2022年中考数学总复习第13讲《一次函数及其图象》讲解(含答案) 学案

这是一份2022年中考数学总复习第13讲《一次函数及其图象》讲解(含答案) 学案，共14页。学案主要包含了解后感悟，阅读理解题，方法与对策，考点概要，考题体验，知识引擎，例题精析，变式拓展等内容，欢迎下载使用。

第13讲　一次函数及其图象



1．一次函数与正比例函数的概念
考试内容
考试
要求
一次函数
一般地，如果 (k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
b
正比例函数
特别地，当 时，y＝kx＋b变为 (k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的图象

考试内容
考试
要求
一次函数的图象
一次函数y＝kx＋b的图象是经过点(0，____________________)和(____________________，0)的一条____________________．
特别地，正比例函数y＝kx的图象是经过点(0， )和(1， )的一条 ．
b
直线y＝kx＋b与y＝kx之间的关系
直线y＝kx＋b可以看成是由直线y＝kx平移得到，b＞0，向 平移 个单位；b＜0，向 平移 个单位．
c
3.一次函数y＝kx＋b的性质
考试内容
考试
要求
k、b符号
图象形状
经过的象限
函数的性质
c
k>0，b>0

____________________
y随x的增大而
_________________．
k>0，b<0

____________________

k<0，b>0

____________________
y随x的增大而
_________________．
k<0，b<0

____________________

易错点
一次函数图象不经过第二象限是指图象经过第一、三、四象限或第一、三象限．
4.确定一次函数的解析式
考试内容
考试
要求
常用方法
待定系数法．
b
常见类型
①已知两点坐标确定解析式；②已知两对函数对应值确定解析式；③通过平移规律确定函数解析式．
5.一次函数与方程、不等式的关系
考试内容
考试
要求
一次函数与一次方程
一元一次方程kx＋b＝0的根就是一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象与 轴交点的 坐标．
c
一次函数与一元一次不等式
一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)(k≠0)的解集可以看作一次函数y＝kx＋b取 值(或 值)时自变量x的取值范围．
一次函数与方程组
两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2所组成的关于x、y的方程组 的解．
b
6.一次函数的实际应用
考试内容
考试
要求
建模思想
将实际问题转化为数学问题，即数学建模．要做到这种转化，首先要分清哪个量是自变量，哪个量是函数；其次建立函数与自变量之间的关系，要注意自变量的取值范围.
c
实际问题中一次函数的应用
在实际问题中，可以根据自变量的取值求函数，或者由函数求自变量的值．由于自变量的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值．

考试内容
考试
要求
基本
方法
1.待定系数法，是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的函数关系式(其中含有未知常数)，再根据条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法．
2．利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细分析图象中各点的含义，尤其是图象与图象或坐标轴的交点，要善于运用数形结合思想从图象中获取有用的信息．
c


1．(·温州)已知点(－1，y1)，(4，y2)在一次函数y＝3x－2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1
2． (·绍兴)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数，其图象如图所示．

(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？




(2)求当x＞18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
　　　　　　　　






【问题】如图，直线AB分别交x，y轴于点A，B.
(1)若点A(－1，0)，写出一条直线AB的解析式；
(2)若点A(－2，0)，B(0，1)，请你尽可能多的写出关于直线AB的信息．










【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一次函数概念以及图象与性质．

类型一　一次函数的图象和性质
　一次函数y＝2x＋6.
(1)图象经过第________象限；
(2)图象与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为________．
(3)当－1＜x≤1时，y的取值范围是________；
(4)当点A(－5，y1)和B(－2，y2)都在图象上，则y1与y2的关系是________；
(5)图象与两坐标轴围成的三角形面积是________．
【解后感悟】一次函数的图象与性质问题，数形结合思想是解题的关键．
　如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与x，y轴分别交于点N，C，与直线l2：y＝kx＋b(k≠0)交于点M，直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，

(1)若点M的横坐标为1，则△AMN的面积是________；
(2)若点M在第一象限，则k的取值范围是____________．
【解后感悟】两条直线的相交问题，利用数形结合和图象的运动来解决．

1．(1)(·海南模拟)一次函数y＝mx＋n与y＝mnx(mn≠0)，在同一平面直角坐标系的图象是(　　)

(2)(·南京模拟)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法正确的是____________________．
①点(0，k)在直线l上；②直线l经过定点(－1，0)；③当k＞0时，y随x的增大而增大；④直线l经过第一、二、三象限；⑤直线l经过第一、二、三象限，则k＞0.
类型二　一次函数的解析式
　
(1) 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是____________．

(2)一次函数y＝2x＋b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b＝________．
(3)已知一次函数图象交x轴于点(－2，0)，与y轴的交点到原点的距离为5，则该一次函数解析式为___________________________________________________________．
(4)在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是__________．
【解后感悟】待定系数法求一次函数解析式是本题的关键；注意数形结合、分类讨论思想运用．
　已知直线l：y＝2x－1
(1)将直线l向上平移5个单位长度后再向左平移3个单位后所得的直线解析式为____________；
(2)将直线l与直线m关于x轴对称，则直线m的解析式为____________；
(3)将直线l绕原点顺时针旋转90°得到直线n，则直线n的解析式为______________．
【解后感悟】(1)求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化；(2)根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点求解；(3)根据点(a，b)绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是(b，－a)，得到它们绕原点顺时针旋转90°以后对应点的坐标，然后根据待定系数法求解．

2．(1)(·温州模拟)根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为____________________.
x
－2
0
1
y
3
p
0
(2)(·南京市江宁区模拟)把一次函数y＝kx＋1的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位后所得直线正好经过点(5，3)，则该一次函数表达式为____________________．
(3)(·绍兴模拟)把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是____________________．
(4)(·苏州模拟)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．

①当t＝3时，求l的解析式；
②若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
③直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

　　　　　　　　



类型三　一次函数
与一次方程(组)及一元一次不等式(组)
　(1)已知一次函数y＝ax＋b中，x和y的部分对应值如表：
x
－2
－1
0
1.5
2
3
y
6
4
2
－1
－2
－4
那么方程ax＋b＝0的解是________；不等式ax＋b＞2的解集是________．
(2)如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是________．

【解后感悟】(1)此题主要理解一次函数与一元一次方程关系，关键是正确求出一次函数关系式；(2)从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝x＋b的值大于y＝kx＋6的值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝x＋b在直线y＝kx＋6上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解决此类问题一般方法为画出图象，仔细观察图象，根据图象写出方程(组)解、不等式解集．注意不等式解集交点(公共点)处函数值相等，所以解集要么在交点左侧要么在交点右侧．注意数形结合思想的运用．

3．(1)(·菏泽)如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是(　　)

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
(2)(·潍坊模拟)如图，已知函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P(4，－6)，则不等式ax＋b≤kx－3＜0的解集是____________________．

第(2)题图
(3) (·潍坊模拟)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式x>kx＋b>－2的解集为____________________．

第(3)题图
(4)(·武汉)已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4)．求这个一次函数的解析式，并求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．
　　　　　　


类型四　一次函数的应用
　(·南京)如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.
(1)当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为　　　　　　　　L/km、　　　　　　　　L/km.
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．
(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？








【解后感悟】正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握．

4．(·宁波模拟)某种汽车油箱加满油并开始行驶，油箱中的剩余油量y(升)与行驶的里程x(km)之间的关系为一次函数，如图：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)加满一箱油汽车可行驶多少千米？










【阅读理解题】
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．

(1)求函数y＝－x＋3的坐标三角形的三条边长；
(2)若函数y＝－x＋b(b为常数)的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．





【方法与对策】解本题的关键是理解坐标三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点进行求解；由于b的不确定性，导致图象的位置不同，解题就需要分类讨论：b＞0和b＜0两种情况．该题型是中考命题趋势．

【不能明确x、y取值范围的几何意义】
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y＞3时，x的取值范围是(　　)

A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2







参考答案
第13讲　一次函数及其图象
【考点概要】
1．y＝kx＋b　b＝0　y＝kx　2.b　－　直线　0　k 直线　上　b　下　|b|　3.一、二、三　一、三、四　增大　一、二、四　二、三、四　减小　5.x　横　正　负
【考题体验】
1．B　2.(1)由纵坐标看出，某月用水量为18立方米，则应交水费45元；(2)由81元＞45元，得用水量超过18立方米，设函数解析式为y＝kx＋b(x≥18)，∵直线经过点(18，45)，(28，75)，∴解得∴函数的解析式为y＝3x－9(x≥18)，当y＝81时，3x－9＝81，解得x＝30，答：这个月用水量为30立方米．
【知识引擎】
【解析】(1)不唯一．如y＝－x－1；　(2)解析式为y＝x＋1；y随x的增大而增大；图象经过一、二、三象限等．
【例题精析】
例1　(1)一、二、三　(2)(－3，0)，(0，6)　(3)4＜y≤8 (4)y1＜y2　(5)9　例2　(1)4；(2)0＜k＜2
例3　

(1)y＝5－x；(2)±4；(3)y＝x＋5或y＝－x－5；(4)在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝3，可得OA＝3OB，则一次函数y＝kx＋b中k＝±.∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点P(1，1)，∴当k＝时，求可得b＝；k＝－时，求可得b＝.即一次函数的解析式为y＝x＋或y＝－x＋.令y＝0，则x＝－2或4，∴点A的坐标是(－2，0)或(4，0)．故答案为：(－2，0)或(4，0)．　例4　(1)y＝2x＋10；(2)y＝－2x＋1；(3)y＝－x－.　例5　(1)由一次函数y＝ax＋b，∵x＝0时，y＝2，x＝2时，y＝－2，∴解得∴一次函数解析式为y＝－2x＋2，∴方程ax＋b＝0变为－2x＋2＝0，解得：x＝1.同理不等式ax＋b＞2的解集是x＜0.故答案为：x＝1；x＜0.　(2)当x＞3时，x＋b＞kx＋6，即不等式x＋b＞kx＋6的解集为x＞3.故答案为：x＞3.　例6　(1)设AB的解析式为：y＝kx＋b，把(30，0.15)和(60，0.12)代入y＝kx＋b中得：解得∴AB∶y＝－0.001x＋0.18，当x＝50时，y＝－0.001×50＋0.18＝0.13，由线段BC上一点坐标(90，0.12)得：0.12＋(100－90)×0.002＝0.14，故答案为：0.13，0.14；
(2)由(1)得：线段AB的解析式为：y＝－0.001x＋0.18；(3)设BC的解析式为：y＝kx＋b，把(90，0.12)和(100，0.14)代入y＝kx＋b中得：解得∴BC：y＝0.002x－0.06，根据题意得解得答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km.
【变式拓展】
1． (1)C　(2)①②③⑤　
2.(1)1　(2)y＝0.5x＋1　(3)m＞1　(4)①直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意，得b>0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4，∴y＝－x＋4.②当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝5，5＝1＋t，∴t＝4，当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8，8＝1＋t，∴t＝7，∴4 3．(1)D　(2)－4＜x≤4　(3)－1 4.(1)设油箱中的剩余油量y(升)与汽车行驶里程x(km)的解析式为y＝kx＋b，由于图象经过(50，56)(80，52)，∴解之得∴y与x之间的函数关系是y＝－x＋；(2)由题意，－x＋＝0，解得x＝470，即加满一箱油汽车可行驶470km.
【热点题型】
【分析与解】(1)∵直线y＝－x＋3与x轴的交点坐标为(4，0)，与y轴交点坐标为(0，3)，∴函数y＝－x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5.　(2)直线y＝－x＋b与x轴的交点坐标为(b，0)，与y轴交点坐标为(0，b)，当b>0时，b＋b＋b＝16，得b＝4，此时，坐标三角形面积为；当b<0时，－b－b－b＝16，得b＝－4，此时，坐标三角形面积为.综上，当函数y＝－x＋b的坐标三角形周长为16时，面积为.
【错误警示】
因为直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，3)，由函数的图象可知当y＞3时，x的取值范围是x＜0.故选A.