2021年江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学中考数学一模试卷

2021年江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）

1．（3分）的倒数　　

A． B．2021 C． D．

2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．赵爽弦图 B．科克曲线 

C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线

3．（3分）在下列的计算中，正确的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，是的切线，为切点，连接，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是　　

A． B． C． D．

6．（3分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是　　

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

7．（3分）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

8．（3分）如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、．若四边形的面积为3，则的值为　　

A．9 B．12 C．15 D．18

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）

9．（3分）5的平方根是　　．

10．（3分）分解因式：　　．

11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为　　．

12．（3分）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为　　．

13．（3分）如图，点，，在圆上，，则的度数是　　．

14．（3分）小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　　．

15．（3分）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为　　．

16．（3分）如图，在正五边形中，是边的延长线，连接，则的度数是　　．

17．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，，按此规律，第10个图中黑点的个数是　　．

18．（3分）矩形中，为边上的一点，动点沿着运动，到停止，动点沿着运动到停止，它们的速度都是，设它们的运动时间为，的面积记为，与的关系如图所示，则矩形的面积为 　　．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（10分）计算

（1）；

（2）．

20．（10分）（1）解方程：；

（2）解不等式组．

21．（7分）甲、乙两人分别从、、这3个景点中随机选择2个景点游览．

（1）求甲选择的2个景点是、的概率是 　　；

（2）甲、乙两人选择都选择了景点的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

22．（7分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“．书画类、．文艺类、．社会实践类、．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有 　　名；

（2）扇形统计图中“．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 　　度；

（3）请你将条形统计图补全；

（4）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“．社会实践类”的学生共有多少名？

23．（8分）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，．

（1）求证：；

（2）若，求证：四边形为菱形．

24．（8分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？

25．（8分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口，途经某海域处时，港口的工作人员监测到点在南偏东方向上，另一港口的工作人员监测到点在正西方向上．已知港口在港口的北偏西方向，且、两地相距120海里．

（1）求出此时点到港口的距离（计算结果保留根号）；

（2）若该渔船从处沿方向向港口驶去，当到达点时，测得港口在的南偏东的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．

26．（9分），两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过市，甲车从市到市，乙车从市到市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米时，两车距离市的路程（单位：千米）与行驶的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲车的速度是 　　千米时，在图中括号内填入正确的数；

（2）求图象中线段所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；

（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距市的路程之和是460千米．

27．（9分）如图1，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段、的数量关系是　　，的大小为　　．

（2）探究证明

把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把绕点在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．

28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式及点坐标；

（2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积；

（3）如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小为　　．（直接写出结果）

2021年江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）

1．（3分）的倒数　　

A． B．2021 C． D．

【解答】解：的倒数为：．

故选：．

2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．赵爽弦图 B．科克曲线 

C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线

【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：．

3．（3分）在下列的计算中，正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、原式不能合并，不符合题意；

、原式，符合题意；

、原式，不符合题意；

、原式，不符合题意，

故选：．

4．（3分）如图，是的切线，为切点，连接，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：是的切线，为切点，

，

，

，

故选：．

5．（3分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，

飞镖落在阴影区域的概率是，

故选：．

6．（3分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是　　

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，

半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，

小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，

故选：．

7．（3分）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；

②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；

③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；

④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；

综上所述，得到三角形的最长边长为5．

故选：．

8．（3分）如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、．若四边形的面积为3，则的值为　　

A．9 B．12 C．15 D．18

【解答】解：

，

，

、是的三等分点，

，，

，

四边形的面积为3，

，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）

9．（3分）5的平方根是　　．

【解答】解：，

的平方根是．

故答案为：．

10．（3分）分解因式：　　．

【解答】解：

．

故答案为：．

11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为　　．

【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须，

解得：，

故答案为：．

12．（3分）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为　　．

【解答】解：将1800000用科学记数法表示为，

故答案为：．

13．（3分）如图，点，，在圆上，，则的度数是　　．

【解答】解：根据题意得，

，

，

．

故答案为．

14．（3分）小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　10　．

【解答】解：，

，解得，

设圆锥的底面半径为，

，

．

故答案为：10．

15．（3分）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为　　．

【解答】解：，，，

．

关于的一元二次方程的一个根为，

另一个根为．

故答案为：．

16．（3分）如图，在正五边形中，是边的延长线，连接，则的度数是　　．

【解答】解：因为五边形是正五边形，

所以，，

所以，

所以，

故答案为：．

17．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，，按此规律，第10个图中黑点的个数是　119　．

【解答】解：图1中黑点的个数，

图2中黑点的个数，

图3中黑点的个数，

第个图形中黑点的个数为，

第10个图形中黑点的个数为．

故答案为：119．

18．（3分）矩形中，为边上的一点，动点沿着运动，到停止，动点沿着运动到停止，它们的速度都是，设它们的运动时间为，的面积记为，与的关系如图所示，则矩形的面积为 　72　．

【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，

过点作于，

由三角形面积公式得：，

解得，

，

由图2可知当时，点与点重合，

，

矩形的面积为．

故答案为：72．

三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（10分）计算

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

20．（10分）（1）解方程：；

（2）解不等式组．

【解答】解：（1），，，

△，

，

，；

（2）由①得：，

由②得：，

不等式组的解集为：．

21．（7分）甲、乙两人分别从、、这3个景点中随机选择2个景点游览．

（1）求甲选择的2个景点是、的概率是 　　；

（2）甲、乙两人选择都选择了景点的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

【解答】解：（1）甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：

共有6种可能出现的结果，其中选择、的有2种，

，

故答案为：；

（2）用树状图表示如下：

共有9种可能出现的结果，其中甲、乙两人选择都选择了景点的有4种，

甲、乙两人选择都选择了景点的概率为．

22．（7分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“．书画类、．文艺类、．社会实践类、．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有 　50　名；

（2）扇形统计图中“．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 　　度；

（3）请你将条形统计图补全；

（4）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“．社会实践类”的学生共有多少名？

【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：（名，

故答案为：50；

（2）扇形统计图中“．书画类”所占扇形的圆心角的度数为：，

故答案为：72；

（3）选择的学生有：（人，

补全的条形统计图如右图所示；

（4）（名，

即该校学生选择“．社会实践类”的学生共有96名．

23．（8分）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，．

（1）求证：；

（2）若，求证：四边形为菱形．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

；

（2）证明：由（1）知，

则，

又，

四边形是平行四边形，

，

四边形为菱形．

24．（8分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？

【解答】解：设原来每天用水量是吨，则现在每天用水量是吨，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：现在每天用水量是8吨．

25．（8分）如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口，途经某海域处时，港口的工作人员监测到点在南偏东方向上，另一港口的工作人员监测到点在正西方向上．已知港口在港口的北偏西方向，且、两地相距120海里．

（1）求出此时点到港口的距离（计算结果保留根号）；

（2）若该渔船从处沿方向向港口驶去，当到达点时，测得港口在的南偏东的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．

【解答】解：（1）如图所示：延长，过点作延长线于点，

由题意可得：，海里，

则海里，

，

即，

（海里），

答：此时点到军港的距离为海里；

（2）过点作于点，如图：

由（1）得：海里，海里，

，

，

，

，

，

，

即平分，

，

设，则，，

，，

，

，

，

解得：，

海里，

答：此时渔船的航行距离为海里．

26．（9分），两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过市，甲车从市到市，乙车从市到市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米时，两车距离市的路程（单位：千米）与行驶的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲车的速度是 　60　千米时，在图中括号内填入正确的数；

（2）求图象中线段所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；

（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距市的路程之和是460千米．

【解答】解：（1）由题意，甲的速度为千米小时．乙的速度为80千米小时，

（小时），（小时），

图中括号内的数为10．

故答案为：60．

（2）设线段所在直线的解析式为．

把点，代入，

得：，

解得：．

线段所在直线的函数解析式为．

（3），

（小时），

或，

解得，

答：甲车出发小时或9小时时，两车距市的路程之和是460千米．

27．（9分）如图1，在等腰三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段、的数量关系是　　，的大小为　　．

（2）探究证明

把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把绕点在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．

【解答】解：（1），，

，

点、、分别为、、的中点，

，，，，

，，，

，

，

，

故答案为：；；

（2）是等边三角形．

理由 如下：由旋转可得，，

又，，

，

，，

点、、分别为、、的中点．

，，，，

，，，

，

，

，

是等边三角形；

（3）根据题意得，，即，

，

的面积，

的面积的最大值为．

28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式及点坐标；

（2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积；

（3）如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小为　　．（直接写出结果）

【解答】解：（1）直线，时，，

，

时，解得：，

，

抛物线经过，两点，

，解得：，

抛物线解析式为，

当时，解得：，，

；

（2）如图1，过点作轴于点，

，，，

，，

，

点为轴下方抛物线上的点，

设，，

，

，

，

当，即时，四边形面积最大，最大面积等于18；

（3）如图2，在轴上取点，连接、，

，

，，

，

，

，

，

，

，

当点、、在同一直线上时，最小，

，

的最小值为，

故答案为．