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江苏省宜兴市树人中学教育集团2021-2022学年九年级上学期期中学业质量测试数学【试卷+答案】
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这是一份江苏省宜兴市树人中学教育集团2021-2022学年九年级上学期期中学业质量测试数学【试卷+答案】，共14页。
2021年秋学期期中学业质量测试
九年级数学
考试时间：120分钟 满分分值：150分 出卷： 审核：
注意事项：1．请用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图必须用2B铅笔作答，并描粗加黑。
2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．下列方程是一元二次方程的是………………………………………………………………（ ▲ ）
A．3x2－6x＋2 B．ax2－bx＋c＝0 C． D．x2＝0
2．用配方法解方程 x2－2x－4＝0，配方正确的是……………………………………………（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为……（ ▲ ）
A．点A圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定
4．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是……（ ▲ ）
（第5题）
A
B
C
D
E
（第 9题）
A．20° B．25° C．30° D．35°
第4题图 第8题图
5．如图所示，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE∥AB，，△ABC的面积是18，则四边形ABED的面积是 ……………………………………………………（ ▲ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．下列说法正确的是……………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心 B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．三角形的外心到三边的距离相等
7．疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则………………………………………………………（ ▲ ）
A．3x2＝147 B．3（1＋x）2＝147 C．3（1＋x＋x2）＝147 D．（3＋3x）2＝147
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是……（ ▲ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
9．如图，直线与 x轴、 y 轴分别相交于点 A、B 两点，圆心 P 的坐标为（2，0）．⊙P 与 y 轴相切于点O，若将⊙P沿 x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点 P的个数是………………………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8．其中正确的有……………（ ▲ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、 填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11． 在比例尺为1：500000的地图上量得甲、乙两地的距离为4cm，则甲、乙两地的实际距离
是 ▲ km．
12．若，则= ▲ ．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝ ▲ ．
14．已知m、n是关于x的方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则m＋n＝ ▲ ．
第10题图 第15题图 第17题图 第18题图
15． 如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 ▲ 点．
16． 已知⊙O的半径为r，弦AB＝r，则AB所对圆周角的度数为 ▲ ．
17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延
长线于点D，则的值为 ▲ ；过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为 ▲ ．
18．如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线
CD于点F．以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH的中点，连接GM，若AB＝3，BC＝2，设BE=x，则CF= ▲ （用x表示）；则GM的最小值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题16分）解下列方程：
（1）（x－3）2－25＝0 （2）
（3）（配方法） （4）x2－7x＋6=0
20．（本题6分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．
（1）在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与△ABC位似比为2的位似图形△A′BC′；
（2）△A′B′C′的面积为_____▲_____．
21．（本题6分）已知关于x的一元二次方程x2－（m－2）x＋2m－8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
22．（本题8分）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
23．（本题6分）如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AE•CE＝BE•DE；
（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．
24.（本题8分）已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
O
B
C
D
A
E
25．（本题8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．
26．（本题8分）某商场将每件进价为 80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低 2元，其日销量可增加 16件．设该商品每件降价 x元，商场一天可通过A商品获利润 y元．
（1）求 y与 x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量 x的取值范围）．
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过 A商品所获的利润最大？
27．（本题12分）三角形的布洛卡点（ Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780－1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845－1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ▲ ；
PA、PB、PC的数量关系是 ▲ ；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中∠BAC＝90°）的布洛卡点，且∠1＝∠2＝∠3．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若△ABC的面积为 ，求△PBC的面积．
28．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作⊙O, ⊙O与x轴交于点B、C. 点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
（1）当△OAQ为等边三角形时，请直接写出P点坐标；
（2）若△ABQ为直角三角形时，请求出t的值；
（3）求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时，请直接写出t的值．
初三数学期中评分标准 2021.11
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．）
1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共计30分．）
11．90 12． 13． 14．－1 15．G
16．45°或135° 17． ， 18．，
三、解答题（本大题共10小题，共计90分．）
19．（1）x－3＝±5-----------------------------（2分） （2）------------（1分）
x1＝8，x2＝－2----------------------（4分） -------------（2分）
x1＝5，x2＝6------------------（4分）
（3） （配方法） （4）x2－7x＋6=0
x2－6x＋9=7 -----------（1分） -------（2分）
（x－3）2 =7 x1＝1，x2＝6 -----------（4分）
x－3＝±-----------（2分） 公式法也可
x1＝，x2＝----（4分）
20．解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
----------------------------------------（3分）
（2）△A′B′C′的面积＝6 --------------------------------------------（6分）
21．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×（2m﹣8）＝m2﹣4m+4﹣8m+32＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2． --------------------------------------------------------（1分）
∵（m﹣6）2≥0， --------------------------------------------------------（2分）
∴方程总有两个实数根．--------------------------------------------------------（3分）
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0，
可得（x﹣2）（x﹣m+4）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣4，-----------------------------（4分）
若方程有一个根为负数，则m﹣4＜0，-------------------------------------------（5分）
故m＜4．----------------------------------------------------------------------（6分）
22．解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27，-----------------（1分）
解得t＝±6，---------------------------------------------------------------（2分）
∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；---------------------------------------------------------------（3分）
（2）（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，
设a2+b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，------------------------------------（4分）
即t2﹣4t﹣5＝0，
解得t1＝5，t2＝﹣1，-------------------------------------------------------（5分）
∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c2＝5，
∴c＝，-------------------------------------------------------------（6分）
∴外接圆的半径为-----------------------------------------------------（8分）
23．（1）简单证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，----------------（1分）
∴△ADE∽△BCE，-------------------------------------------------------（2分）
∴＝，∴AE•CE＝BE•DE；----------------------------------------（3分）
（2）解：由（1）得，AE•CE＝BE•DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），------------------（4分）
解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．---------------------------（6分）
24． （1）简单证明：用圆内接四边形对角互补证到∠ABC＝∠2，-----------------（1分）
角平分线，对顶角 证到∠2＝∠1＝∠3，圆周角定理证到∠4＝∠3，-------------（2分）
等量代换得∠ABC＝∠4，------------------------------------------------------（3分）
∴AB＝AC；--------------------------------------------------------------------（4分）
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，-------------------------------------------------------------（6分）
∴，∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝＝，-------------------------------------------------------------（7分）
∴DE＝＝（cm）．-----------------------------------------------------（8分）
25．（1）证明：连接OA．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．-----------------------------------------------（2分）
又∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．---------------------------------------------------（3分）
∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．-----------------------------------------（4分）
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四边形AOFE是矩形．----------------------（5分）
∴OF＝AE＝8cm．又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝6cm．----------------------------（6分）
在Rt△ODF中，OD＝＝10cm，即⊙O的半径为10cm．-----------------（8分）
26．解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，
则y＝（128+8x）（100﹣x﹣80）------------------------------------------------（2分）
＝﹣8x2+32x+2560，即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2+32x+2560；-----------（4分）
（2）∵y＝﹣8x2+32x+2560＝﹣8（x﹣2）2+2592，-------------------------------（6分）
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元）， ---------------------------------------------（8分）
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
27．解：（1）30°，PA＝PB＝PC； ----------------------------------------（2+2分）
（2）①△ABP∽△BCP，证明如下：
如图：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠2＝∠3，∴∠ABC－∠2＝∠ACB－∠3，即∠ABP＝∠BCP，
∵∠1＝∠2，∴△ABP∽△BCP；-----------------------------------------------（8分）
②过A作AH⊥BP交BP的延长线于H，如图：
设AP＝m．∵∠APH＝∠1＋∠ABP＝∠2＋∠ABP＝45°，而AH⊥BP，
∴△APH是等腰直角三角形，∴AH＝AP＝m，---------------------------（9分）
由①知：△ABP∽△BCP，
∴＝＝＝，即＝＝，＝（）2＝（）2＝，
∴BP＝m，CP＝2m，S△BCP＝2S△ABP，
∴S△APC＝•AP•CP＝×m×2m＝m2，
S△ABP＝BP•AH＝×m•m＝m2，
∴S△BCP＝2S△ABP＝m2，-------------------------------------------------------（10分）
∴S△ABC＝S△APC＋S△ABP＋S△BCP＝m2＋m2＋m2＝m2，
∵△ABC的面积为，∴m2＝，------------------------------------------（11分）
∴S△PBC＝m2＝1．-----------------------------------------------------------（12分）
28（1）（0，）--------------------------------------------------------（2分）
（2）
--------------------------------------------------------------------------------（8分）
（3）△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或或或15．------------（12分）
2021年秋学期期中学业质量测试
九年级数学
考试时间：120分钟 满分分值：150分 出卷： 审核：
注意事项：1．请用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图必须用2B铅笔作答，并描粗加黑。
2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．下列方程是一元二次方程的是………………………………………………………………（ ▲ ）
A．3x2－6x＋2 B．ax2－bx＋c＝0 C． D．x2＝0
2．用配方法解方程 x2－2x－4＝0，配方正确的是……………………………………………（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为……（ ▲ ）
A．点A圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定
4．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是……（ ▲ ）
（第5题）
A
B
C
D
E
（第 9题）
A．20° B．25° C．30° D．35°
第4题图 第8题图
5．如图所示，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE∥AB，，△ABC的面积是18，则四边形ABED的面积是 ……………………………………………………（ ▲ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．下列说法正确的是……………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心 B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．三角形的外心到三边的距离相等
7．疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则………………………………………………………（ ▲ ）
A．3x2＝147 B．3（1＋x）2＝147 C．3（1＋x＋x2）＝147 D．（3＋3x）2＝147
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是……（ ▲ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
9．如图，直线与 x轴、 y 轴分别相交于点 A、B 两点，圆心 P 的坐标为（2，0）．⊙P 与 y 轴相切于点O，若将⊙P沿 x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点 P的个数是………………………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8．其中正确的有……………（ ▲ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、 填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11． 在比例尺为1：500000的地图上量得甲、乙两地的距离为4cm，则甲、乙两地的实际距离
是 ▲ km．
12．若，则= ▲ ．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝ ▲ ．
14．已知m、n是关于x的方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则m＋n＝ ▲ ．
第10题图 第15题图 第17题图 第18题图
15． 如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 ▲ 点．
16． 已知⊙O的半径为r，弦AB＝r，则AB所对圆周角的度数为 ▲ ．
17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延
长线于点D，则的值为 ▲ ；过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为 ▲ ．
18．如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线
CD于点F．以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH的中点，连接GM，若AB＝3，BC＝2，设BE=x，则CF= ▲ （用x表示）；则GM的最小值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题16分）解下列方程：
（1）（x－3）2－25＝0 （2）
（3）（配方法） （4）x2－7x＋6=0
20．（本题6分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．
（1）在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与△ABC位似比为2的位似图形△A′BC′；
（2）△A′B′C′的面积为_____▲_____．
21．（本题6分）已知关于x的一元二次方程x2－（m－2）x＋2m－8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
22．（本题8分）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
23．（本题6分）如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AE•CE＝BE•DE；
（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．
24.（本题8分）已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
O
B
C
D
A
E
25．（本题8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．
26．（本题8分）某商场将每件进价为 80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低 2元，其日销量可增加 16件．设该商品每件降价 x元，商场一天可通过A商品获利润 y元．
（1）求 y与 x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量 x的取值范围）．
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过 A商品所获的利润最大？
27．（本题12分）三角形的布洛卡点（ Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780－1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845－1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ▲ ；
PA、PB、PC的数量关系是 ▲ ；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中∠BAC＝90°）的布洛卡点，且∠1＝∠2＝∠3．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若△ABC的面积为 ，求△PBC的面积．
28．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作⊙O, ⊙O与x轴交于点B、C. 点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
（1）当△OAQ为等边三角形时，请直接写出P点坐标；
（2）若△ABQ为直角三角形时，请求出t的值；
（3）求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时，请直接写出t的值．
初三数学期中评分标准 2021.11
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．）
1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共计30分．）
11．90 12． 13． 14．－1 15．G
16．45°或135° 17． ， 18．，
三、解答题（本大题共10小题，共计90分．）
19．（1）x－3＝±5-----------------------------（2分） （2）------------（1分）
x1＝8，x2＝－2----------------------（4分） -------------（2分）
x1＝5，x2＝6------------------（4分）
（3） （配方法） （4）x2－7x＋6=0
x2－6x＋9=7 -----------（1分） -------（2分）
（x－3）2 =7 x1＝1，x2＝6 -----------（4分）
x－3＝±-----------（2分） 公式法也可
x1＝，x2＝----（4分）
20．解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
----------------------------------------（3分）
（2）△A′B′C′的面积＝6 --------------------------------------------（6分）
21．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×（2m﹣8）＝m2﹣4m+4﹣8m+32＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2． --------------------------------------------------------（1分）
∵（m﹣6）2≥0， --------------------------------------------------------（2分）
∴方程总有两个实数根．--------------------------------------------------------（3分）
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0，
可得（x﹣2）（x﹣m+4）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣4，-----------------------------（4分）
若方程有一个根为负数，则m﹣4＜0，-------------------------------------------（5分）
故m＜4．----------------------------------------------------------------------（6分）
22．解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27，-----------------（1分）
解得t＝±6，---------------------------------------------------------------（2分）
∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；---------------------------------------------------------------（3分）
（2）（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，
设a2+b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，------------------------------------（4分）
即t2﹣4t﹣5＝0，
解得t1＝5，t2＝﹣1，-------------------------------------------------------（5分）
∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c2＝5，
∴c＝，-------------------------------------------------------------（6分）
∴外接圆的半径为-----------------------------------------------------（8分）
23．（1）简单证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，----------------（1分）
∴△ADE∽△BCE，-------------------------------------------------------（2分）
∴＝，∴AE•CE＝BE•DE；----------------------------------------（3分）
（2）解：由（1）得，AE•CE＝BE•DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），------------------（4分）
解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．---------------------------（6分）
24． （1）简单证明：用圆内接四边形对角互补证到∠ABC＝∠2，-----------------（1分）
角平分线，对顶角 证到∠2＝∠1＝∠3，圆周角定理证到∠4＝∠3，-------------（2分）
等量代换得∠ABC＝∠4，------------------------------------------------------（3分）
∴AB＝AC；--------------------------------------------------------------------（4分）
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，-------------------------------------------------------------（6分）
∴，∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝＝，-------------------------------------------------------------（7分）
∴DE＝＝（cm）．-----------------------------------------------------（8分）
25．（1）证明：连接OA．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．-----------------------------------------------（2分）
又∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．---------------------------------------------------（3分）
∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．-----------------------------------------（4分）
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四边形AOFE是矩形．----------------------（5分）
∴OF＝AE＝8cm．又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝6cm．----------------------------（6分）
在Rt△ODF中，OD＝＝10cm，即⊙O的半径为10cm．-----------------（8分）
26．解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，
则y＝（128+8x）（100﹣x﹣80）------------------------------------------------（2分）
＝﹣8x2+32x+2560，即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2+32x+2560；-----------（4分）
（2）∵y＝﹣8x2+32x+2560＝﹣8（x﹣2）2+2592，-------------------------------（6分）
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元）， ---------------------------------------------（8分）
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
27．解：（1）30°，PA＝PB＝PC； ----------------------------------------（2+2分）
（2）①△ABP∽△BCP，证明如下：
如图：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠2＝∠3，∴∠ABC－∠2＝∠ACB－∠3，即∠ABP＝∠BCP，
∵∠1＝∠2，∴△ABP∽△BCP；-----------------------------------------------（8分）
②过A作AH⊥BP交BP的延长线于H，如图：
设AP＝m．∵∠APH＝∠1＋∠ABP＝∠2＋∠ABP＝45°，而AH⊥BP，
∴△APH是等腰直角三角形，∴AH＝AP＝m，---------------------------（9分）
由①知：△ABP∽△BCP，
∴＝＝＝，即＝＝，＝（）2＝（）2＝，
∴BP＝m，CP＝2m，S△BCP＝2S△ABP，
∴S△APC＝•AP•CP＝×m×2m＝m2，
S△ABP＝BP•AH＝×m•m＝m2，
∴S△BCP＝2S△ABP＝m2，-------------------------------------------------------（10分）
∴S△ABC＝S△APC＋S△ABP＋S△BCP＝m2＋m2＋m2＝m2，
∵△ABC的面积为，∴m2＝，------------------------------------------（11分）
∴S△PBC＝m2＝1．-----------------------------------------------------------（12分）
28（1）（0，）--------------------------------------------------------（2分）
（2）
--------------------------------------------------------------------------------（8分）
（3）△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或或或15．------------（12分）
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