2022年中考数学总复习第2讲《整式及其运算》讲解(含答案)学案

第2讲　整式及其运算

1．整式的相关概念

2.整式的运算

1．(2017·衢州)下列计算正确的是(　　

　　A．2a＋b＝2ab         B．(－a)2＝a2          C．a6÷a2＝a3      D．a3·a2＝a6

2．(2017·台州)下列计算正确的是(　　)

A．(a＋2)(a－2)＝a2－2

B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2

C．(a＋b)2＝a2＋b2

D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

3．(2016·宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需____________________根火柴棒．

4．(2015·嘉兴)化简：a(2－a)＋(a＋1)(a－1)．

【问题】(1)计算：(a＋3)(a－3)＋a(3a－2)－(2a－1)2；

(2)完成(1)计算后回答：

①此计算过程中，用到了哪些乘法公式和法则；

②此计算过程中，要注意哪些问题．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理实数相关概念、运算法则，以及要注意的问题．

类型一　幂的运算

　计算：(1)(a2b)3＝________；

(2)(3a)2·a5＝________；

(3)x5÷x3＝________．

【解后感悟】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．

1．(2015·益阳)下列运算正确的是(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．x2·x3＝x6         B．(x3)2＝x5         C．(xy2)3＝x3y6        D．x6÷x3＝x2

2．若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为(　　)

A.                  B.              C．－3              D.

类型二　整式的加减运算

　(1)若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．

(2)已知(a－2)2＋|b＋1|＝0，则代数式2a2b－3ab2－(a2b－4ab2)＝________．

(3)若代数式5a－3b的值是－2，则代数式2(a－b)＋4(2a－b)＋3的值等于________．

【解后感悟】整式的加减，实质上就是，有括号的，先去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．

3．(1)化简：4a－(a－3b)＝____________________.

(2)已知a，b互为相反数，则(4a－3b)－(3a－4b)＝____________________.

(3)已知2x＋y＝－1，则代数式(2y＋y2－3)－(y2－4x)的值为____________________．

(4)(2015·巴中)若单项式2x2ya＋b与－xa－by4是同类项，则a＝____________________，

b ＝____________________.

类型三　整式的混合运算与求值

　(1)(2x)3·(－2y3)÷(－16xy2)＝________；

(2)已知x2－4x＋3＝0，则(x－1)2－2(1＋x)＝________；

(3)已知m＋n＝－3，mn＝5，则(2－m)(2－n)的值为________；

(4)长方形的长为acm，宽为bcm，若长增加了2cm，面积比原来增加了________cm2.

【解后感悟】(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．

4．(1)先化简，再求值：(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b)(2a－b)，其中a＝2，b＝1.

(2)化简：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？

类型四　乘法公式

　(1)已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝________；

(2)若a2＋b2＝2，a＋b＝3，则ab的值为________；

(3)已知a＝1，b＝－，则a(a－3b)＋(a＋b)2－a(a－b)＝________．

【解后感悟】对于整式乘法运算，能用乘法公式要充分运用公式；在应用时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．

5．(2016·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：____________________.

6．化简：(1)(2017·舟山)(m＋2)(m－2)－×3m；

(2)(2017·温州)(1＋a)(1－a)＋a(a－2)；

(3)(2015·益阳)(x＋1)2－x(x＋1)．

类型五　整式运算的应用及规律型问题

　(2016·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有　　　　　　　　个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．

【解后感悟】解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．

7．(1)(2017·衢州)如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是____________________．

(2)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1，2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是____________________(用a、b的代数式表示)．

【阅读理解题】

(2015·舟山)如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a＋b－1(a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克定理”．现用一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S＝40.

(1)这个格点多边形边界上的格点数b＝________(用含a的代数式表示)；

(2)设该格点多边形外的格点数为c，则c－a＝________．

【方法与对策】本题需要先通过阅读掌握新定义方法，再利用类似方法解决问题．关键是观察问题，分析问题，解决问题的能力．该题型是中考命题的一种方式．

【幂的运算的常见错误】

计算：(1)x3·x5；　(2)x4·x4；　       (3)(am＋1)2；

(4)(－2a2·b)2；　  (5)(m－n)6÷(n－m)3.

参考答案

第2讲　整式及其运算

【考点概要】

1．乘积　字母　数字　指数的　和　次数最高　多项式　相同　相同　同类　2.系数　不改变　改变　am＋n　amn　anbn　am－n　系数　指数　相加　ma＋mb＋mc　相加　ma＋mb＋na＋nb　指数　相加　a2－b2  a2±2ab＋b2

【考题体验】

1．B　2.D　3.50　4.2a－1.

【知识引擎】

【解析】(1)2a—10；(2)①完全平方公式、平方差公式，去括号、合并同类项等；②去括号时，要注意变号等．

【例题精析】

例1　(1)a6b3；(2)9a7；(3)x2　例2　(1)1；(2)－2；(3)－1.　例3　(1)x2y　(2)－4　(3)15　(4)2b

例4　(1)80；(2)；(3).

例5　由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2－1＝9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3－2＝13，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n－(n－1)＝4n＋1.故答案为：4n＋1.

【变式拓展】

1．C　2.A　3.(1)3a＋3b　(2)0　(3)－5　(4)3　1　4.(1)原式＝2a(2a－b)，将a＝2，b＝1代入得12.

(2)原式＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m相乘的数．(答案不唯一)　5.m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm

6．(1)－4；　(2)1－2a；　(3)x＋1.　7.(1)a＋6

(2)ab

【热点题型】

【分析与解】(1)∵S＝a＋b－1，且S＝40，∴a＋b－1＝40，整理得：b＝82－2a；　(2)∵a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数，总格点数为200，∴边界上的格点数与多边形内的格点数的和为b＋a＝82－2a＋a＝82－a，∴多边形外的格点数c＝200－(82－a)＝118＋a，∴c－a＝118＋a－a＝118.

【错误警示】

(1)x3·x5＝x3＋5＝x8；　(2)x4·x4＝x4＋4＝x8；

(3)(am＋1)2＝a(m＋1)×2＝a2m＋2；　(4)(－2a2b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；　(5)(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3.