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2022年中考数学总复习第6讲《一元一次方程与分式方程及其应用》讲解(含答案) 学案
展开这是一份2022年中考数学总复习第6讲《一元一次方程与分式方程及其应用》讲解(含答案) 学案,共9页。学案主要包含了解后感悟,探索规律题,方法与对策,考点概要,考题体验,知识引擎,例题精析,变式拓展等内容,欢迎下载使用。
第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用
1.一元一次方程及解法
考试内容 | 考试 要求 | |
等式的性质 | 性质1:等式两边加(或减)同一个数或同一个____________________,所得结果仍是等式; 性质2:等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是 . | a b |
方程的概念 | 含有未知数的 叫做方程. | |
方程的解 | 使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解. | |
一元一次方程的概念 | 只含有 个未知数,且未知数的最高次数是 的整式方程,叫做一元一次方程. | |
一元一次方程的解法 | 解一元一次方程的一般步骤:去分母、去_____________、移项、合并______________、系数化为1. | c |
2.分式方程及解法
考试内容 | 考试 要求 | |
分式方程的概念 | 分母里含有 的方程叫做分式方程. | a |
分式方程的解法 | 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为______________方程,具体步骤是:(1)去分母,在方程的两边都乘以____________________,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根,把整式方程的根代入最简公分母,如果 ,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. | c |
3.列方程解应用题的一般步骤
考试内容 |
| 考试 要求 |
列方程解应用题的一般步骤 | c | |
1.审 | 审清题意和数量关系,弄清题中的已知量和未知量,明确各数量之间的关系. | |
2.设 | 设未知数(可设直接或____________________未知数). | |
3.列 | 根据题意寻找 列方程. | |
4.解 | 解方程. | |
5.答 | 检验所求的未知数的值是否符合题意(分式方程既要检验求出来的解是否为原方程的根,又要检验是否符合题意),写出答案. |
考试内容 | 考试 要求 | |
基本 思想 | 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,即分式方程整式方程. | c |
基本 方法 | 1.分式方程无解有可能是两种情况:一是去分母后的整式方程无解;二是整式方程有解,但整式方程的解使最简公分母为0,分式方程也无解. | |
2.列方程的关键是寻找等量关系,寻找等量关系常用的方法有:①抓住不变量;②找关键词;③画线段图或列表格;④运用数学公式. |
1.(·杭州)已知甲煤场有煤518吨,乙煤场有煤106吨,为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍,需要从甲煤场运煤到乙煤场,设从甲煤场运煤x吨到乙煤场,则可列方程为( )
A.518=2(106+x) B.518-x=2×106
C.518-x=2(106+x) D.518+x=2(106-x)
2.(·宁波)分式方程=的解是____________________.
3.(·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务,已知乙比甲每天多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米?设甲每天铺设x米,根据题意可列出方程:____________________.
4.(·金华)解分式方程:=.
【问题】给出以下五个代数式:2x-4,x-2,x,,3.
(1)选取其中的几个代数式,组成一个一元一次方程和一个分式方程;
(2)解出(1)中所选的一元一次方程和分式方程.
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理一元一次方程和分式方程的概念,以及它们的解法.
类型一 等式性质和方程的解的含义
(1)(·杭州)设x,y,c是实数,( )
A.若x=y,则x+c=y-c
B.若x=y,则xc=yc
C.若x=y,则=
D.若=,则2x=3y
(2)已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2,则a=________.
(3)已知关于x的方程=2的解是负数,则n的取值范围为______________.
【解后感悟】(1)熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键;(2)本题利用方程的思想,通过方程的解来构造关于a的一元一次方程,求出a值;(3)本题是分式方程的解和解一元一次不等式,关键是得出n-2<0和n-2≠-,注意题目中的隐含条件2x+1≠0不要忽略.
1.(1)已知等式3a=2b+5,则下列等式中不一定成立的是( )
A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6
C.3ac=2bc+5 D.a=b+
(2)如果方程x+2=0与方程2x-a=0的解相同,那么a=____________________.
(3)(·成都)已知x=3是分式方程-=2的解,那么实数k的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
类型二 一元一次方程的解法
解方程:x-=2-.
【解后感悟】(1)去分母,方程两边同乘各分母的最小公倍数时,不要漏乘没有分母的项(尤其是常数项),若分子是多项式,则要把它看成一个整体加上括号;(2)去括号可用分配律,注意符号,勿漏乘.
2.解方程:(1)(·贺州)解方程:-=5;
(2)7x-=(x-1).
类型三 分式方程的解法
(·营口)若关于x的分式方程+=2有增根,则m的值是( )
A.m=-1 B.m=0 C.m=3 D.m=0或m=3
【解后感悟】此题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程:③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
(1)(·湖州)解方程:=+1;
(2)(·陕西模拟)解方程:=-2.
【解后感悟】解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
3.解分式方程:(1)=+3;
(2)-=1.
类型四 一元一次方程和分式方程的应用
(·宁波)宁波火车站北广场将于年底投入使用,计划在广场内种植A,B两种花木共6600棵,若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.
(1)A,B两种花木的数量分别是多少棵?
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木,每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵,应分别安排多少人种植A花木和B花木,才能确保同时完成各自的任务?
【解后感悟】此题主要考查了分式方程的应用,此题关键是正确理解题意,找到合适的等量关系,列出方程.注意不要忘记检验.
4.(·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”,购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元,已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等,求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元?
【探索规律题】
一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐,现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接.
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来,四周分别可坐多少人?
(2)若用餐的人数有90人,则这样的餐桌需要多少张?
【方法与对策】根据寻找的规律,每增加1张这样的餐桌可增加4人求解即可.这是探索规律题(图形的变化类),并利用方程思想来解决.它是中考热点题之一.
【解分式方程去分母时,漏乘整式项,忘记验根】
解分式方程:+1=.
参考答案
第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用
【考点概要】
1.整式 等式 等式 相等 一 1 括号 同类项 2.未知数 整式 最简公分母 不为0 3.间接 等量关系
【考题体验】
1.C 2.x=1 3.= 4.x=3
【知识引擎】
【解析】(1)答案不唯一,2x-4=3和=;(2)2x-4=3,解得x=3.5;=,解得x=2,代入方程x=2是方程的增根,舍去,所以,方程无解.
【例题精析】
例1 (1)B;(2)5;(3)解方程=2得x=n-2.∵关于x的方程=2的解是负数,∴n-2<0.解得:n<2.又∵原方程有意义的条件为:x≠-,∴n-2≠-,即n≠.∴n<2且n≠. 例2 6x-3(x-1)=12-2(x+2),6x-3x+3=12-2x-4,3x+3=8-2x,3x+2x=8-3,5x=5,∴x=1. 例3 方程两边都乘以(x-3)得,2-x-m=2(x-3),∵分式方程有增根,∴x-3=0,解得x=3,∴2-3-m=2(3-3),解得m=-1.故选A. 例4 (1)方程两边都乘以x-1得:2=1+x-1,解得:x=2,检验:∵当x=2时,x-1≠0,∴x=2是原方程的解,即原方程的解为x=2. (2)方程的两边同乘(x-3),得:2-x=-1-2(x-3),解得:x=3,检验:把x=3代入(x-3)=0,即x=3不是原分式方程的解.则原方程无解. 例5 (1)设B花木数量为x棵,则A花木数量是(2x-600)棵,由题意得:x+2x-600=6600,解得:x=2400,2x-600=4200,答:B花木数量为2400棵,则A花木数量是4200棵; (2)设安排a人种植A花木,由题意得:=,解得:a=14,经检验:a=14是原分式方程的解,26-a=26-14=12,答:安排14人种植A花木,12人种植B花木.
【变式拓展】
1.(1)C (2)-4 (3)D
- (1)x=30; (2)x=-.
3.(1)解得x=3,经检验x=3是增根,分式方程无解. (2)x=-3.
4.设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元.根据题意,得=.解得x=.经检验,x=是原方程的解,且符合题意,则科普类图书平均每本的价格为+5=元,答:文学类图书平均每本的价格为元,科普类图书平均每本的价格为元.
【热点题型】
【分析与解】(1)寻找规律:
1张这样的餐桌四周可坐6人,2张这样的餐桌拼接起来四周可坐6+4人,3张这样的餐桌拼接起来四周可坐6+4×2人,4张这样的餐桌拼接起来四周可坐6+4×3人,…n张这样的餐桌拼接起来四周可坐6+4(n-1)人.∴4张这样的餐桌拼接起来四周可坐18人,8张这样的餐桌拼接起来四周可坐34人.(2)∵n张这样的餐桌拼接起来四周可坐6+4(n-1)人,∴若用餐的人数有90人,则6+4(n-1)=90,解得n=22.∴若用餐的人数有90人,则这样的餐桌需要22张.
【错误警示】
原方程变形为+1=.方程两边同乘(x+1)(x-1),得x2-4x+(x+1)(x-1)=2x(x-1).整理得x2-4x+x2-1=2x2-2x,即2x=-1,x=-.检验:当x=-时,(x+1)(x-1)≠0,所以x=-是原方程的根.
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