高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算第1课时同步达标检测题

四　交集、并集

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.(2021·宜昌高一检测)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.因为B＝，所以B＝，因为A＝

所以A∩B＝.

2．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝(　　)

A．{x|3≤x＜4}     B．{x|x≥2}

C．{x|2≤x＜4}     D．{x|2≤x≤3}

【解析】选B.因为A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|x≥3}，所以A∪B＝{x|x≥2}．

3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　)

A．a<2      B．a>－2

C．a>－1     D．－1<a≤2

【解析】选C.因为A∩B≠∅，所以a>－1.

【补偿训练】

已知A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)　　　 B．

C．     D．(1，＋∞)

【解析】选A.A＝[1，＋∞)，B＝，

且A∩B≠∅，

所以2a－1≥1，

所以a的取值范围是[1，＋∞).

【误区警示】解答本题容易出现2a－1＞1，解得a＞1的错误．

4．集合P＝，Q＝，则P∩Q中的最小元素为________．

【解析】因为P∩Q＝，

所以P∩Q中的最小元素为6.

答案：6

5．(2021·泰兴高一检测)设M＝，N＝，若M∩N＝，则a的值为________，此时M∪N＝________．

【解析】因为M∩N＝，所以a－3＝－3或2a－1＝－3，解得a＝0或a＝－1.

当a＝0时，M＝，N＝，得M∩N＝，不符合题意，舍去．

当a＝－1时，M＝，

N＝，得M∩N＝，

M∪N＝.

答案：－1　

6．已知A＝{x|x2－4＝0}，B＝{x|ax2－(2a＋1)x＋2＝0}．

(1)若a＝，求A∩B.

【解析】因为A＝{－2，2}，当a＝时，B＝{2}，所以A∩B＝{2}．

 (2)若A∩B＝B，求实数a的取值集合．

【解析】由A∩B＝B得B⊆A，当a＝0时，B＝{2}符合题意，

当a≠0时，由ax2－(2a＋1)x＋2＝0得

a(x－2)＝0，而B⊆A，

所以＝2或＝－2，

解得a＝或－，

所以a的取值集合为.

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2021·北京高一检测)已知P＝，Q＝，则P∩Q＝(　　)

A．     B．{0，1}

C．{1，2}        D．

【解析】选D.P＝＝，Q＝＝R，则P∩Q＝.

2．(2021·长沙高一检测)若集合A＝{1，3，x}，B＝，且A∪B＝{1，3，x}，则满足条件的x的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选C.因为A∪B＝{1，3，x}，A＝{1，3，x}，B＝，所以x2＝3或x2＝x，解得x＝±或x＝1或x＝0，x＝1显然不合题意，经检验x＝0或±.均合题意．因此有三个解．

3．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B＝(　　)

A．{(1，1)}        B．{(－2，4)}

C．{(1，1), (－2，4)}     D．∅

【解析】选C.首先注意到集合A与集合B均为点集，联立解得或从而集合A∩B＝{(1，1)，(－2，4)}，选C.

4．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有(　　)

A．A⊆C     B．C⊆A

C．A≠C      D．A＝∅

【解析】选A.因为A⊆(A∪B)且(C∩B)⊆C，A∪B＝C∩B，所以A⊆C.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2021·菏泽高一检测)已知集合M＝， N＝，且M∪N＝M，则实数m的值可以为(　　)

A．    B．－5    C．－    D．0

【解析】选ACD.因为M∪N＝M，所以N⊆M，

当m＝0时，N＝∅，满足N⊆M，

所以m＝0成立，

当m≠0时，N＝，若N⊆M，

则＝2或＝－5，

解得m＝或m＝－，

综上所述m＝0或m＝或m＝－.

6．已知集合A＝{4，，B＝{1，，a∈R，则A∪B可能是(　　)

A．{－1，1，     B．，0，

C．，2，     D．{－2，1，

【解析】选BCD.若A∪B含3个元素，则a＝1或a＝a2或a2＝4，a＝1时，不满足集合元素的互异性，a＝0，a＝2或a＝－2时满足题意，结合选项可知A∪B可能是{1，0，，{1，2，，{－2，1， .故选BCD.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．若集合M＝{x|－2<x<3}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，则集合M∩N＝________．

【解析】由y＝x2＋1≥1，

化简集合N＝{y|y≥1}，

又因为M＝{x|－2<x<3}，

所以M∩N＝[1，3).

答案：[1，3)

【补偿训练】

已知集合P＝{y|y＝x＋1，x≥0}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}，则P∪Q＝________.

【解析】因为P＝{y|y＝x＋1，x≥0}＝{y|y≥1}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}＝{y|y≤5}，所以P∪Q＝R.

答案：R

8.已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x>a，a∈R}．

(1)若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．

(2)若A∩B≠A，则实数a的取值范围是________．

(3)若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．

【解析】A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x>a，a∈R}，

将A、B集合表示在数轴上(注：B表示的范围，随着a值的变化而在移动).观察可知，

(1)a<4; (2)a≥－2；(3)a<－2.

答案：(1)a<4　 (2)a≥－2　(3)a<－2

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知集合A＝{x|－2<x<8}，B＝{x|2m－1<x<m＋3}．若A∪B＝A，求实数m的取值范围．

【解析】因为A∪B＝A，

则B⊆A，集合B有两种情况：

当B＝∅时，则m满足2m－1≥m＋3，解得m≥4；

当B≠∅时，

则m满足

解得－≤m<4.

综上m的取值范围是m≥－.

10．(2021·六安高一检测)已知集合A＝，B＝.

(1)当a＝5时，求A∩B；

【解析】当a＝5时，A＝，

B＝，

所以A∩B＝.

(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

【解析】若A＝∅，

此时2－a>2＋a，

所以a<0，满足A∩B＝∅，

当a≥0时，A＝

因为A∩B＝∅，

所以，所以0≤a<1.

综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1).

【应用创新练】

1．设M＝[m，m＋]，N＝[n－，n]都是[0，1]的子集，如果b－a叫做集合[a，b]的长度，则集合M∩N的长度的最小值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.根据题意，M的长度为m＋－m＝，N的长度为n－＝，当集合M∩N的长度取最小值时，有以下两种情况：

(1)m＝0，n＝1，如图1所示：

(2)m＋＝1，n－＝0，即m＝，n＝，如图2所示：

观察图形可知，集合M∩N的长度的最小值为＋－1＝.

2．M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定M－(M－P)等于(　　)

A．M       B．P

C．M∪P     D．M∩P

【解析】选D.当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中阴影部分，则M－(M－P)显然为M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝∅＝M∩P.

【补偿训练】

定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B元素的个数为(　　)

A．7　　　B．8　　　C．9　　　D．10

【解析】选A.因为集合的商集运算为＝，集合A＝{2，4，，B＝＝{0，1，，

所以＝，

所以∪B＝.

所以集合∪B元素的个数为7.