2021年浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试题含答案

这是一份2021年浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试题含答案，共17页。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、仔细选一选〔此题有10个小题，每题3分，共30分〕
1.二次函数 的最大值是 〔   〕
A. -2                                          B. 2                                          C. -1                                          D. 1
2.反比例函数y= ，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是(     )
A. m3                                 C. m－3
3.在扇形中，∠AOB=90°，面积为4πcm2 ， 用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 (     )
A. 1cm                                   B. 2cm                                   C. cm                                   D. 4cm
4.假设将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是〔   〕
A.             B.             C.             D. 
5.假设点M〔x，y〕满足 ，那么点M所在象限是〔   〕
A. 第一、三象限                    B. 第二、四象限                    C. 第一、二象限                    D. 不能确定
6.x是实数，且满足 ，那么相应的函数 的值为〔   〕
A. 13 或3                                  B. 7 或3                                  C. 3                                  D. 13或7或3
7.如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点〔A，B除外〕，∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M、N，那么EF的长是〔   〕

A.                                        B.                                        C. 6                                       D. 
8.如图，点A是反比例函数y= (x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，那么S□ABCD为(     )

A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
9.在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如下列图.假设AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1 ， S2 ， 两个弓形面积分别为S3 ， S4 ， S1-S2=， 那么S3-S4的值是(     )  

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
10.关于x的方程 有两个不相等的实数根，且较小的根为2，那么以下结论：
① ；② ；③关于 的方程 有两个不相等的实数根；④抛物线 的顶点在第四象限。
其中正确的结论有〔   〕
A. ①②                                B. ①②③                                C. ①②④                                D. ①②③④
二、认真填一填〔此题有6个小题，每题4分，共24分〕
11.函数 的自变量x的取值范围是________.
12.三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x， ，y=x2 ， 从中随机抽取一张，那么所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是________.
13.如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，那么线段EF的长是      cm．


14.如图，函数 与 的图象交于A(-4,1)、B(2,-2) 、C(1,-4)三点，根据图象可求得关于x的不等式 的解集为________.

15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，把△ABC分别绕直线AC，AB旋转一周，所得几何体的外表积分别为S1 ， S2 ， 那么| S2-S1|=_________〔平方单位〕.

16.如下列图，P1〔x1 ， y1〕、P2〔x2 ， y2〕，……Pn〔xn ， yn〕在函数y= 〔x＞0〕的图象上，△OP1A1 ， △P2A1A2 ， △P3A2A3……△PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1 ， A1A2……An-1An ， 都在x轴上，那么y1+y2+…+yn=________.

三、全面答一答〔此题有7个小题，共66分〕
17.图中的曲线是函数 (m为常数)图象的一支.

〔1〕求常数m的取值范围；
〔2〕假设该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为
A〔2，n〕，求点A的坐标及反比例函数的解析式.
18.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．


〔1〕请你帮小明把花坛的位置画出来〔尺规作图，不写作法，保存作图痕迹〕．

〔2〕在△ABC中，AC=4米，∠ABC=45°，试求小明家圆形花坛的半径长．

19.足球比赛中，某运发动将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y〔m〕关于飞行时间x〔s〕的函数图象〔不考虑空气的阻力〕，足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s.

〔1〕求y关于x的函数关系式；
〔2〕假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m〔如下列图，足球的大小忽略不计〕.如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时 ， 离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？
20.如图，在平的直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，双曲线在第一象限经过点D.

〔1〕求双曲线的函数解析式；
〔2〕将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C的对应点恰好落在〔1〕中的双曲线上，请说明理由.
21.抛物线 与x轴相交于点A，B〔点A，B在原点O两侧〕，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数 的图象上，线段AB长为14，线段OC长为6，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围。
22.如图1，△ABC内接于半径为4cm的⊙O，AB为直径，弧BC长为 .

〔1〕计算∠ABC的度数；
〔2〕将与△ABC全等的△FED如图2摆放，使两个三角形的对应边DF与AC有一局部重叠，△FED的最长边EF恰好经过弧AB的中点M.求证：AF=AB；
23.抛物线 与x轴的两个交点分别为A〔－1，0〕、B〔3，0〕，与y轴的交点为点D，顶点为C，

〔1〕求出该抛物线的对称轴；
〔2〕当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出 的取值范围；
〔3〕作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？假设存在，请求出a的值，假设不存在，请说明理由。

答案解析局部
一、仔细选一选〔此题有10个小题，每题3分，共30分〕
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 ，
a=-1＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=1时，函数有最大值为2.
故答案为：B.
【分析】函数解析式为顶点式，利用二次函数的性质可得到此函数的最大值。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y=   ， 当x>0时，y随x的增大而增大，
∴m+3＜0
解之：m＜-3.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数〔k≠0〕，当k＞0时，y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大，由此可得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解： 设扇形的半径为R，根据题意得

解之：R=4,
设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得

解之：r=1.
故答案为：A.
【分析】利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的弧长等于圆锥的底面的周长，列式可求解。
4.【答案】 B
【解析】【解答】 将抛物线  向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线为：y=2〔x-3〕2+5.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式。

5.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得
x2+2xy+y2=x2+y2-2
整理得

∵k=-1＜0
∴图象分支在第二，四象限.
∴点M所在象限是第二，四象限.
故答案为：B.
【分析】去括号，再移项，将其转化为y是x的反比例函数，再利用反比例函数的性质，可得点M所在的象限。
6.【答案】 C
【解析】【解答】解:由题意得：
1-x≥0
解之：x≤1
∵    ，
∴x=1.
∴y=1+1+1=3.
故答案为：C.
【分析】利用二次根式有意义的条件可知1-x≥0，由此可求出x的取值范围；再根据题意可知x的值只能为1，然后代入函数解析式求出对应的函数值。
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OE，OC，交EF于点D，

∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC＝∠CPB，
∴弧AC＝弧BC；
∴AC＝BC；OC⊥AB，  
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∵M、N是AC、BC的中点，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．
在Rt△ODE中

∴EF＝2ED＝.
故答案为：A.
【分析】 连接OE，OC，交EF于点D，利用角平分线的定义可证得∠APC＝∠CPB，再利用圆周角定理及垂径定理可以推出AC＝BC；OC⊥AB，由此可得△ABC是等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理可得到MN∥AB，就可推出OC⊥EF，利用垂径定理求出OD的长，然后利用勾股定理求出DE的长，继而可求出EF的长。

8.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥x轴
∴设点A的纵坐标为b，那么点B的纵坐标为b，
∴xb=2，xb=-3
解之：
∴点A， 点B
∴AB=
∴平行四边形ABCD的面积为：，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可以设点A的纵坐标为b，那么点B的纵坐标为b，利用两函数解析式，可得到点B，A的坐标，由此可求出AB的长，再利用平行四边形的面积公式可求出此图形的面积。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AB=4，AC=2
∴S1+S3=;
S4+S2=
∵
∴S1+S3-〔S4+S2〕=S3-S4+S1-S2=
∴S3-S4=.
故答案为：D
【分析】观察图形可知S1+S3等于直径为4的半圆的面积，S4+S2等于直径为2的半圆的面积，再结合可求出S3-S4的值。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的一个根，
∴8+2a+b=0
∴2a+b=-8＜0，故①正确；
∵x=2是方程2x2+ax+b=0的一个根，且方程有两个不相等的实数根，
∴
∴a＜-8，b＞8.
∴ab＜0，故②正确；
∵原方程有两个不相等的实数根，且较小的根为2，
∴抛物线y=2x2+ax+b与x轴由两个不同的交点，且对称轴在直线x=2的右边，抛物线的开口向上
∴此抛物线的顶点在第四象限，
∴将抛物线y=2x2+ax+b向上平移2个单位可得到y=2x2+ax+b+2，与x轴不一定有交点，
∴关于x的一元二次方程2x2+ax+b+2=0不一定有两个不相等的实数根，故③错误；
∵将抛物线y=2x2+ax+b向下平移2个单位可得到y=2x2+ax+b-2，此抛物线的顶点坐标一定在第四象限，故④正确；
正确结论的序号是：①②④.
故答案为：C.
【分析】将x=2代入方程，可得到2a+b的值，由此可对①作出判断；利用一元二次方程根与系数的关系可得到a，b的取值范围，由此可判断出ab的符号，可对②作出判断；利用二次函数的性质及平移规律可得到y=2x2+ax+b+2，与x轴不一定有交点，可对③作出判断；将抛物线y=2x2+ax+b向下平移2个单位可得到y=2x2+ax+b-2，可得到抛物线的顶点的位置所在的象限，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号。
二、认真填一填〔此题有6个小题，每题4分，共24分〕
11.【答案】 x≤1且x≠0
【解析】【解答】解：由题意得

解之：
∴x的取值范围是x≤1且x≠0
故答案为：x≤1且x≠0
【分析】二次根式有意义那么被开方数大于等于0，要使分式有意义，那么分母不等于0，由此建立关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集。
12.【答案】
【解析】【解答】解：函数y=3x的图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；
函数的图象经过第一，三象限，y随x的增大而减小；
y=x2的图象经过第一，二象限，在第一象限当x＞0时，y随x的增大而增大；
∴所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率为.
故答案为：.
【分析】分别利用一次函数，反比例函数，二次函数的性质，可得到在第一象限内y随x的增大而增大的函数，然后利用概率公式可求解。
13.【答案】 6
【解析】【解答】解：过O点作OH⊥EF于H，连OF，如图


那么EH=FH，
在Rt△AOH中，AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°，
那么OH= OA=4，
在Rt△OHF中，OH=4，OF=5，
那么HF= =3，
那么EF=2HF=6cm．
故答案为6．
【分析】过O点作OH⊥EF于H，连OF，根据垂径定理得EH=FH，在Rt△AOH中，AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到OH= OA=4，再利用勾股定理计算出HF，由EF=2HF得到答案．
14.【答案】
【解析】【解答】解：∵函数  与  的图象交于A(-4,1)、B(2,-2) 、C(1,-4)三点，
由图像可知
当-4＜x＜0或1＜x＜2时， .
故答案为：-4＜x＜0或1＜x＜2.
【分析】观察两函数图像，由两函数图像的交点坐标A，B，C的横坐标，可得到当时的自变量x的取值范围。
15.【答案】
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴,
把△ABC绕直线AC旋转一周，以BC为半径所得几何体的外表积为；
设AB边上的高为h，
∴5h=3×4
解之：
把△ABC绕直线AC旋转一周，以2.4为半径所得几何体的外表积为

∴.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再求出把△ABC绕直线AC旋转一周，以BC为半径所得几何体的外表积，利用直角三角形的面积公式可求出斜边上的高，再求出把△ABC绕直线AC旋转一周，以2.4为半径所得几何体的外表积，然后求出| S2-S1|的值。
16.【答案】
【解析】【解答】解：过点P1作P1C⊥x轴于点C，过点P2作P1D⊥x轴于点D,

∵ △OP1A1 ， △P2A1A2 ， △P3A2A3……△PnAn-1An都是等腰直角三角形，
∴P1C=OC=CA1,
设点P1〔a，a〕
∵ P1〔x1 ， y1〕、P2〔x2 ， y2〕，……Pn〔xn ， yn〕在函数y= 〔x＞0〕的图象上，
∴a2=9
a=3〔取正值〕
∴点A1〔6，0〕；
设点P2的纵坐标为b，那么点P2的横坐标为6+b
∵ P1〔x1 ， y1〕、P2〔x2 ， y2〕，……Pn〔xn ， yn〕在函数y= 〔x＞0〕的图象上，
∴b〔b+6〕=9
b=〔取正值〕，
∴点A2的横坐标是6+2b=

∴点A2〔， 0〕；
∴点An的横坐标为，
∵ △OP1A1 ， △P2A1A2 ， △P3A2A3……△PnAn-1An都是等腰直角三角形
∴ y1+y2+…+yn就等于点An的横坐标的一半，
∴y1+y2+…+yn=.
故答案为：.
【分析】过点P1作P1C⊥x轴于点C，过点P2作P1D⊥x轴于点D,利用等腰直角三角形的性质可证得P1C=OC=CA1 ， 设点P1〔a，a〕，利用函数解析式求出a的值，可得到点A1的坐标，再利用同样的方法求出点A2的坐标，根据此规律可得到点An的横坐标，然后利用等腰直角三角形的性质可知y1+y2+…+yn就等于点An的横坐标的一半，由此可求解。
三、全面答一答〔此题有7个小题，共66分〕
17.【答案】 〔1〕解：∵双曲线在一,三象限,

∴m＞5

〔2〕解：∵A(2,n)在y=2x上,∴A(2,4),∴反比例函数的解析式为
【解析】【分析】〔1〕观察函数图像可知反比例函数图象分支在第一，三象限，可得到关于m的不等式，求出不等式的解集.
〔2〕由点A是两函数图象的交点，将x=2代入y=2x可求出n的值，即可得到点A的坐标；然后将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出反比例函数的解析式。
18.【答案】 〔1〕解：如下列图，⊙O即为所求作的圆形花坛的位置；



〔2〕解：连接AO，CO，

∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°×2=90°，
∵AC=4米，
∴AO= AC= ×4=2 米．
即小明家圆形花坛的半径长2 米
【解析】【分析】〔1〕分别作出AB、BC的垂直平分线，相交于一点O，再以点O为圆心，以OA为半径画圆，即可得解；〔2〕连接OA，OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOC的度数为90°，然后根据等腰直角三角形直角边与斜边的关系求解即可．

19.【答案】 〔1〕解：设y关于x的函数关系式为y=ax2+bx.
依题可知：当x=1时，y=2.44；当x=3时，y=0
∴
∴
∴y=－1.22x2+3.66x

〔2〕解：∵y=2.44，∴2.44=－1.22x2+3.66x，
∴x2－3x+2=0，∴x1=1〔不合题意，舍去〕，x2=2.
∴平均速度至少为 =6〔m/s〕.
【解析】【分析】〔1〕观察函数图像，图象经过原点，由此设y关于x的函数关系式为y=ax2+bx，再将当x=1时，y=2.44；当x=3时，y=0，代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到函数解析式。
〔2〕将y=2.44代入〔1〕中的函数解析式，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出符合题意的平均速度。
20.【答案】 〔1〕解：过点D作DE⊥x轴于点E

∵直线y=-2x+2与x轴，y轴相交于点A，B，
∴A(1,0),B(0,2)∴OA=1,OB=2
证△AOB ≌△DEA
∴DE=AO=1，AE=BO=2，∴OE=3，DE=1
∴点D 的坐标为〔3，1〕
把〔3，1〕代入y= 中，得k=3
∴y=

〔2〕解：过点C作CE⊥y轴于点E，

∴∠CEB=∠AOB=90°，
∵正方形ABCD，
∴BC=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠OAB
在△ABO和△ECB中，

∴△ABO≌△ECB〔AAS〕
∴OA=BE=1，OB=CE=2
∴OE=OB+BE=2+1=3
∴点C〔2，3〕
∴当y=3时，x=1
∴2-1=1
∴将正方形ABCD沿x轴向左平移1个单位长度时，点C的对应点恰好落在〔1〕中的双曲线上.
 
【解析】【分析】〔1〕过点D作DE⊥x轴于点E ，由x=0求出对应的函数值可得到点B的坐标，由y=0求出对应的x的值，可得到点A的坐标，由此可求出OA，OB的长，利用正方形的性质易证△AOB ≌△DEA，利用全等三角形的性质可求出OE，DE的长，即可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值。
〔2〕过点C作CE⊥y轴于点E，利用正方形的性质可证得∠CEB=∠AOB，∠EBC=∠OAB，BC=AB，利用AAS证明△ABO≌△ECB，利用全等三角形的性质可得到OE，CE的长，由此可得到点C的坐标，再将y=3代入反比例函数解析式求出对应的x的值，然后求出结果。
21.【答案】 解：根据 长为6可得一次函数中的 =6或-6
分类讨论：
(1) n=6时，易得如图A(-8,0)
抛物线过 、两点，且与 轴交点 ， 在原点两侧
抛物线开口向下，那么 AB=14，且A(-8,0)，∴B(6,0)
 而 ，关于对称轴对称 对称轴直线x=-1
要使 随着 的增大而减小，且 ， x≥-1〔等号不取也可以〕
(2)n=-6时，易得如图A(8,0)
抛物线过 、 两点，且与 轴交点 ， 在原点两侧
抛物线开口向上，那么   AB=14，且A(8,0)，∴B(-6,0)
而 ， 关于对称轴对称 对称轴直线x=1
要使 随着 的增大而减小，且 ， x≤1〔等号不取也可以〕
【解析】【分析】根据OC的长，可得到n的值，再分情况讨论：当n=6，求出点A的坐标，利用二次函数的性质结合条件可求出点B的坐标，利用二次函数的对称性求出对称轴，利用二次函数的性质可求出x的取值范围；n=-6时求出点A的坐标及点B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的增减性可求出x的取值范围。
22.【答案】 〔1〕解：∵ 长为 ，⊙O的半径为4cm   ∴    ∴n=60  即∠BOC=60°
  ∵OB=OC   ∴∠ABC=∠OBC=

〔2〕解：连结OM，过点F作 于H
∵AB为直径    ∴∠ACB=90°   ∴∠A=180－90－60=30°
∴在Rt△FAH中，
∵点M为 的中点  ∴OM⊥AB且OM = AB
∵△ABC与△FED全等   ∴∠A=∠EFD=30°
∴EF∥AB     OM=FH= AB
∴AF=AB
【解析】【分析】〔1〕利用弧长公式可求出∠BOC的度数，利用圆周角定理求出∠A的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠C-90°，由此可求出∠ABC的度数。
〔2〕 连结OM，过点F作 于H，利用圆周角定理可得到∠ACB的度数， 由此可求出∠A的度数，利用直角三角形的性质可得到FH和AF之间的数量关系；再利用全等三角形的性质可得 ∠EFD=30° ，可得到OM与AB的数量关系及EF∥AB，由此可推出AF=AB。
23.【答案】 〔1〕解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为A〔－1，0〕、B〔3，0〕，
∴抛物线的对称轴为直线.
〔2〕解：当∠ACB = 60°时,△ABC为等边三角形，C(1,-2 )
设y = a(x+1)(x-3)，C点代入得a =
当∠ACB=90°时，△ABC为等腰直角三角形，即C (1，-2)
同理可得,a=
所以

〔3〕解：由于C(1,-4a)，D(0,-3a)
ycp=-ax-3a =-a(x+3)，故E(-3,0)
两种情况讨论:
①如图1可证明△EHF △FKC得CK=HF=3

4a+1=3
a=
②如图2可证明△EHF △FKC、得EK=HF=3

4a =3
a=
综上a= 和a=
【解析】【分析】〔1〕利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可得到抛物线的对称轴。
〔2〕分情况讨论：当∠ACB = 60°时，利用等边三角形的性质求出点C的坐标，设y = a(x+1)(x-3)，将点C的坐标代入函数解析式可求出a的值；当∠ACB=90°时，△ABC为等腰直角三角形，可得到点C的坐标，将点C的坐标代入函数解析式，可求出a的值，即可得到a的取值范围。
〔3〕 由题意可得到C(1，-4a)，D(0，-3a)，可得到CP的函数解析式： ycp=-ax-3a =-a(x+3)，即可得到点E的坐标，再分情况讨论：①如图1可证明△EHF △FKC得CK=HF=3，由此可求出a的值；
②如图2可证明△EHF △FKC、得EK=HF=3，由此可求出a的值，综上所述，可得到符合题意的a的值。