专题19数列求和、数列的综合应用（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题19数列求和、数列的综合应用（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共17页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，冲关突破训练，名师点睛等内容，欢迎下载使用。
专题19  数列求和、数列的综合应用专题导航目录常考点01 数列求和【典例1】【考点总结与提高】【变式演练1】常考点02 数列中的不等关系【典例2】【考点总结与提高】【变式演练2】常考点03 数列中的探索性问题【典例3】【考点总结与提高】【变式演练3】【冲关突破训练】常考点归纳常考点01 数列求和【典例1】1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设前项和为，，，①，②①②得，，．2．为数列的前项和．已知(Ⅰ)求的通项公式：(Ⅱ)设,求数列的前项和【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，当时，==，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，所以数列{}前n项和为= =．【考点总结与提高】求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.常见的裂项方法有：（4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式.在运用错位相减法求和时需注意：①合理选取乘数（或乘式）；②对公比的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；④相消项中构成数列的项数.（5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.【变式演练1】1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立．那么时，也成立．则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即．2．等差数列的前项和为，，，则____________．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，数列的前n项和，裂项可得，所以．常考点02 数列中的不等关系【典例2】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，，①，②①②得 ，所以，所以，所以.2．已知数列满足=1，．(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；(Ⅱ)证明：【答案】略【解析】（Ⅰ）由，得，且所以是首相为，公比为的等比数列。因此，所以的通项公式为．（Ⅱ）由（1）知当时，，所以于是所以【考点总结与提高】1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．解决数列与函数综合问题的注意点：（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：（1）判断数列问题中的一些不等关系；（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．【变式演练2】1．记为等差数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值．【答案】解析：（1）设的公差为，由题意得．由得，所以的通项公式为．（2）由（1）得．所以当时，取得最小值，最小值为．2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解得，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：常考点03 数列中的探索性问题【典例3】1.已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列的通项公式（2）求出所有的正整数，使得 【答案】（1），（2）或 【解析】（1）设前6项的公差为，则 成等比数列， 解得： 时， ，则   时， （2）由（1）可得：则当时， 当时，当时，当时，当时，假设存在，使得则有即：         ，从而无解时，不存在这样的，使得综上所述：或 2.已知各项均为正数的数列满足：，且（1）设，求数列的通项公式（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数。【答案】（1）  （2）9【解析】（1）是公比为2的等比数列，，（2）                              若为整数，因为  ，即        能被整除 所以可得时，能被整除的最小值是【考点总结与提高】对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．【变式演练3】1.已知数列满足，，且对任意，都有．（1）求，；（2）设)．①求数列的通项公式；②设数列的前项和为，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，令，，则，解得．令，，则，解得．（2）①以代替，得．则，即．所以数列是以为公差的等差数列．，．②因为，所以，则，，．因为，，成等比数列，所以，即．又，所以，则，解得．又，且，则，．所以存在正整数，，使得，，成等比数列．2.已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有： ，若，则：（1）求数列的通项公式（2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由【解析】（1）    ①           ②①②可得： 令，则 令，则 令，则 所以有：，解得： （2）假设存在某项及数列中的其他项，所以 两边同时除以可得：，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立所以不存在这样的项。【冲关突破训练】  1．已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，，成等比数列，则A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】，不妨令，，.故选B.2．（2018浙江）已知成等比数列，且．若，则A．   B．   C．     D．【答案】B【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此. 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，故选B.3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，，公和为5，则A．2      B．﹣2       C．3      D．﹣3【答案】C【解析】根据题意，等和数列{an}中，，公和为5，则，可得，又由an−1+an＝5，则，则3.故选C．4．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足， ，则A．4      B．5      C．9      D．16【答案】C【解析】由题意可得：，，则等比数列的公比，故.本题选择C选项.5．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．         B．     C．3      D．8．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A．6．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440      B．330       C．220      D．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.7．若等差数列和等比数列满足，，则=___________．8．在等比数列中，，，成等差数列，则_______.【答案】【解析】，，成等差数列，，即，解得：，.本题正确结果：.【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.求解时，根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.9．已知函数，且，则__________．【答案】【解析】当为奇数时，.当为偶数时，..所以.10．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．【答案】【解析】设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.11．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已知，得，而，所以．又因为，解得，所以．由，可得 ①．由，可得 ②，联立①②，解得，，由此可得．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得，即，所以数列的前项和为．12．设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得．从而．所以，由成等比数列得．解得．所以．（2）．我们用数学归纳法证明．（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即．那么，当时，．即当时不等式也成立．根据（i）和（ii），不等式对任意成立．