专题16数列的概念及其表示（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题16  数列的概念及其表示

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常考点归纳

常考点01 数列概念与由数列的前几项求通项公式

【典例1】

1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是              (　　)

A． B． C． D．

2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个 B．16个 C．14个 D．12个

【考点总结与提高】

1．数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．

2.与数列的新定义有关的问题的求解策略：

（1）通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

（2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

【变式演练1】

1．对任一实数列，定义，若，，则（    ）

A．1000 B．2000 C．2003 D．4006

2．（多选题）“，数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限，数列，表示把中每个都变为，，每个都变为，，所得到的新的，数列，例如，则．设是一个有限，数列，定义，、、、．则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．对任意有限，数列、中和的个数总相等

C．中的，数对的个数总与中的，数对的个数相等

D．若，则中，数对的个数为

常考点02 利用与的关系求通项公式

【典例2】

1.为数列的前项和，若，则=________.

2.已知数列的前项和，则=________.

【考点总结与提高】

1.题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。

2.已知求的一般步骤：

（1）先利用求出；

（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；

（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.

利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起．

【变式演练2】

1.已知数列的前n项和，，其中，则=__________.

2.数列满足，则 __________.   

常考点03 由递推关系求数列的通项公式

【典例3】

1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（2016•新课标Ⅲ，文17）已知各项都为正数的数列满足，．

（1）求，；

（2）求的通项公式．

【考点总结与提高】

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.

（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．

（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．

（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．

（4）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．

【变式演练3】

1．数列满足，则________．

2．数列满足，且（），则数列前10项的和为          ．

常考点04 数列的性质

【例4】

1．数列的通项公式，前项和为，则=___．

2.   若数列中的最大项是第项，则=____________．

【考点总结与提高】

数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.

1．数列的周期性

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

2．数列的单调性

（1）数列单调性的判断方法：

①作差法：数列是递增数列；

数列是递减数列；

数列是常数列．

②作商法：当时，数列是递增数列；

数列是递减数列；

数列是常数列．

当时，数列是递减数列；

数列是递增数列；

数列是常数列．

（2）数列单调性的应用：

①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．

②根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．

（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：

①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；

②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．

【变式演练4】

1．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（    ）

A．     B．1      C．2      D．3

2．已知数列{}满足

（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．

【冲关突破训练】

1．已知数列的前项和为，且，则的值为（    ）

A．7 B．13 C．28 D．36

2．已知数列满足，若，则=（    ）

A． B． C． D．

3．设数列中，（且），则（    ）

A． B． C．2 D．

4．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）

A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项

5．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．非充分非必要条件

6．已知数列满足：，则

A．16 B．25 C．28 D．33

7．记为数列的前项和，若，则_____．

8．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．

9．设是数列的前项和，且，，则________．

10．若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______．

11．已知数列满足，，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求的最小值.

12．已知数列满足，

．

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）设，证明是等比数列；

   （Ⅲ）设为的前项和，证明