专题17等差数列（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题17  等差数列及其前n项和

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常考点归纳

常考点01 等差数列中基本量的求解

【典例1】

1．（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和．若，则的值是     ．

2．(2018北京)设是等差数列，且，，则的通项公式为___．

【答案】1.16   2.14

【解析】1.设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以．

2.解法一 设的公差为，首项为，则，

解得，所以．

解法二 ，所以．故，故．

【考点总结与提高】

1.定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示

2.等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

3.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．

【变式演练1】

1．记为等差数列的前项和，,．则 (　　)

A． B． C． D．

2．记为等差数列的前项和．若,,则的公差为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】1.B    2.C

【解析】1.∵为等差数列的前项和，，，

∴，把，代入得

∴，故选B．

2.设公差为,,,联立解得,故选C．

秒杀解析:因为,即,则,即,解得,故选C．

常考点02 等差数列基本性质的应用

【典例2】

1．设是等差数列的前项和，若，则（   ）

A．   B．   C．   D．

2．（2020上海7）已知等差数列的首项，且满足，则          ．

【答案】1.A   2.

【解析】1.，．故选A．

2.由条件可知，．

故答案为： ．

【考点总结与提高】

由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：

（1）通项公式的推广：，．

（2）若，则．

特别地，①若，则；

②若，则．

③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即

（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．

（4）数列是常数是公差为td的等差数列．

（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．

（6）若，则．

【变式演练2】

1．在等差数列中，已知，则该数列前11项和（  ）

A．58      B．88        C．143      D．176

2.已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____

【答案】1.B    2.

【解析】1.，而，故选B．

2.所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有： ，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值：

常考点03 求解等差数列的通项及前n项和

【典例3】

1．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则　　

A． B． C． D．

2．设是数列的前项和，且，，则________．

【答案】1.A    2.

【解析】1.设等差数列的公差为，由，，得，，

，，故选．

2.由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

【考点总结与提高】

1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.

在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.

2．等差数列前n项和公式的应用方法：

根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.

3.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

【变式演练3】

1．等差数列的前项和为，，，则         ．

【答案】

【解析】设等差数列的首项为，公差为，

由题意有： ，解得 ，

数列的前n项和，

裂项有：，据此：

。

常考点04 等差数列中的最值问题

【典例4】

1．（2020北京8）在等差数列{}中，，，记，则数列{} （   ）

A．有最大项，有最小项              B．有最大项，无最小项             

C．无最大项，有最小项              D．无最大项，无最小项

2．（2017浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）

A． 充分不必要条件              B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件                D．既不充分也不必要条件

【答案】1.A   2.C

【解析】1.设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．

2.∵，当，可得；当，可得．所以“”是“” 充分必要条件，选C．

【考点总结与提高】

等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析

（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：

通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即。而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处。

（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值

（3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．

【变式演练4】

1．若等差数列满足，，则当__时，的前项和最大．

2．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________．

【答案】1.8   2.

【解析】 1.∵数列是等差数列，且，．又，∴．当=8时，其前项和最大．

2.由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．

常考点05 等差数列解答题

【典例5】

1．(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

(1)证明：数列是等差数列;

(2)求的通项公式．

2．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】1.（1）证明见解析；（2）．2.答案见解析

【解析】1.（1）由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，所以,

所以，所以,

由于所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,,

当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴．

2.选①②作条件证明③：

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，所以．

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列．

选②③作条件证明①：

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去．

综上可知为等差数列．

【考点总结与提高】

等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.

1.解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．

2．与等差数列各项的和有关的性质

利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：

设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，

（1）数列是等差数列，首项为，公差为．

（2）构成公差为的等差数列．

（3）若数列共有项，则，．

（4）若数列共有项，则，．

（5），．

【变式演练5】

1．（2019•新课标Ⅰ，文18）记为等差数列的前项和，已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的的取值范围．

2．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求；

【解析】1.（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，

若，则，变形可得，即，

若，则，则，

（2）若，则，当时，不等式成立，

当时，有，变形可得，

又由，即，则有，即，则有，

又由，则有，则有，

综合可得：，．

2.（Ⅰ）设{}的公差为，由题意，=，即，

∵，∴=0（舍去）或=-2，∴；

（Ⅱ）令=，由（Ⅰ）知，=，

∴{}是首项为25，公差为-6的等差数列，

∴===．

【冲关突破训练】

1．在等差数列中，若，则＝（  ）

A．－1         B．0             C．1             D．6

【答案】B

【解析】由等差数列的性质得，选B．

2．等差数列的前项和，若，则（  ）

A．8        B．10          C．12        D．14

【答案】C

【解析】 设等差数列的公差为，则，所以，解得，所以．

3.设为等差数列的前项和，，则（     ）

A.               B.             C.              D. 

【答案】A

【解析】 解法一：  

解法二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知，从而联想到可用表示，即，所以等式变为：，所以可得。

4.在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（     ）

A.                B.            C.           D.

【答案】B

【解析】由观察到的特点，所以考虑数列的性质，由等差数列前项和特征可得，从而可判定为等差数列，且可得公差，所以，所以，即答案：B

5．等差数列、的前项和分别为和，若，则

A．      B．      C．       D．

【答案】D

【解析】由题意得：，，

又，即，

.

本题正确选项为D.

6．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为

A．6      B．7        C．10      D．12

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，因为等差数列的前项和有最大值，所以，

又，所以，，且，

所以，

，

所以满足的最大正整数的值为10.

7．设等差数列的前n项和为，若，则 ________ ． 的最小值为_______．

【答案】0，-10

【解析】由题意得，，解得，所以．
因为是一个递增数列，且，所以的最小值为或，．

8．在等差数列中，若，则    ．

【答案】10

【解析】 由得，所以，故．

9.设等差数列的前项和为，且，，则_________

【答案】9

【解析】由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以

10．（2019年高考全国III卷理数）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．

【答案】4

【解析】设等差数列{an}的公差为d,因，所以，即，

所以．

11．记为等差数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求，并求的最小值．

【解析】（1）设的公差为，由题意得．

由得，所以的通项公式为．

（2）由（1）得．

所以当时，取得最小值，最小值为．

12．已知数列的前项和为,,,,其中为常数．

(1)证明:;

(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．

【解析】(1)由题设,,两式相减

,由于,所以．

(2)由题设,,可得,由(1)知

假设为等差数列,则成等差数列,∴,解得;

证明时,为等差数列:由知

数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列

令则,∴

数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列

令则,∴

∴(),

因此,存在存在,使得为等差数列．