2022年江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学中考数学三模试卷(含答案)

这是一份2022年江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学中考数学三模试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学2022年中考数学三模试卷(解析版)
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
2．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．我国高铁通车总里程居世界第一，到2020年末，高铁总里程达到37900千米，37900用科学记数法表示为（　　）
A．3.79×104 B．379×102 C．0.379×105 D．3.79×107
4．15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）

A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
7．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB＝8，AD＝4，则MN的长是（　　）

A． B．2 C． D．4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．16的算术平方根是 　 　．
10．正五边形每个内角的度数为 　 　．
11．若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．分解因式：3a2+12a+12＝　 　．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 　．

14．在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”）
15．扇形的半径为8cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 　 　cm．
16．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　 　．

18．如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多 　 　个．（由含n的代数式表示）


三、解答题（本大题共10小题，共86分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：（1）20220﹣（﹣）﹣1﹣|3﹣|；
（2）（1+）÷．
20．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．（7分）为了了解某校七年级体育测试成绩，随机抽取该校七年级一班所有学生的体育测试成绩作为样本，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）直接写出该样本的容量，并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数；
（3）若规定达到A、B等级为优秀，该校七年级共有学生850人，通过样本估计该校七年级参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？
22．（7分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣2、1、2，它们除了数字不同外，其它都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为　 　．
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线y＝kx+b不经过第四象限的概率．
23．（7分）2020年初，受疫情影响，医用防护服生产车间有7人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变．原来生产车间每天生产防护服800套，现在每天生产防护服650套，求原来生产车间的工人有多少人？
24．（7分）为了维护国家主权和海洋权利，我国海监部门对中国海域实现常态化管理．某日，我国海监船在某海岛附近的海域执行巡逻任务．如图，此时海监船位于海岛P的北偏东30°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的南偏东45°方向的B处，求海监船航行了多少海里（结果保留根号）？

25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．

26．（8分）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝19，tanA＝，求⊙O的直径．

27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．
（1）如图1，当AE＝　 　时，A′D∥BE；
（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．
（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：
①点M的坐标，说明理由；
②MN+BN的最小值 　 　；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．我国高铁通车总里程居世界第一，到2020年末，高铁总里程达到37900千米，37900用科学记数法表示为（　　）
A．3.79×104 B．379×102 C．0.379×105 D．3.79×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据37900用科学记数法可表示为3.79×104．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有15个人，且他们的成绩互不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
5．如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据左视图就是从物体的左边进行观察，得出左视图有1列，小正方形数目为2．
【解答】解：如图所示：
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三视图的画法中左视图画法，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）

A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
【分析】由DE都是中点，可得DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，则△ADE的面积和△ABC的面积比是1：4，则△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，结合已知条件，可得结论．
【解答】解：如图，
在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是9cm2，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，结合背景图形，找到已知和所求面积的关系是解题关键．
7．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度，
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB＝8，AD＝4，则MN的长是（　　）

A． B．2 C． D．4
【分析】由折叠的性质可得BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，可证四边形BMDN是菱形，在Rt△ADM中，利用勾股定理可求BM的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，连接BD，BN，

∵折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，
∴BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，
∵AB∥CD，
∴∠BMN＝∠DNM，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DN＝DM＝BM＝BN，
∴四边形BMDN是菱形，
∵AD2+AM2＝DM2，
∴16+AM2＝（8﹣AM）2，
∴AM＝3，
∴DM＝BM＝5，
∵AB＝8，AD＝4，
∴BD＝＝＝4，
∵S菱形BMDN＝×BD×MN＝BM×AD，
∴4×MN＝2×5×4，
∴MN＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形判定和性质，勾股定理，求出BM的长是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．16的算术平方根是 　4　．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
10．正五边形每个内角的度数为 　108°　．
【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；
方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．
【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，
540°÷5＝108°；

方法二：360°÷5＝72°，
180°﹣72°＝108°，
所以，正五边形每个内角的度数为108°．
故答案为：108°．
【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．
11．若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠3　．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵3﹣x≠0，
∴x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
12．分解因式：3a2+12a+12＝　3（a+2）2　．
【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝3（a2+4a+4）
＝3（a+2）2．
故答案为：3（a+2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　　．

【分析】由垂径定理得CE＝CD＝5，设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，再在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10，
∴CE＝CD＝5，∠OEC＝90°，
设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，
即52+（x﹣2）2＝x2，
解得：x＝，
即OC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理．熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14．在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而 　增大　．（填“增大”或“减小”）
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2+1，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是以对称轴为界是解题关键．
15．扇形的半径为8cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 　　cm．
【分析】应用弧长的计算公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）代入计算即可得出答案．
【解答】解：l＝＝＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式进行计算是解决本题的关键．
16．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　2　．
【分析】根据根与系数的关系求得x2＝1，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为　　．

【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据等面积法即可求得OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
18．如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多 　（2n+1）　个．（由含n的代数式表示）


【分析】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值．
【解答】解：根据题意有，
第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：1×3+1；
第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2×3+1；
第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+1；
……，
第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：n×3+1；
n×3+1﹣n＝3n﹣n+1＝2n+1，
∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多（2n+1）个．
故答案为：（2n+1）．
【点评】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
三、解答题（本大题共10小题，共86分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：（1）20220﹣（﹣）﹣1﹣|3﹣|；
（2）（1+）÷．
【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
（2）先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）20220﹣（﹣）﹣1﹣|3﹣|
＝1﹣（﹣2）﹣（3﹣2）
＝1+2﹣3+2
＝2；
（2）（1+）÷
＝
＝1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣3）＝x+5，
解得：x＝11，
检验：把x＝11代入得：（x+5）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝11；
（2）由①得：x＜﹣1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．（7分）为了了解某校七年级体育测试成绩，随机抽取该校七年级一班所有学生的体育测试成绩作为样本，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）直接写出该样本的容量，并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，求出等级C对应的圆心角的度数；
（3）若规定达到A、B等级为优秀，该校七年级共有学生850人，通过样本估计该校七年级参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？
【分析】（1）由A等的人数和比例，求出抽取的总人数，用总人数乘以D等级的人数所占的百分比求出D等级的人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以等级C所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以达到A、B等级为优秀所占的百分比即可．
【解答】解：（1）随机抽取的总人数有：15÷30%＝50（人），
即样本的容量是50；
D等级的人数有：50×10%＝5（人），
C等级的人数有：50﹣15﹣20﹣5＝10（人），补全统计图如下：


（2）等级C对应的圆心角的度数是360°×＝72°；

（3）估计达到A级和B级的学生数＝（A等人数+B等人数）÷50×850＝（15+20）÷50×850＝595（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（7分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣2、1、2，它们除了数字不同外，其它都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为　　．
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线y＝kx+b不经过第四象限的概率．
【分析】（1）三个小球上分别标有数字﹣2、1、2，随机地从布袋中摸出一个小球，据此可得摸出的球为标有数字1的小球的概率；
（2）先列表或画树状图，列出k、b的所有可能的值，进而得到直线y＝kx+b不经过第四象限的概率．
【解答】解：（1）三个小球上分别标有数字﹣2、1、2，随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率＝；
故答案为；
（2）列表：

共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为4，
所以直线y＝kx+b不经过第四象限的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（7分）2020年初，受疫情影响，医用防护服生产车间有7人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变．原来生产车间每天生产防护服800套，现在每天生产防护服650套，求原来生产车间的工人有多少人？
【分析】设原来生产车间的工人有x人，根据“每人每小时完成的工作量不变”列分式方程，求解即可．
【解答】解：设原来生产车间的工人有x人，
根据题意，得，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的根，
答：原来生产车间的工人有20人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立分式方程是解题的关键．
24．（7分）为了维护国家主权和海洋权利，我国海监部门对中国海域实现常态化管理．某日，我国海监船在某海岛附近的海域执行巡逻任务．如图，此时海监船位于海岛P的北偏东30°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的南偏东45°方向的B处，求海监船航行了多少海里（结果保留根号）？

【分析】过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．解等腰直角三角形APC，即可求出PC的长度；海监船航行的路程即为AB的长度．先解Rt△PCB，求出BC的长，再得出AC＝PC，则AB＝AC+BC．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．
由题意，得∠APC＝90°﹣30°＝60°，∠B＝45°，AP＝100海里．
在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝60°，
∴PC＝AP＝50海里．AC＝海里
在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠B＝45°，PC＝50海里，
∴BC＝PC＝50海里，
∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，
答：轮船航行的距离AB为（50+50）海里．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．

【分析】（1）求出C点的坐标，即可求出函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质求出即可；
（3）根据面积求出P点的纵坐标，再代入函数解析式求出横坐标即可．
【解答】解：（1）
过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB＝90°，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴CO＝2，∠COE＝45°，
∴CE＝OE＝＝2，
即k＝﹣2×（﹣2）＝4，
所以反比例函数的解析式是y＝；

（2）把y＝﹣2代入y＝得：x＝﹣2，
所以当函数值y＞﹣2时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞0；

（3）设P点的纵坐标为a，
∵正方形ABCO的边长为2，
∴由勾股定理得：OB＝＝4，
∵△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，
∴×4×|a|＝2，
解得：a＝±4，
即P点的纵坐标是4或﹣4，
代入y＝得：x＝1或﹣1，
即P点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了正方形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
26．（8分）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝19，tanA＝，求⊙O的直径．

【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD＝90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）设CE＝3x，AC＝4x根据勾股定理得，AE＝5x，可得DB＝DE＝19﹣3x，BO＝2OC＝8x，根据DB2+OB2＝OC2+DC2＝OD2构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，DE＝DB，
∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）如图，连接OD．
设CE＝3x，AC＝4x
根据勾股定理得，AE＝5x，
∴DB＝DE＝19﹣3x，BO＝2OC＝8x，
∵DB2+OB2＝OC2+DC2＝OD2，
∴（19﹣3x）2+（8x）2＝192+（4x）2，
解得x＝2，
∴直径为16x＝32．

【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D．
（1）如图1，当AE＝　4　时，A′D∥BE；
（2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB．
（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）连接AA′，交BE于点F，由折叠得F为AA′的中点，则当E为AD的中点时，A′D∥BE，可知AE等于AD长的一半；
（2）过点A′作MN⊥AD于点M，交BC于点N，得到△BA′N∽△A′EM，根据相似三角形的对应边成比例列方程可求出A′N的长，再求S△A′CB；
（3）作BG⊥A′C交CA′的延长线于点G，可证明BG越大则∠A′CB越大，进而证明当C、A′、E三点在同一条直线上时∠A′CB最大，此时∠BA′C＝90°，可证明EC＝BC＝8，再由勾股定理求出A′C的长，再求A′E的长即得到AE的长．
【解答】解：（1）如图1，连接AA′，交BE于点F，
∵点A′与点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AA′，
∴F为AA′的中点，
∴当点E为AD的中点时，A′D∥BE；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，
∴AE＝DE＝AD＝×8＝4，
故答案为：4.
（2）如图2，过点A′作MN⊥AD于点M，交BC于点N，则∠EMA′＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A′NB＝180°﹣∠EMA′＝90°，
由折叠得，∠BA′E＝∠A＝90°，A′E＝AE＝3，A′B＝AB＝6，
∴∠A′NB＝∠EMA′，
∵∠BA′N＝90°﹣∠EA′M＝∠A′EM，
∴△BA′N∽△A′EM，
∴＝＝2，
∴A′N＝2EM；
∵∠A＝∠ABN＝∠EMA′＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝6，
设A′N＝m，则A′M＝6﹣m，
∴EM＝＝，
∴m＝2，
整理得5m2﹣48m+108＝0，
解得，m1＝，m2＝6（不符合题意，舍去），
∵BC＝8，
∴S△A′CB＝×8×＝．
（3）如图3，作BG⊥A′C交CA′的延长线于点G，则∠BGC＝90°；
以点B为圆心、AB长为半径作圆，则点A′在⊙B上运动，
∵sin∠A′CB＝，
∴sin∠A′CB的值随BG的增大而增大，
而sin∠A′CB的值随∠A′CB的增大而增大，
∴BG越大则∠A′CB越大，
∵BG≤A′B，
∴当点G与点A′重合时，BG＝A′B＝6，此时BG最大，∠A′CB也最大；
如图4，当点G与点A′重合时，则∠BA′C＝90°，
∴∠BA′E+∠BA′C＝180°，
∴C、A′、E三点在同一条直线上；
∵∠CEB＝∠AEB，∠AEB＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴EC＝BC＝8，
∵A′C＝＝＝2，
∴AE＝A′E＝8．




【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数及动点问题中的最值问题等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：
①点M的坐标，说明理由；
②MN+BN的最小值 　　；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①求出直线BC的解析式，过点M作MG∥y轴交BC于点G，设M（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），则S△MBC＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，S△MBC有最大值，此时M（，）；
②过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，则MN+BN＝MN+NH≥MH，求出MH即为所求；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），分两种情况讨论：当∠ACP＝90°时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，可证△ACE∽△CPF，由＝，可求P（，）；当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P作PN⊥MN交于N，可证△ACM∽△PAN，由＝，可得P（，﹣）．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，
∴OB＝OC，
∵OA：OB＝1：3，AB＝4，
∴OA＝1，OB＝3，
∴OC＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
将A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
过点M作MG∥y轴交BC于点G，
设M（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△MBC＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∵0＜t＜3，
∴当t＝时，S△MBC有最大值，
此时M（，）；
②过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，
∵∠OBC＝45°，
∴NH＝BN，
∴MN+BN＝MN+NH≥MH，
∵M（，），
∴MH＝，
∴MN+BN的最小值为，
故答案为：；
（3）存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：
设P（m，﹣m2+2m+3），
如图2，当∠ACP＝90°时，
过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，
∴∠ECA+∠FCP＝90°，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠FCP＝∠EAC，
∴△ACE∽△CPF，
∴＝，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴P（，）；
如图3，当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P作PN⊥MN交于N，
∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，
∴∠NAP＝∠MCA，
∴△ACM∽△PAN，
∴＝，
∴＝，
解得m＝﹣1（舍）或m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）．



【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．