2022年中考数学总复习第32讲《简单事件的概率及其应用》讲解(含答案) 学案

第32讲　简单事件的概率及其应用

1．事件的分类

2.概率的意义与计算

1．(·宁波)一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为(　　)

A.                   B.                C.               D.

2．(·舟山)红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是(　　)

游戏规则：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则两人平局．

A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为

B．红红胜或娜娜胜的概率相等

C．两人出相同手势的概率为

D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样

3．(·金华)某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是(　　)

A.                   B.                C.                  D.

【问题】小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1，2，3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．

(1)请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；

(2)若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜；两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜．这个游戏公平吗？为什么？

(3)通过(1)、(2)解答，①你认为求概率有哪几种方法，应注意哪些问题？

②利用概率设计游戏方案应注意哪些问题？

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理用列举法求概率；用树状图(表)求概率；用频率估计概率；

用树状图或列表的方法来求事件的概率时：

①要认真弄清题意，分清是“一步实验”还是“两步或两步以上实验”；

②要在所有等可能的结果中，仔细筛选出符合题意的结果个数，代入“P(A)＝”中求出概率，谨防出错．

类型一　判断事件的类型

　事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C)，则P(A)、P(B)、P(C)的大小关系正确的是(　　)

A．P(C)＜P(A)＝P(B)　　         B．P(C)＜P(A)＜P(B)

C．P(C)＜P(B)＜P(A)　　         D．P(A)＜P(B)＜P(C)

【解后感悟】判断简单基本事件的概率，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，不确定事件的概率值在0与1之间．

1．某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是(　　)

A．购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格

B．购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格

C．购买20个该品牌的电插座，一定都合格

D．即使购买1个该品牌的电插座，也可能不合格

2．(·广西)小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为____________________事件(填“必然”或“不可能”或“随机”)．

类型二　计算简单事件的概率

　在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．

【解后感悟】当一次试验涉及多个因素(对象)时，常用“列表法”或“树状图法”求出事件发生的等可能性，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．

简单事件的概率的求法一般有列表法、画树状图法和列举法；通过画树状图或列表的方法可以将复杂的问题化繁为简，化难为易，这种方法能把所有可能的结果一一列举出来，从而能较简便地求出事件发生的概率．

3．(1)(·湖州)一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是(　　)

A.                     B.                C.              D.

(2)(·内江)某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为(　　)

A.                    B.               C.              D.

(3)(·牡丹江)学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是(　　)

A.                     B.                C.              D.

4．(·南昌)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．

(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：

(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值．

类型三　用频率估计概率

　(·兰州)一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球　　　　　　　　个．

【解后感悟】利用频率估计概率，一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的概率稳定于某个常数p，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记做P(A)＝p(0≤P(A)≤1)．

5．(·上虞模拟)某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是(　　)

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

类型四　与概率有关的一些数学问题

　(·黄岗模拟)小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是(　　)

A.                     B.                C.                D.

【解后感悟】此题运用了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．

6．(1)(·泰安)如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是(　　)

A.                      B.              C.              D.

(2)(·武汉模拟)如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是(　　)

A.                    B.               C.             D.

7．(1)(·烟台)如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为____________________．

(2)(·郴州)在m2□6m□9的“□”中任意填上“＋”或“－”号，所得的代数式为完全平方式的概率为____________________．

类型五　概率的实际应用

　(·资阳)学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类(A：特别好，B：好，C：一般，D：较差)后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图(如图)．请根据统计图解答下列问题：

(1)本次调查中，王老师一共调查了________名学生；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．

【解后感悟】此题运用了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，概率＝所求情况数与总情况数之比．

　(·宜昌)某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放(发放的食品价格一样)，食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．

(1)按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是　　　　　　　　事件；(可能，必然，不可能)

(2)请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．

【解后感悟】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．

8．(·扬州)“扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A.“半程马拉松”、B.“10公里”、C.“迷你马拉松”．小明和小刚参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．

(1)小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为　　　　　　　　　；

(2)求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．

【实际应用题】

一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．

(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；

(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？

【方法与对策】此题主要是概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝；该题亮点在于概率应用于不等量关系之中，即概率与一元一次不等式结合，概率还可以和方程、几何结合．这类题型是中考命题的方向．

【不画树状图产生的错误．】

掷两枚硬币，规定落地后，国徽朝上为“正”，国徽朝下为“反”，则会出现以下三种情况：“正正”、“反反”、“正反”，分别求出每种情况的概率．

参考答案

第32讲　简单事件的概率及其应用

【考点概要】

1．必然事件　不可能事件　可能发生也可能不发生　2.概率　

【考题体验】

1．C　2.A　3.D

【知识引擎】

【解析】(1)列表如下：

或画树状图如下：

(2)可能出现的数字之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6共9种可能，它们出现的可能性相同．其中奇数共4个，偶数共5个．∴P(小昆获胜)＝，P(小明获胜)＝.∵≠，∴游戏不公平．　(3)①列举法求概率；用树状图(表)求概率；利用频率估计概率．注意列表和画树状图的目的都是不重不漏地列举所有可能性相等的结果；利用频率估计概率应在大量重复实验中去估计．  ②游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．

【例题精析】

例1　事件A：打开电视，它正在播广告，是不确定性事件，其概率0<P(A)<1；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7，是必然事件，其概率P(B)＝1；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，是不可能事件，其概率P(C)＝0.于是有P(C)<P(A)<P(B)．故选B.　

例2　　

例3　∵摸到黄球的频率稳定在30%，∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%＝0.3，而袋中黄球只有6个，∴推算出袋中小球大约有6÷0.3＝20(个)，故答案为：20.　

例4　根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形，根据平行线的性质可得S1＝S2，则阴影部分的面积占，故飞镖落在阴影区域的概率为：；故选：C.

例5　(1)20　(2)如图 

(3)列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2

共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：＝.　

例6　(1)“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；　(2)树状图法：

即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为＝.

【变式拓展】

1．D　2.随机　3.(1)D　(2)A　(3)C　

4.       (1)当袋子中全为黑球，即取出4个红球时，摸到黑球是必然事件；当取出2个或3个红球时，摸到黑球为随机事件，故答案为：4；2，3.　(2)根据题意得：＝，解得：m＝2，所以m的值为2.　
5.       D　6.(1)C　(2)D　7.(1)  (2)　

8.(1)　(2)设三种赛事分别为1，2，3，列表得：

等可能的情况共9种：(1，1)；(1，2)；(1，3)；(2，1)；(2，2)；(2，3)；(3，1)；(3，2)；(3，3)，小明和小刚被分配到不同项目组的情况有6种，所以P(小明和小刚被分配到不同项目组)＝＝.

【热点题型】

【分析与解】(1)根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出黄球的概率．∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，∴摸出一个球摸到黄球的概率为：＝.  (2)假设取出了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．由题意，得≥，解得：x≥，答：至少取出了9个黑球．

【错误警示】

画树状图如下：

因此共有四种情况，其中“正正”出现一次，概率为；

“正反”出现二次，概率为；

“反反”出现一次，概率为.