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江苏省徐州市鼓楼区树人中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】
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这是一份江苏省徐州市鼓楼区树人中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省徐州市鼓楼区树人中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+＝0 B．（3x﹣1）（3x+1）＝3
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D．2x﹣3y+1＝0
2．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是中心对称图形 B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）
5．如图，在半圆中，AB是直径，D是的中点，∠BAC＝40°，则∠DAB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．55°
6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
7．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
8．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x+2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为 ．
10．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率 ．
11．已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，这个三角形的周长为 ．
12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝ ．
13．点（x1，y1）与（x2，y2）在函数y＝﹣6x2的图象上，当x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为y1 y2．
14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为 cm（结果保留π）．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ °．
16．已知抛物线y＝2x2+1，当﹣1≤x≤5时，y的最小值是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
三、解答题（本大题共有7小题，76分。请将答案直接写答题卡相应的位置）
19．（20分）解方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2＝6﹣3x；
（3）（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
20．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
21．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，
（1）若∠AOD＝52°，求∠DOB的度数；
（2）若AB＝2，ED＝1，求CD的长．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）当BC＝4时，求劣弧AC的长．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts（0＜t＜6），试尝试探究下列问题：
（1）当t为 时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）求证：四边形PBQD面积为定值；
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形．写出探索过程．
25．【阅读理解】如图1，∠BOC为等边△ABC的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°），∠BOC的两边与三角形的边BC，AC分别交于点M，N．设等边△ABC的面积为S，通过证明可得△OBM≌△OCN，则S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝．
【类比探究】如图2，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），∠BOC的两边与正方形的边BC，CD分别交于点M，N．若正方形ABCD的面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，∠BOC为正六边形ABCDEF的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜60°），∠BOC的两边与正六边形的边BC，CD分别交于点M，N．若四边形OMCN面积为，请直接写出正六边形ABCDEF的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+＝0 B．（3x﹣1）（3x+1）＝3
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D．2x﹣3y+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
解：A、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、由已知方程得到9x2﹣4＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、由已知方程得到﹣5x+6＝0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
3．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是中心对称图形 B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）
【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，
是轴对称图形，不是中心对称图形，
对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，0）．
故选：D．
5．如图，在半圆中，AB是直径，D是的中点，∠BAC＝40°，则∠DAB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．55°
【分析】由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB的度数，继而求得∠B的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数，继而求得答案．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝130°，
∵D是的中点，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝＝25°，
∴∠DAB＝65°，
故选：B．
6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．
解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：A．
7．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．
D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．
故选：C．
8．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x+2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】根据一次函数解析式求出OB、OC，根据勾股定理求出BC，根据切线的性质得到PA⊥OA，根据勾股定理求出PA，根据垂线段最短、三角形的面积公式计算即可．
解：对于y＝x+2，
当y＝0时，x＝﹣2，
当x＝0时，y＝2，
∴OB＝2，OC＝2，
由勾股定理得：BC＝＝4，
∵PA与圆相切，
∴PA⊥OA，
∴PA＝＝，
当OP最小时，PA最小，
当OP⊥BC时，OP最小，
此时，OP＝＝，
∴PA的最小值为＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为 ﹣2 ．
【分析】设方程的另一个解为t，利用根与系数的关系得到0+t＝﹣2，然后即一次方程即可．
解：设方程的另一个解为t，
根据题意得0+t＝﹣2，
解得t＝﹣2，
即方程的另一个根为﹣2．
故答案为﹣2．
10．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率 20% ．
【分析】设该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为x，利用三月份的产量＝一月份的产量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率．
解：设该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为x，
依题意得：50（1+x）2＝72，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
11．已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，这个三角形的周长为 21 ．
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是4和6，由三角形的三边关系，腰长只能是6，然后求出周长．
解：（x﹣4）（x﹣6）＝0
∴x1＝4，x2＝6，
因为等腰三角形的底边长是9，
所以腰长只能是6，周长＝9+6+6＝21
故答案是：21．
12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝ 5 ．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n＝﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7＝0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
13．点（x1，y1）与（x2，y2）在函数y＝﹣6x2的图象上，当x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为y1 ＜ y2．
【分析】根据二次函数的增减性，x＞0，y随x的增大而减小解答．
解：∵a＝﹣6，对称轴为y轴，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为 12π cm（结果保留π）．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，所以根据扇形的面积公式计算即可，
解：该圆锥的侧面面积＝＝12π（cm2）．
故答案为12π．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ 130 °．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
16．已知抛物线y＝2x2+1，当﹣1≤x≤5时，y的最小值是 1 ．
【分析】根据二次函数解析式可以求出对称轴，顶点坐标，然后根据函数的性质求最小值．
解：∵y＝2x2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1），
∴当x＝0时，y有最小值1，
∴当﹣1≤x≤5时，y的最小值是1，
故答案为1．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 ．
【分析】首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长．
解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝，
故答案为．
18．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或4 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝＝4．
综上所述，BP的长为3或4．
三、解答题（本大题共有7小题，76分。请将答案直接写答题卡相应的位置）
19．（20分）解方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2＝6﹣3x；
（3）（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）因式分解法求解可得；
（3）整理后利用因式分解法求解可得；
（4）整理后利用配方法求解可得．
解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，
（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1；
（2）（x﹣2）2＝6﹣3x，
（x﹣2）2+3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2+3）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（3））（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0，
（x+1﹣3）2＝0，
∴x﹣2＝0，
解得：x1＝x2＝2；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x，
整理，得：2x2+4x＝5，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，即（x+1）2＝，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
20．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ﹣3 ；对称轴为 y轴 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 （﹣1，m） ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ﹣16＜y≤0 ．
【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点A对称点的坐标即可；
（3）当x＝﹣2时，y＝4，当x＝4时，y＝﹣16并结合函数图象求出y的取值范围．
解：（1）由y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：k＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2，
∴对称轴为y轴，
故答案为：﹣3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A的对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当x＝﹣2时，y＝﹣22＝﹣4，
当x＝4时，y＝﹣42＝﹣16，
∴当﹣2≤x＜4时，﹣16＜y≤0，
故答案为：﹣16＜y≤0．
21．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积之和为102m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，
依题意得：（20﹣3x）（8﹣2x）＝102，
整理得：3x2﹣32x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，
（1）若∠AOD＝52°，求∠DOB的度数；
（2）若AB＝2，ED＝1，求CD的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到弧AD＝弧BD，然后根据相等的弧所对的圆心角相等求解；
（2）在直角△AOE中利用勾股定理即可列方程求得半径，则CD即可求得．
解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DOB＝∠AOD＝52°；
（2）设半径是r，
在直角△AOE中，OE2+AE2＝OA2，
则（r﹣1）2+（）2＝r2，
解得r＝4，
则CD＝2r＝8．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）当BC＝4时，求劣弧AC的长．
【分析】（1）由AB为圆的直径，确定出所对的圆周角为直角，再由∠ABC度数求出∠BAC度数，进而求出∠BAE为直角，即可得证；
（2）连接OC，求出∠AOC度数，利用弧长公式求出弧AC的长即可．
解：（1）证明：∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC＝∠D＝60°；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）如图，连接OC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴劣弧AC的长为＝．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts（0＜t＜6），试尝试探究下列问题：
（1）当t为 2或4 时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）求证：四边形PBQD面积为定值；
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形．写出探索过程．
【分析】（1）根据题意表示出AP，BQ，再由AB﹣AP表示出PB，进而表示出三角形PBQ面积，根据已知面积求t的值即可；
（2）四边形PBOQ面积＝矩形ABCD面积﹣△APD面积﹣△CQD面积，化简得到结果为常数，即可得证；
（3）分三种情况考虑：当DP＝DQ；DP＝PQ；DQ＝PQ，利用勾股定理求出相应t的值即可．
解：（1）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，则有PB＝AB﹣AP＝6﹣t，
可得△PBQ的面积S＝PB•BQ＝（6﹣t）×2t＝8，
解得：t＝2或t＝4，
则当t＝2或t＝4时，△PBQ的面积等于8cm2；
故答案为：2或4；
（2）∵S四边形PBQD＝6×12﹣•t•12﹣（12﹣2t）•6＝36，
∴四边形PBQD的面积始终等于36，为定值；
（3）分三种情况考虑：
当DP＝DQ时，由题意得：122+t2＝62+（12﹣2t）2，
解得：t1＝8+2（舍去），t2＝8﹣2；
当DP＝PQ时，由题意得122+t2＝（6﹣t）2+（2t）2，
解得：t1＝（舍去），t2＝（舍去）；
当DQ＝PQ时，由题意得62+（12﹣2t）2＝（6﹣t）2+（2t）2，
解得：t1＝﹣6﹣18（舍去），t2＝6﹣18，
综上所述，当t为8﹣2或6﹣18时，△PDQ是等腰三角形．
25．【阅读理解】如图1，∠BOC为等边△ABC的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°），∠BOC的两边与三角形的边BC，AC分别交于点M，N．设等边△ABC的面积为S，通过证明可得△OBM≌△OCN，则S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝．
【类比探究】如图2，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），∠BOC的两边与正方形的边BC，CD分别交于点M，N．若正方形ABCD的面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，∠BOC为正六边形ABCDEF的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜60°），∠BOC的两边与正六边形的边BC，CD分别交于点M，N．若四边形OMCN面积为，请直接写出正六边形ABCDEF的面积．
【分析】【类比探究】证明△BOM≌△CON（ASA），可得S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S．
【拓展应用】证明△BOM≌△CON（ASA），可得S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S．
解：【类比探究】如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，O是中心，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠OCN＝45°，∠BOC＝90°，OB＝OC，
∵∠MON＝∠BOC＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S．
【拓展应用】如图3中，
∵四边形ABCDEF是正六边形，O是中心，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠OCN＝60°，∠BOC＝，60°，OB＝OC，
∵∠MON＝∠BOC＝60°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S正六边形ABCDEF＝，
∴S正六边形ABCDEF＝6
2021-2022学年江苏省徐州市鼓楼区树人中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+＝0 B．（3x﹣1）（3x+1）＝3
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D．2x﹣3y+1＝0
2．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是中心对称图形 B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）
5．如图，在半圆中，AB是直径，D是的中点，∠BAC＝40°，则∠DAB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．55°
6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
7．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
8．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x+2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为 ．
10．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率 ．
11．已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，这个三角形的周长为 ．
12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝ ．
13．点（x1，y1）与（x2，y2）在函数y＝﹣6x2的图象上，当x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为y1 y2．
14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为 cm（结果保留π）．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ °．
16．已知抛物线y＝2x2+1，当﹣1≤x≤5时，y的最小值是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
三、解答题（本大题共有7小题，76分。请将答案直接写答题卡相应的位置）
19．（20分）解方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2＝6﹣3x；
（3）（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
20．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
21．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，
（1）若∠AOD＝52°，求∠DOB的度数；
（2）若AB＝2，ED＝1，求CD的长．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）当BC＝4时，求劣弧AC的长．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts（0＜t＜6），试尝试探究下列问题：
（1）当t为 时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）求证：四边形PBQD面积为定值；
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形．写出探索过程．
25．【阅读理解】如图1，∠BOC为等边△ABC的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°），∠BOC的两边与三角形的边BC，AC分别交于点M，N．设等边△ABC的面积为S，通过证明可得△OBM≌△OCN，则S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝．
【类比探究】如图2，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），∠BOC的两边与正方形的边BC，CD分别交于点M，N．若正方形ABCD的面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，∠BOC为正六边形ABCDEF的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜60°），∠BOC的两边与正六边形的边BC，CD分别交于点M，N．若四边形OMCN面积为，请直接写出正六边形ABCDEF的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+＝0 B．（3x﹣1）（3x+1）＝3
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D．2x﹣3y+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
解：A、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、由已知方程得到9x2﹣4＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、由已知方程得到﹣5x+6＝0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
3．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是中心对称图形 B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）
【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，
是轴对称图形，不是中心对称图形，
对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，0）．
故选：D．
5．如图，在半圆中，AB是直径，D是的中点，∠BAC＝40°，则∠DAB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．55°
【分析】由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB的度数，继而求得∠B的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数，继而求得答案．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝130°，
∵D是的中点，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝＝25°，
∴∠DAB＝65°，
故选：B．
6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．
解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：A．
7．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．
D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．
故选：C．
8．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x+2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】根据一次函数解析式求出OB、OC，根据勾股定理求出BC，根据切线的性质得到PA⊥OA，根据勾股定理求出PA，根据垂线段最短、三角形的面积公式计算即可．
解：对于y＝x+2，
当y＝0时，x＝﹣2，
当x＝0时，y＝2，
∴OB＝2，OC＝2，
由勾股定理得：BC＝＝4，
∵PA与圆相切，
∴PA⊥OA，
∴PA＝＝，
当OP最小时，PA最小，
当OP⊥BC时，OP最小，
此时，OP＝＝，
∴PA的最小值为＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为 ﹣2 ．
【分析】设方程的另一个解为t，利用根与系数的关系得到0+t＝﹣2，然后即一次方程即可．
解：设方程的另一个解为t，
根据题意得0+t＝﹣2，
解得t＝﹣2，
即方程的另一个根为﹣2．
故答案为﹣2．
10．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率 20% ．
【分析】设该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为x，利用三月份的产量＝一月份的产量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率．
解：设该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为x，
依题意得：50（1+x）2＝72，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
11．已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，这个三角形的周长为 21 ．
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是4和6，由三角形的三边关系，腰长只能是6，然后求出周长．
解：（x﹣4）（x﹣6）＝0
∴x1＝4，x2＝6，
因为等腰三角形的底边长是9，
所以腰长只能是6，周长＝9+6+6＝21
故答案是：21．
12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝ 5 ．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n＝﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7＝0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
13．点（x1，y1）与（x2，y2）在函数y＝﹣6x2的图象上，当x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为y1 ＜ y2．
【分析】根据二次函数的增减性，x＞0，y随x的增大而减小解答．
解：∵a＝﹣6，对称轴为y轴，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为 12π cm（结果保留π）．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，所以根据扇形的面积公式计算即可，
解：该圆锥的侧面面积＝＝12π（cm2）．
故答案为12π．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ 130 °．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
16．已知抛物线y＝2x2+1，当﹣1≤x≤5时，y的最小值是 1 ．
【分析】根据二次函数解析式可以求出对称轴，顶点坐标，然后根据函数的性质求最小值．
解：∵y＝2x2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1），
∴当x＝0时，y有最小值1，
∴当﹣1≤x≤5时，y的最小值是1，
故答案为1．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 ．
【分析】首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长．
解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝，
故答案为．
18．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或4 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝＝4．
综上所述，BP的长为3或4．
三、解答题（本大题共有7小题，76分。请将答案直接写答题卡相应的位置）
19．（20分）解方程：
（1）2x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2＝6﹣3x；
（3）（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）因式分解法求解可得；
（3）整理后利用因式分解法求解可得；
（4）整理后利用配方法求解可得．
解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，
（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1；
（2）（x﹣2）2＝6﹣3x，
（x﹣2）2+3（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2+3）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（3））（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0，
（x+1﹣3）2＝0，
∴x﹣2＝0，
解得：x1＝x2＝2；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x，
整理，得：2x2+4x＝5，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，即（x+1）2＝，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
20．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ﹣3 ；对称轴为 y轴 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 （﹣1，m） ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ﹣16＜y≤0 ．
【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点A对称点的坐标即可；
（3）当x＝﹣2时，y＝4，当x＝4时，y＝﹣16并结合函数图象求出y的取值范围．
解：（1）由y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：k＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2，
∴对称轴为y轴，
故答案为：﹣3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A的对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当x＝﹣2时，y＝﹣22＝﹣4，
当x＝4时，y＝﹣42＝﹣16，
∴当﹣2≤x＜4时，﹣16＜y≤0，
故答案为：﹣16＜y≤0．
21．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积之和为102m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）m，宽为（8﹣2x）m的矩形，
依题意得：（20﹣3x）（8﹣2x）＝102，
整理得：3x2﹣32x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，
（1）若∠AOD＝52°，求∠DOB的度数；
（2）若AB＝2，ED＝1，求CD的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到弧AD＝弧BD，然后根据相等的弧所对的圆心角相等求解；
（2）在直角△AOE中利用勾股定理即可列方程求得半径，则CD即可求得．
解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DOB＝∠AOD＝52°；
（2）设半径是r，
在直角△AOE中，OE2+AE2＝OA2，
则（r﹣1）2+（）2＝r2，
解得r＝4，
则CD＝2r＝8．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）当BC＝4时，求劣弧AC的长．
【分析】（1）由AB为圆的直径，确定出所对的圆周角为直角，再由∠ABC度数求出∠BAC度数，进而求出∠BAE为直角，即可得证；
（2）连接OC，求出∠AOC度数，利用弧长公式求出弧AC的长即可．
解：（1）证明：∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC＝∠D＝60°；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）如图，连接OC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴劣弧AC的长为＝．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts（0＜t＜6），试尝试探究下列问题：
（1）当t为 2或4 时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）求证：四边形PBQD面积为定值；
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形．写出探索过程．
【分析】（1）根据题意表示出AP，BQ，再由AB﹣AP表示出PB，进而表示出三角形PBQ面积，根据已知面积求t的值即可；
（2）四边形PBOQ面积＝矩形ABCD面积﹣△APD面积﹣△CQD面积，化简得到结果为常数，即可得证；
（3）分三种情况考虑：当DP＝DQ；DP＝PQ；DQ＝PQ，利用勾股定理求出相应t的值即可．
解：（1）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，则有PB＝AB﹣AP＝6﹣t，
可得△PBQ的面积S＝PB•BQ＝（6﹣t）×2t＝8，
解得：t＝2或t＝4，
则当t＝2或t＝4时，△PBQ的面积等于8cm2；
故答案为：2或4；
（2）∵S四边形PBQD＝6×12﹣•t•12﹣（12﹣2t）•6＝36，
∴四边形PBQD的面积始终等于36，为定值；
（3）分三种情况考虑：
当DP＝DQ时，由题意得：122+t2＝62+（12﹣2t）2，
解得：t1＝8+2（舍去），t2＝8﹣2；
当DP＝PQ时，由题意得122+t2＝（6﹣t）2+（2t）2，
解得：t1＝（舍去），t2＝（舍去）；
当DQ＝PQ时，由题意得62+（12﹣2t）2＝（6﹣t）2+（2t）2，
解得：t1＝﹣6﹣18（舍去），t2＝6﹣18，
综上所述，当t为8﹣2或6﹣18时，△PDQ是等腰三角形．
25．【阅读理解】如图1，∠BOC为等边△ABC的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°），∠BOC的两边与三角形的边BC，AC分别交于点M，N．设等边△ABC的面积为S，通过证明可得△OBM≌△OCN，则S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝．
【类比探究】如图2，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），∠BOC的两边与正方形的边BC，CD分别交于点M，N．若正方形ABCD的面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，∠BOC为正六边形ABCDEF的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜60°），∠BOC的两边与正六边形的边BC，CD分别交于点M，N．若四边形OMCN面积为，请直接写出正六边形ABCDEF的面积．
【分析】【类比探究】证明△BOM≌△CON（ASA），可得S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S．
【拓展应用】证明△BOM≌△CON（ASA），可得S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S．
解：【类比探究】如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，O是中心，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠OCN＝45°，∠BOC＝90°，OB＝OC，
∵∠MON＝∠BOC＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S．
【拓展应用】如图3中，
∵四边形ABCDEF是正六边形，O是中心，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠OCN＝60°，∠BOC＝，60°，OB＝OC，
∵∠MON＝∠BOC＝60°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S四边形OMCN＝S△OMC+S△OCN＝S△OMC+S△OBM＝S△OBC＝S正六边形ABCDEF＝，
∴S正六边形ABCDEF＝6
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