专题14平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题14  平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算

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常考点归纳

常考点01 平面向量的概念及线性运算

【典例1】

1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在中,为边上的中线，为的中点，则(　　)

A．    B．    C．       D．

2.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【考点总结与提高】

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

【变式演练1】

1．设分别为的三边的中点，则（   ）

A．    B．      C．         D．

2.已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．

常考点02平面向量基本定理的应用

【典例2】

1．（2020江苏13）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是             ．

2．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为              (　　)

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

1.若A、B、C三点共线，且,则

2.中确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解

【变式演练2】

1．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则=         ．

2．在中，点，满足，，若，则       ；       ．

常考点03 平面向量共线的充要条件

【典例3】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则_________．

2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则         ．

【考点总结与提高】

(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

(4)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．

【变式演练3】

1．已知向量，若λ为实数，，则λ=______

2.已知向量，若 与共线，则k=____ .

【冲关突破训练】

1．如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么（    ）．

A．0 B． C．1 D．2

2．已知，为一组基底，与共线，则的值是（    ）

A．2 B．-3 C．-2 D．3

3．在中，，且，则的值为（    ）．

A．2 B． C．1 D．

4．已知向量，则x的值为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（    ）

A．   B．   C．   D．

6．设为所在平面内一点，，则（    ）

A． B．

C． D．

7．点为的重心，设，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

9．设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.

10．在平行四边形中，点为边的中点，，则________．

11．已知向量，，，则______．

12．已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.