
故选：A
6．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66B．65C．64D．63
【答案】B
【解析】
由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】.
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
8．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
【答案】-8
【解析】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
9．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
由题知，，
又，则，当且仅当时，等号成立.
即的最小值是
故答案为：
10．已知等比数列中，为其前项之和，，则______
【答案】260
【解析】根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，
则，即，解得.
故答案为：.
11．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）5或.
【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.
（1）∵，结合得，∴.
（2）∵，解得或3，
当时，，此时；
当时，，此时.
12．已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.
【解析】（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）可得，所以．