2021年浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷 (1)含答案

这是一份2021年浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷 (1)含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下列图形中是轴对称图形的是〔   〕
A.                           B.                           C.                           D. 
2.以下是一元一次不等式的是〔   〕
A.                               B.                               C.                               D. 
3.三角形两边为 和 ，那么使三角形周长为偶数的第三边长可能为〔   〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
4.将一副三角尺按如下列图的方式摆放，那么 的大小为〔   〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
5.以下不等式说法中，不正确的选项是〔   〕
A. 假设 ，那么                                   B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么                                         D. 假设 ，那么
6.如图，在 中， 均为斜边中线，那么以 为边构成的三角形是〔   〕

A. 锐角三角形                        B. 直角三角形                        C. 钝角三角形                        D. 无法确定
7.如图，在 中， ，那么图中等腰三角形的个数为〔   〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
8.如图，在 中， 为中线，E为 中点，连结 的面积为 ，那么三角形 的面积为〔   〕

A.                                            B.                                            C.                                            D. 
9.在以下命题中正确的命题有〔   〕
①面积相等的三角形全等;
②有两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等;
③等腰三角形两腰上的中线相等;
④直角三角形三边为 ，那么
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
10.如图，在 中， ，点D在 上，且 点E在 的延长线上，且 那么 的大小为〔   〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、填空题
11.“x为负数〞用不等式表示为________.
12.如图，在 中， ，点D在 中垂线上，那么 的度数为________.

13.命题“对顶角相等〞的逆命题是       

14.假设等腰三角形的一个外角是110°，那么其底角为________．
15.如图，在 中， 分别是边 上的高， 交于点 ，那么 的长度为________.

16.如图，在等边三角形 中， 是线段 上一点，以 为边在 右侧作等边三角形 ，连结 .

〔 1 〕假设 时， ________
〔 2 〕设 ，当 的面积最大时， ________.
三、解答题
17.解不等式：
〔1〕；
〔2〕
18.如图，在 中， .

〔1〕尺规作图，作出 的角平分线 ;(要求画出图形，并保存作图痕迹，不必写作法)
〔2〕假设 ，求 的面积.
19.等腰三角形 .
〔1〕假设其两边长分别为 和 ，求 的周长
〔2〕假设一腰上的中线将此三角形的周长分为 和 ，求 的周长.
20.如图，在 中， 于点 为 上的点， .

〔1〕求证：
〔2〕假设 求 的长.
21.如图，在长方形 中，将长方形沿着直线 折叠，点D恰好落在 边上的F处.

〔1〕假设 ，求
〔2〕在〔1〕的条件下，P是直线 上一点，当 最小时，求出此时 的长.
22.如图1，在 和 中， .

〔1〕求证：
〔2〕如图2假设 ，点H为AE的中点，求 的大小;

〔3〕在(2)的条件下， 垂直平分 于H，连结BD，设 ，猜想 满足的关系式，并证明.
23.如图， 平分 于 为线段 上一动点.
〔1〕求 ；

〔2〕当P到 的距离为 ，到 的距离为 时，求 的长；

〔3〕当P运动至 延长线上时，连结 ，求证：


答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够完全重合的图形，据此逐一判断即可.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、 中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；
B、 中含有两个未知数，故本选项错误；
C、 中不含有未知数，故本选项错误；
D、 中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项错误.
故答案为：A.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此逐一判断即可.
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：设三角形的第三边为x，
依题意，得5-3＜x＜5+3，即2cm＜x＜8cm，
∵三角形周长为偶数，其中两边为3cm和5cm，
∴第三边x为偶数，
∴x=4cm或6cm.
只有选项C符合题意，
故答案为：C
【分析】设三角形的第三边为x，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边找出x的取值范围，进而由三角形周长为偶数，故第三边为偶数即可判断得出答案.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：如下列图，

∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°，
∠α=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°，
故答案为：B.
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、∵ ∴ ，∴选项A不符合题意；
B、∵ ，∴ ，∴选项B符合题意；
C、∵ ，∴ ，∴选项C不符合题意；
D、∵ ，∴ ，∴ ， ∴选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的根本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数〔或式子〕，不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ 分别是 斜边上的中线
∴
∵
∴
整理得，
∴以 为边构成的三角形是直角三角形，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理可得结论.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=36°，
∵ ，
∴△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠B=36°，
∴∠ADE=72°，
∵ ，
∴△ADE是等腰三角形，∠AED=∠ADE=72°，∠DAE=36°，
∴∠CAE=∠AED-∠C=72°-36°=36°，
∴∠CAE=∠C，∠BAE=∠CAD=72°，
∴AE=EC，∠BAE=∠AEB=72°，∠ADE=∠CAD=72°，
∴△AEC是等腰三角形，AB=BE，CD=AC，
∴△ABE是等腰三角形，△ADC是等腰三角形，
所以共有6个等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】由AB=AC，∠BAC=108°，可得△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=36°，从而求出∠BAD=∠B=36°，进而求出∠AED=∠ADE=72°,从而得出△ABD、△ADE、△AEC、△ABE、△ADC都是等腰三角形，据此判断即可.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴△ABD的面积=△ACD的面积= △ABC的面积=6，
∵E是AD的中点，
∴△ABE的面积=△DBE的面积= △ABD的面积=3，
△ACE的面积=△DCE的面积= △ACD的面积=3，
∴△BCE的面积=12-3-3 =6，
∵CF=2EF，
∴△BEF的面积= △BCE的面积= ×6=2，
故答案为：B.
【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积=△ACD的面积= △ABC的面积，由E是AD的中点，得出△ABE的面积=△DBE的面积= △ABD的面积，△ACE的面积=△DCE的面积= △ACD的面积，进而得出△BCE的面积，再利用 ，求出△BEF的面积.
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：①面积相等的三角形不一定全等，①说法错误；
②有两边及第三边上的高对应相等的三角形不一定全等，②说法错误；
③等腰三角形两腰上的中线相等，③说法正确；
④直角三角形三边为 ，当C为斜边时有 ，④说法错误.
故答案为：A.
【分析】①全等三角形的面积相等,但面积相等的三角形不一定全等；②有锐角三角形和钝角三角形两种情况,所以不一定全等；③根据等腰三角形的性质可求解；④没有明确哪条边是斜边，据此可判断.
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵BA=BD，CA=CE
∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠CEA
∵
∴∠BAD=∠ADB= -∠DAC
∵∠ADB=∠DAE+∠E
∴ -∠DAC=∠DAE+∠E
∵∠DAC=∠DAE-∠CEA=∠DAE-∠E
∴ -〔∠DAE-∠E〕=∠DAE+∠E
∴∠DAE=
故答案为：D
【分析】由BA=BD，CA=CE可以得到∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠CEA，然后根据三角形的外角关系得到∠DAE与∠DAC关系，然后等量代换得到∠DAE与∠BAC的关系.
二、填空题
11.【答案】 x＜0
【解析】【解答】解：根据题意，得x＜0.
故答案为：x＜0.
【分析】负数，即小于0，据此可解.
12.【答案】 80︒
【解析】【解答】解：如图，

∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD
∴∠DAC=∠DCA
∵∠C=40°
∴∠DAC=40°
∴∠ADB=∠DAC+∠DCA=80°
故答案为：80°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，根据等边对等角得出∠DAC=∠DCA，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由∠ADB=∠DAC+∠DCA即可算出答案.
13.【答案】 相等的角为对顶角
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等〞的逆命题是“相等的角为对顶角〞．

故答案为相等的角为对顶角．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
14.【答案】 70°或55°．
【解析】【解答】解：当110°外角为底角的外角时，那么其底角为：180°﹣110°＝70°；
当110°外角为顶角的外角时，那么其顶角为：70°，那么其底角为： ＝55°，
故答案为：70°或55°．
【分析】分这个外角为底角的外角和顶角的外角，分别求解即可．
15.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠ABD=180°-90°-60°=30°，∠ACE=180°-90°-60°=30°，
在Rt 中，EF=1，∠ABD=30°，
∴BF=2EF=2，
在Rt 中，CF=4，∠ACE=30°，
∴DF= CF=2，
故答案为：4.
【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEC=90°，再根据三角形内角和定理得∠ABD=180°-90°-60°=30°，∠ACE=180°-90°-60°=30°，然后根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.
16.【答案】 4；3
【解析】【解答】解：〔1〕∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°.
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD.
即∠CAE=∠BAD.
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD〔SAS〕.
∴EC=DB；
∵ ,
∴DB=6-2=4，
∴CE =4；
故答案是：4;
〔 2 〕如图，作 于F，

∵ ，
∴CE =a，DC=6- a，
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABC=60°.
∴∠FCE=180°-60°-60°=60°，
在Rt△ECF中，∠CEF=30°，
∴CF = CE = a，
∴EF= ，
∴ = ，
∴当a=3时， 最大为 .
故答案是：3.
【分析】〔1〕根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质即可求解；
〔2〕作 于F，先求出∠CEF=30°，然后用a表示出DC、EF，再用面积公式表示出面积，最后用二次函数的性质即可求解.
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：移项得，2x+x 6-3，
合并同类项得，3x 3，
把x的系数化为1得.x 1；

〔2〕解：去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ；
把x的系数化为1得. .
【解析】【分析】〔1〕先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可；
〔2〕先去分母，再移项、合并同类项，把x的系数化为1即可.
18.【答案】 〔1〕解：如图：BD即为所求；


〔2〕解：如图：作DE⊥AB于E
∵∠C=90°， BD平分∠ABC
∴DE=DC=2
∴S△ABD= ×AB×DE= ×6×2=6.
【解析】【分析】〔1〕根据角平分线的尺规作图的作法作图即可；
〔2〕作DE⊥AB于E，由∠C=90°结合角平分线的性质知DC=DE，然后利用三角形的面积公式求解即可.
19.【答案】 〔1〕解：根据题意，
①当腰长为2时，周长=2+2+3=7；
②当腰长为3时，周长=3+3+2=8.

〔2〕解：设三角形的腰为x，
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，
那么有AB+AD=9或AB+AD=18，分下面两种情况解.
①x+ x=9，
∴x=6，
∴三边长分别为6，6，15
∵6+6=12＜15，不符合三角形的三边关系
∴舍去；
②x+ x=18
∴x=12
∴三边长分别为12，12，3
∴△ABC的周长=12+12+3=27.
【解析】【分析】〔1〕根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为2时，②当腰长为3时，解答出即可.〔2〕给出的9和18两局部，没有明确哪一局部含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论：x+ x=9或x+ x=18.
20.【答案】 〔1〕证明：

∵BD⊥AC，∠PAC=45°，
∴∠DPA=∠PAC =45°，
∴AD=DP，
且AB=CP，
∴Rt△ADB≌Rt△PDC〔HL〕，
∴CD=BD；

〔2〕解：∵ ，∠DPA=45°，
∴∠CPD=60°，
又∵BD⊥AC，
∴∠PCD=30°，
∵AB=CP，
∴CP=2，
∴PD=1，
∴CD= .
∴BD= ，
∴PB= .
【解析】【分析】〔1〕由题意可得AD=DP，由“HL〞可证Rt△ADB≌Rt△PDC，可得结论；
〔2〕可求∠CPD=60°，∠PCD=30°，由直角三角形的性质可求PB的长.
21.【答案】 〔1〕解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=10，
在Rt△ABF中，∵BF= ，
∴CF=BC-BF=10-8=2，

〔2〕解：∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴D与F关于AE对称，
∴当P与E重合时， 最小，最小为 ，
此时CP=CE，
设CE=x，那么DE=EF=6-x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2 ，
∴x2+22=〔6-x〕2 ，
解得x= ，
即CP= .
【解析】【分析】〔1〕先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=6，再根据折叠的性质得AF=AD=10，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=8，那么CF=BC-BF=2；
〔2〕当P与E重合时， 最小，设CE=x，那么DE=EF=8-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+22=〔6-x〕2 ， 再解方程即可得到CE的长，即CP的长.
22.【答案】 〔1〕证明：∵
∴ ,即
在 和 中，

∴△ACD≌△ABE〔SAS〕；

〔2〕解：∵ ， AD=AE
∴△ADE是等边三角形
∴∠AED=∠ADE=60°
∵点H为AE的中点
∴∠ADC= ∠ADC=30°，CD⊥AB,即∠EHC=90°
∵△ACD≌△ABE
∴∠BEA=∠ADC =30°
∵∠BFD是△EFH的外角
∴∠BFD=∠BEA+∠EHC=30°+90°=120°；

〔3〕解：如图：

∵∠BEA=30°，∠AED= 60°
∴∠BED=∠BEA+∠AED= 90°
∴BD2=BE2+DE2
∵△ADE是等边三角形，AD=m
∴DE=AD=m
∵CD=n，△ACD≌△ABE
∴CD=BE=n
∵BD=p
∴p2=m2 +n2.
【解析】【分析】〔1〕利用“边角边〞证明△ACD和△ABE全等，再利用全等三角形的性质即可证明；
〔2〕由 结合AD=AE可知△ADE是等边三角形，再结合点 为CD的中点，可得∠ADC= ∠ADC=30°，CD⊥AB,即∠EHC=90°；再结合△ACD≌△ABE得到∠BEA=∠ADC =30°，最后根据三角形的外角的性质即可解答；
〔3〕连接BD,由〔1〕和等边三角形的性质可得BE=CD和AD=AE，再由〔2〕得∠BEA=∠ADC =30°，然后结合等边三角形的性质可得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可解答.
23.【答案】 〔1〕解：∵BD平分∠
∴∠
∵
∴∠
∵
∴∠
∴∠

〔2〕解：连接BP，

∵
∴
∵
∴
∴
由题意得，
∴

〔3〕证明：

平分
∴∠
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
在 和 中

∴
∴
∴∠
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴
∵∠
∴∠
由〔1〕知
∴∠
∴
∴
∴P是AD的中点
∵
∴
【解析】【分析】〔1〕根据等腰三角形的性质求出底角的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论；〔2〕连接BP，运用面积法即可得出结论；
〔3〕证明 得 ，再证明PD=PA，D是AB的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到结论.