2022年中考数学总复习第25讲《几何作图》讲解(含答案) 学案

第25讲　几何作图

尺规作图

1．(·衢州)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(　　)

A．①                 B．②              C．③              D．④

2．(·衢州)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(　　)

A．勾股定理

B．直径所对的圆周角是直角

C．勾股定理的逆定理

D．90°的圆周角所对的弦是直径

3．(·丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是(　　)

【问题】如图，已知线段a.　

(1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB＝a，BC＝a(要求保留作图痕迹，不必写出作法)；

(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4cm，求AC边上的高；

(3)通过(1)(2)的解答，请你联想几何作图有哪些知识？

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理基本作图，其中求作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形．求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．作图题的一般步骤：①分析、画草图；②写已知、求作；③作图；④结论；⑤证明(常不作要求)．注意：作图中一般要保留作图痕迹．

类型一　利用尺规作直线、角和三角形

　(·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.

(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：

①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；

②过点D作AC的垂线，垂足为点E；

(2)在(1)作出的图形中，若CB＝4，CA＝6，则DE＝　　　　　　　　.　　　　

【解后感悟】解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

要注意几点：(1)熟练掌握几种基本图形的作法．

(2)分析尺规基本作图问题的解决过程，写好作图的主要画法，并完成作图．

(3)尺规作图的关键在于：①先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么．②读清题意后，再运用几种基本作图方法，可以组合应用解决问题．

1．(1)(·上海模拟)如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是(　　)

A．同位角相等，两直线平行

B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角相等，两直线平行

D．同旁内角互补，两直线平行

(2)      (·嘉兴)数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是(　)

2．(·台湾)如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝58°.甲、乙两人想在△ABC外部取一点D，使得△ABC与△DCB全等，其作法如下：

(甲)1.作∠A的角平分线L.

2．以B为圆心，BC长为半径画弧，交L于D点，则D即为所求．

(乙)1.过B作平行AC的直线L.

2．过C作平行AB的直线M，交L于D点，则D即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？(　　)

A．两人皆正确                 B．两人皆错误

C．甲正确，乙错误             D．甲错误，乙正确

类型二　利用尺规作点

　如图，已知弧AB.求作：

(1)确定弧AB所在圆的圆心O；

(2)过点A且与⊙O相切的直线．(要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)

【解后感悟】本题是基本作图，以及线段垂直平分线的作法和性质等知识运用，认真分析揣摩所给的信息，结合题目要求思考是解题的关键．

3．(·深圳)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　　　　　　　)

4．A，B是平面上的两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点．请问：这样的点有几个？在图中作出符合条件的点(要求尺规作图，保留痕迹，不写作法)．

5．作图题(只保留作图痕迹，不写作法)

(1)如图1，作已知三角形的外接圆；(2)如图2，作已知三角形的内切圆；(3)如图3，作已知圆的内接六边形．

类型三　利用几何作图设计图形

　(·宁波)下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：

(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；

(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；

(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．

(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)

【解后感悟】掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．

　(·江西)如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．

(1)在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；

(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线．

【解后感悟】本题是作图－－应用设计，解题的关键是灵活应用正方形、长方形、等腰直角三角形的性质解决问题．

6．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处)．请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．

(1)图甲中的格点正方形ABCD；

(2)图乙中的平行四边形ABCD.

注：分割线画成实线．

类型四　利用几何作图的计算和判断

　如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A.

(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)．

【解后感悟】这类问题往往是根据几种基本作图法作出图形，再利用作好的图形解决问题，需要同学们能准确地作出图形，并能明确作图过程中所用的知识，这样才有利于我们解决以下的证明或计算问题．

7．(·邗江模拟)如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：

乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．

对于甲、乙两人的作法，可判断(　　　　　　　　)

A．甲正确，乙错误             B．甲错误，乙正确

C．甲、乙均正确               D．甲、乙均错误

8．(·南宁模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AE∥BC.

(1)作∠ADC的平分线DF，与AE交于点F；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，若AD＝2，求DF的长．

类型五　利用几何作图解决实际问题

　两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)

【解后感悟】本题借助实际场景，利用几何基本作图、线段垂直平分线和角平分线的性质运用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．

9．(·温州)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A(2，3)，B(4，4)，请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形．

(1)在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；

(2)在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．

【探索研究题】

如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

(1)在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

【方法与对策】本题属创新作图题，是中考热点题型之一，也是中考命题的方向．考查同学们对圆的性质的理解、读图能力，题(1)是要作点，题(2)是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．

【忽视求作要求】

已知三角形的两边和其中一边上的中线长，利用尺规，求作这个三角形．

已知：线段a，b为两边，m为边b的中线，求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b，且AM＝MC，BM＝m.

参考答案

第25讲　几何作图

【考题体验】

1．C　2.B　3.D

【知识引擎】

【解析】(1)画法略．如图1，△ABC是所求的三角形．  (2)如图2，∵AB＝a＝4，∴BC＝a＝2，∴AC＝＝2，∴AC边上的高BD＝＝.

(3)几何基本作图，作图的一般步骤，尺规作图和一般作图的区别．

【例题精析】

例1　(1)如图所示；　(2)∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，设DE＝CE＝x，则AE＝6－x，∴＝，解得：x＝，即DE＝，故答案为：.　

例2　(1)在上取点C，连结AC、BC，画AC、BC的中垂线，交于点O；　(2)连结OA，过点A画AT⊥OA.

例3　(1)如图1所示；  (2)如图2所示；  (3)如图3所示．

例4　(1)如图所示，∠ABC＝45°.(AB、AC是小长方形的对角线)．  (2)线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE的对角线的交点，点N是正方形ABDC的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．

例5　(1)如图所示：  (2)DE∥AC.∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，∵∠ACD＝∠A，∠ACD＋∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠BDE，∴DE∥AC.

例6　(1)作出线段AB的垂直平分线；(2)作出角的平分线(2条)；它们的交点即为所求作的点C(2个)．

【变式拓展】

1．(1)B　(2)A　2.D　3.D　

4.因为等腰直角三角形的直角顶点到另外两点距离相等，且∠C＝90°，故利用线段中垂线的性质和圆中直径所对的圆周角为直角作图．如图，故符合题意的点有2个．

5．略　

6.(1)如图1所示　(2)如图2所示．

7．C　

8.(1)如图所示：  (2)∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC即∠ADC＝90°，又∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝45°，又∵AE∥BC，∴∠DAF＝∠ADC＝90°，∴△ADF为等腰直角三角形，又∵AD＝2，∴DF＝2.　　

9.(1)设P(x，y)，由题意x＋y＝2，∴P(2，0)或(1，1)或(0，2)，其中(0，2)不合题意，舍去，△PAB如图所示．　(2)设P(x，y)，由题意x2＋42＝4(4＋y)，整数解为(2，1)或(0，0)等，△PAB如图所示．

【热点题型】

【分析与解】图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具(无刻度的直尺，只能作直线或连结线段)，说明必须用所给图形本身的性质来画图(这就是创新作图的魅力所在)，作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”．设AC与圆的交点为E，连结BE，就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D，连结AD，就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题(2)是题(1)的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题(1)的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．在图1中，点P即为所求；在图2中，CD即为所求．

【错误警示】①作线段BC＝a，MC＝b，BM＝m.②延长线段CM至A，使MA＝CM.③连结BA，则△ABC为所求作的三角形．