2022年中考数学总复习第5讲《二次根式及其运算》讲解(含答案) 学案

第5讲　二次根式及其运算

1．二次根式的有关概念

2.二次根式的性质

3.二次根式的运算

1．(·湖州)4的算术平方根是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．±2             B．2            C．－2             D.

2．(·宁波)要使二次根式有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x≠3            B．x＞3        C．x≤3            D．x≥3

3．(·杭州)下列各式变形中，正确的是(　　)

A．x2·x3＝x6

B.＝|x|

C.÷x＝x－1

D．x2－x＋1＝＋

4．(·宁波)实数－8的立方根是____________________．

5．(·湖州)计算：2×(1－)＋.

【问题】下列各式已给出计算结果：

①－＝；　②＝－3；③×＝；　④÷＝4

(1)其中正确的是____________；

(2)对于错误的结果，请给出正确答案；

(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？

　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．

类型一　平方根、算术平方根、立方根

　(1)(·黄冈)9的平方根是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．±3                 B．±             C．3            D．－3

(2)(·黄冈)16的算术平方根是________．

(3)(·宁波)实数－27的立方根是________．

【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．

1．(1)(·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是(　　)

A．－＝－0.6               B.＝－13

C.＝±6                    D．－＝－3

(2)如果一个正数的两个平方根为a＋1和2a－7，则这个数为____________________．

类型二　二次根式的有关概念与性质

　(1)式子有意义的x的取值范围是________；

(2)(·邵阳模拟)将化成最简二次根式是________．

(3)计算：＝________.

【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．

2．(1)(·荆州)下列根式是最简二次根式的是(　　)

A.                 B.             C.               D.

(2)k、m、n为三个整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确(　　)

A．k＜m＝n                    B．m＝n＜k

C．m＜n＜k                    D．m＜k＜n

(3)(·金华)能够说明“＝x不成立”的x的值是____________________(写出一个即可)．

(4)若实数a、b满足＋＝0，则＝____________________.

(5)若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是____________________(只需填一个)．

类型三　二次根式的运算与求值

　(1)(·滨州)下列计算：(1)()2＝2，(2)＝2，(3)(－2)2＝12，(4)(＋)(－)＝－1，其中结果正确的个数为(　　)

A．1                   B．2              C．3              D．4

(2)计算：－3＋＝______；

(3)化简：(－)－－|－3|＝________.

【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

3．(1)下列计算正确的是(　　)

A．4－3＝1              B.＋＝

C．2＝                D．3＋2＝5

(2)算式(＋×)×之值为(　　)

A．2             B．12            C．12            D．18

4．(1)计算(－3)·(＋3)＝____________________；

(2)(·聊城)计算：·÷＝　　　　　　　　.

类型四　二次根式的大小比较

　已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确(　　)

A．丙＜乙＜甲                B．乙＜甲＜丙

C．甲＜乙＜丙                D．甲＝乙＝丙

【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．

5．(1)(·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在(　　)

A．段①              B．段②           C．段③          D．段④

(2)(·杭州)若k＜＜k＋1(k是整数)，则k＝(　　)

A．6                 B．7             C．8              D．9

(3)(·白银)估计与0.5的大小关系是：____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)

类型五　二次根式的综合型问题

　(1)已知实数x，y满足＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．

(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式，用上述方法产生的密码是________．

【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．

6．(1)矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是____________________，面积是____________________．

(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，…，那么第10个数据应是____________________．

(3)若y＝＋＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．

7．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：

(1)x2＋2xy＋y2；      　(2)x2－y2.

【探索规律题】

如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．

【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．

【二次根式的化简符号不明确】

下列各式中，正确的是(　　)

A.＝－3　     B．－＝－3      C.＝±3　  D.＝±3

参考答案

第5讲　二次根式及其运算

【考点概要】

1．a≥0　

2.       ≥0　a　－a　

3.最简二次根式　相同　　　乘除

【考题体验】

1．B　

2.       D　
3.       B　

4. －2　

5.原式＝2－2＋2＝2.

【知识引擎】

【解析】(1)③；　(2)①－＝，②＝3，④÷＝2；　(3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．

【例题精析】

例1　(1)A；(2)4；(3)－3　例2　(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－且x≠1.(2)3；(3)－1.　例3　(1)D；(2)原式＝2－＋＝，故答案为：；(3)(－)－－|－3|＝－3－2－(3－)＝－6.故答案为：－6.

例4　∵3＝<<＝4，　∴8＜5＋＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝＜＜＝5，∴7＜3＋＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝＜＜＝5，∴5＜1＋＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A.　例5　(1)由＋＝0得，x－4＝0，y－8＝0，即x＝4，y＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.(2)＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.

【变式拓展】

1．(1)D　(2)9　2.(1)C　(2)D　(3)－1　(4)1  (5)－2 

3.       (1)C　(2)D　

4.(1)－3　(2)12

5．(1)C　(2)D  (3)＞　

6.(1)6　4　(2)3   (3)±6　

7.(1)因为x＝＋1，y＝－1，所以x＋y＝2，x－y＝2.则(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2)2＝12.　(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4.

【热点题型】

【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是－－＝，P6的纵坐标为＋＝，故答案为：(，)．

【错误警示】

＝＝＝3，选项A错误；＝＝＝3，选项C错误；＝3，选项D错误．故选B.